2024-2025学年江苏省江阴市第二中学九上数学开学统考模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省江阴市第二中学九上数学开学统考模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）顺次连接四边形各边的中点，所成的四边形必定是（ ）
A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．平行四边形
2、（4分）四边形对角线、交于，若、，则四边形是（ ）
A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．以上都不对
3、（4分）实数的值在（ ）
A．0和1之间B．1和1.5之间
C．1.5和2之间D．2和4之间
4、（4分）如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12
5、（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（2a2）•（3a3）＝6a6B．6a2b÷2a＝3b
C．3a2﹣2a2＝a2D．+＝
6、（4分）正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
7、（4分）如图，点P是正方形内一点，连接并延长，交于点.连接，将绕点顺时针旋转90°至，连结.若，，，则线段的长为( )
A．B．4C．D．
8、（4分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若AB=6,AD=8,则AE=______
10、（4分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为________________
11、（4分）若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的方差是___．
12、（4分）如图，在菱形中，，点是边的中点，是对角线上的一个动点，若，则的最小值是_____.
13、（4分）有一个一元二次方程，它的一个根 x1＝1，另一个根－2＜x2＜1． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）过点作直线与轴相交于点，且使，求的面积．
15、（8分）如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
16、（8分）如图，长的楼梯的倾斜角为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为45°，求调整后的楼梯的长.
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与函数的图象相交于点，轴于点B．平移直线，使其经过点B，得到直线l，求直线l所对应的函数表达式．
18、（10分）先化简，再求值：，其中是不等式的正整数解.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．
20、（4分）菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积是_____．
21、（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S1．则S1﹣S2+S3+S1等于_____．
22、（4分）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 ．
23、（4分）甲、乙两家人，相约周末前往中梁国际慢城度周末，甲、乙两家人分别从上桥和童家桥驾车同时出发，匀速前进，且甲途经童家桥，并以相同的线路前往中梁国际慢城. 已知乙的车速为30千米/小时，设两车之间的里程为y（千米），行驶时间为x（小时），图中的折线表示从两家人出发至甲先到达终点的过程中y（千米）与x（小时）的函数关系，根据图中信息，甲的车速为_______千米/小时.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图①，如果点B′和点A重合，求CE的长．
(2)如图②，如果点B′落在直角边AC的中点上，求BE的长．
25、（10分）如图①，将直角梯形放在平面直角坐标系中，已知，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）如图②，过点作轴于，点在直线上运动，连结和．
①当的周长最短时，求点的坐标；
②如果点在轴上方，且满足，求的长．
26、（12分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表.

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；
（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据题意，画出图形，连接AC、BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定．
【详解】
解：四边形ABCD的各边中点依次为E、F、H、G，
∴EF为△ABD的中位线，GH为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，且EF＝BD，GH∥BD，且GH＝BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFHG是平行四边形．
故选：D．
此题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理．解题的关键是正确画出图形，注意利用图形求解．
2、D
【解析】
由四边形ABCD对角线AC、BD交于O，若AO=OD、BO=OC，易得AC=BD，AD∥BC，然后分别从AD=BC与AD≠BC去分析求解，即可求得答案．
【详解】
∵AO=OD、BO=OC，
∴AC=BD,∠OAD=∠ODA=,∠OBC=∠OCB=，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC，
①若AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
②若AD≠BC，
则四边形ABCD是梯形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
故答案选D.
本题考查了平行四边形的性质和矩形与等腰梯形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质和矩形与等腰梯形的判定.
3、B
【解析】
根据，，即可判断．
【详解】
解：∵，，，
∴实数的值在1和1.5之间，
故选：B．
此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4、B
【解析】
利用平行四边形的对角线互相平分的性质，解答即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，则OC=AC=2，OB=BD=2.1，
所以△BOC的周长为OB+OC+BC=2.1+2+3=7.1．
故选：B．
本题主要考查了平行四边形的性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目，比较简单．
5、C
【解析】
直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则和合并同类项运算法则分别判断得出答案．
【详解】
A、（2a2）•（3a3）＝6a5，故此选项错误；
B、6a2b÷2a＝3ab，故此选项错误；
C、3a2﹣2a2＝a2，正确；
D、+，无法计算，故此选项错误；
故选：C．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘除运算和合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6、C
【解析】
由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，
∴BC−BF＝CD−DE，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，∠C＝90°；
∴EF＝CE，∠CEF＝45°；
∴AF＝CE，
∴CF＝AF，故③错误；
∵∠AED＝180°−∠CEF−∠AEF；
∴∠AED＝75°；故②正确；
∵AE＝AF，CE＝CF；
∴AC垂直平分EF；故④正确．
故选：C．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定是解决本题的关键．
7、D
【解析】
如图作BH⊥AQ于H．首先证明∠BPP′=90°，再证明△PHB是等腰直角三角形，求出PH、BH、AB，再证明△ABH∽△AQB，可得AB2=AH•AQ，由此即可解决问题。
【详解】
解：如图作于.
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，AH=AP+PH=1+2=3，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
本题考查正方形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
8、C
【解析】
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.
【详解】
解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C
的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积
；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积- 的面积
…
∴第n个四边形的面积

∴
故答案为：C
本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4.8.
【解析】
矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
【详解】
矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= =10，
∵△ABD的面积S=AB⋅AD=BD⋅AE，
∴AE= =4.8.
故答案为4.8.
此题考查矩形的性质，解题关键在于运用勾股定理进行计算
10、L
【解析】
由前4分钟的进水量求得每分钟的进水量，后8分钟的进水量求得每分钟的出水量．
【详解】
前4分钟的每分钟的进水量为20÷4＝5，
每分钟的出水量为5－(30－20)÷8＝．
故答案为L．
从图象中获取信息，首先要明确两坐标轴的实际意义，抓住交点，起点，终点等关键点，明确函数图象的变化趋势，变化快慢的实际意义．
11、1.
【解析】
先确定出a，b，c后，根据方差的公式计算a，b，c的方差.
【详解】
解：平均数；
中位数；
众数；
，b，c的方差．
故答案是：1．
考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
12、
【解析】
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
【详解】
连接DE交AC于P，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△ADE中，DE==．
∴PB+PE的最小值为．
故答案为．
本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
13、（答案不唯一）.
【解析】
可选择x2=－1，则两根之和与两根之积可求，再设一元二次方程的二次项系数为1，那么可得所求方程.
【详解】
解：∵方程的另一个根－2＜x2＜1，
∴可设另一个根为x2=－1，
∵一个根 x1＝1，
∴两根之和为1，两根之积为－1，
设一元二次方程的二次项系数为1，此时方程应为.
本题考查的是已知两数，构造以此两数为根的一元二次方程，这属于一元二次方程根与系数关系的知识，对于此类问题：知道方程的一个根和另一个根的范围，可设出另一个根的具体值，进一步求出两根之和与两根之积，再设一元二次方程的二次项系数为1，那么所求的一元二次方程即为.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）的面积为或．
【解析】
（1）分别令x，y为0即可得出点，两点的坐标；
（2）分点在轴的正半轴上时和点在轴的负半轴上时两种情况分别画图求解即可．
【详解】
解：（1）对于，当时，，解得，则点的坐标为
当时，，则点的坐标为.
（2）当点在轴的正半轴上时，如图①，
∵，∴，
∴的面积；
当点在轴的负半轴上时，如图②，
∵，∴.
∴的面积，
综上所述，的面积为或.
15、（1）见解析；（2）108°
【解析】
（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；
（2）证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=36°，
∴∠B=180°-2×36°=108°．
运用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16、
【解析】
在中，，
∴
∴，
∴
在中，，
∴
∴．
17、．
【解析】
求出A点的坐标，求出B点的坐标，再用待定系数法求出正比例函数的解析式，最后求出一次函数的解析式即可．
【详解】
解：将代入中，，∴
∵轴于点B，．
将代入中，，解得
∴设直线l所对应的函数表达式为．
将代入上式，得 ，解得．
∴直线l所对应的函数表达式是．
故答案为：．
本题考查平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
18、1.
【解析】
将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x的不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出正整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】
解：原式=
=
的正整数解为
但
所以
∴原式的值
此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先用平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算即可．
【详解】
平均数是3（1+1+3+x+5），解得：x=4，
∴方差是S1[（1﹣3）1+（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（5﹣3）1]10=1．
故答案为1．
本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度不大．
20、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积=×3×4=1．
故答案为：1．
本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．
21、2
【解析】
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝SRt△ABC；S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC；S1＝SRt△ABC，进而即可求解．
【详解】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S1＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S1
＝（S1+S3）﹣S2+S1
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝2﹣2+2
＝2，
故答案是：2．
本题考查正方形的性质及三角形全等的判定与性质，根据已知条件证得S2＝SRt△ABC，S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，S1＝SRt△ABC是解决问题的关键．
22、（40﹣x）（30+3x）=3．
【解析】
试题分析：设每件童裝应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（30+3x）=3．故答案为（40﹣x）（30+3x）=3．
考点：3．由实际问题抽象出一元二次方程；3．销售问题．
23、1
【解析】
根据题意和函数图象可知，甲小时行驶的路程=乙小时行驶的路程+10，从而可以求得甲的车速．
【详解】
解：由题意可得，
甲的车速为：千米/小时，
故答案为1．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)CE的长为；(2)BE＝．
【解析】
(1)如图(1)，设CE＝x，则BE＝8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题；
(2)如图(2)，首先求出CB′＝3；类比(1)中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．
【详解】
(1)如图(1)，设CE＝x，则BE＝8﹣x；
由题意得：AE＝BE＝8﹣x
由勾股定理得：x2+62＝(8﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为：；
(2)如图(2)，
∵点B′落在AC的中点，
∴CB′＝AC＝3；
设CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2+32＝(8﹣x)2
解得：x＝．
即CE的长为：，
∴BE＝＝．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
25、（1）见解析；（2）①；②或8
【解析】
（1）先由已知条件及勾股定理求出AE=1，AB=，得到，又∠OAB=∠BAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由两直线平行，内错角相等得出∠OBC=∠AOB，从而证明∠OBC=∠ABE；
（2）①由于CE为定长，所以当PC+PE最短时，△PCE的周长最短，而E与A关于BD对称，故连接AC，交BD于P，即当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．由PD∥OC，得出，求出PD的值，从而得到点P的坐标；
②由于点P在x轴上方，BD=1，所以分两种情况：0＜PD≤1与PD＞1．设PD=t，先用含t的代数式分别表示S△CEP与S△ABP，再根据S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：
∵OC=1，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=2．
∵OA=2，OE=1，
∴AE=1，AB=，
∵，
∴．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴.
（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，
∴E与A关于BD对称，
当点共线时，的周长最短．
∵，
∴，即
∴
∴．
②设，
当时，如图：
∵梯，
；
又∵．
∴，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴
．
．
∴所求DP的长为或8.
本题是相似形的综合题，涉及到勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，有一定难度．（2）中第二小问进行分类讨论是解题的关键．
26、（1）0.2；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；（3）全市获得一等奖征文的篇数为300篇.
【解析】
【分析】（1）由频率之和为1，用1减去其余各组的频率即可求得c的值；
（2）由频数分布表可知 60≤m＜70的频数为：38，频率为：0.38，根据总数=频数÷频率得样本容量，再由频数=总数×频率求出a、b的值，根据a、b的值补全图形即可；
（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，再用总篇数×一等奖的频率=全市一等奖征文篇数.
【详解】（1）c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，
故答案为：0.2；
（2）38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：
（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，
∴全市获得一等奖征文的篇数为：1000×0.3=300（篇），
答：全市获得一等奖征文的篇数为300篇.
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人