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高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.3 基本不等式及其应用学案设计
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这是一份高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.3 基本不等式及其应用学案设计，文件包含25基本不等式及其应用教师版docx、25基本不等式及其应用学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
课堂引入
下左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将上左图中的“风车”抽象成如上右图，在正方形中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有
．
知识梳理
一、利用基本不等式求最值
1．基本不等式有关概念
基本不等式1：对任意实数和，有，当且仅当时等号成立．
基本不等式2：对任意正数，有，当且仅当时等号成立．
2．基本不等式及有关结论
① (a与b同号，当且仅当时取等号)；
② （，当且仅当时取等号），（，当且仅当时取等号）；
③（，当且仅当时取等号）．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
变式：
推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数，
它们的关系是：，当且仅当时等号成立。
3．利用基本不等式求最值．
已知．则（1）如果积为定值，那么当且仅当时，有最小值；
（2）如果为定值，那么当且仅当时，有最大值．
注意：①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．
②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立．
4．利用基本不等式求最值的方法
（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
二、基本不等式在证明不等式中的应用
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
三、基本不等式的实际应用
1．用基本不等式解应用题的思维程序为：
eq \x(\a\al(由题设写,出函数))→eq \x(\a\al(变形,转化))→eq \x(\a\al(利用基本,不等式))→eq \x(\a\al(求得,最值))→eq \x(结论)
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
（1）先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；
（3）在定义域内求函数最值；
（4）正确写出答案．
四、三角不等式
定理 对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立．
当时，
当时，
当时，
常见结论：（1）；（2）；
（3） ；（4） ；（5）
注：当为复数或向量时结论也成立.
推论1：
推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
【知识拓展】
定义定理
二维形式
公式变形：
等号成立条件：当且仅当（即）时．
一般形式
等号成立条件：，或中至少一方全为零．
一般形式推广
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和．二维形式是卡尔松不等式时的特殊情况 ．
验证推导
二维形式的证明
等号当且仅当即时成立．
应用例子
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主．
巧拆常数证不等式
例：设为正数且互不相等，求证：．
证明：将移到不等式的左边，化成：
由于为正数且互不相等，等号取不到．
附用基本不等式证 设，则所证不等式等价于
所以上式显然成立．
求某些函数最值
例：求函数的最大值．
函数的定义域为，由柯西不等式变形，
则．
函数仅在，即时取到．
例题分析
【例1】若0A．b>>a>B．b>>>a
C．b>>>aD．b>a>>
【例2】如果正数满足，那么（ ）
，且等号成立时的取值唯一
（B），且等号成立时的取值唯一
（C），且等号成立时的取值不唯一
（D），且等号成立时的取值不唯一
【例3】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥
【例4】已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例5】若，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例6】若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例7】已知，，，则m，n之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例8】已知，则取得最大值时的值为（ ）
A．B．
C．D．
【例10】已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是
A．|a+b|≥a－bB．C．|a+b|<|a|+|b|D．
【例11】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【例12】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【例13】设，已知，则的最小值为__________.
【例14】若，则的取值范围是______.
【例15】如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
【例16】已知 恒成立，则实数的取值范围是________________.
【例17】若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________.
【例18】已知不等式对所有实数恒成立，等号成立时的取值范围是______.
【例19】已知正实数满足，则的最小值是________．
【例20】（1）求函数的最大值；
（2）已知，求证：．
师生总结
方法与技巧
1． 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2． 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．
失误与防范
1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
自主巩固
【巩固1】已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【巩固2】已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【巩固3】练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【巩固4】设实数x满足，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【巩固5】若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【巩固6】已知，则的最小值为（ ）
A．20B．32C．D．
【巩固7】（已知，则的最小值是______．
【巩固8】设，且，则（ ）
A．有最小值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最大值为
【巩固9】设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【巩固10】已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
【巩固11】已知正数满足，则的最小值为__________.
【巩固12】已知，则的最大值是___________.
【巩固13】若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.
【巩固14】方程在上有解，则实数的取值范围是_________．
【巩固15】如果关于的方程有解，则实数的取值范围是_________.
【巩固16】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
【巩固17】若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
【巩固18】设，那么的最小值是___________.
【巩固19】函数的最小值为___________.
【巩固20】已知，且，求证：
(1)；
(2).
课堂引入
下左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将上左图中的“风车”抽象成如上右图，在正方形中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有
．
知识梳理
一、利用基本不等式求最值
1．基本不等式有关概念
基本不等式1：对任意实数和，有，当且仅当时等号成立．
基本不等式2：对任意正数，有，当且仅当时等号成立．
2．基本不等式及有关结论
① (a与b同号，当且仅当时取等号)；
② （，当且仅当时取等号），（，当且仅当时取等号）；
③（，当且仅当时取等号）．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
变式：
推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数，
它们的关系是：，当且仅当时等号成立。
3．利用基本不等式求最值．
已知．则（1）如果积为定值，那么当且仅当时，有最小值；
（2）如果为定值，那么当且仅当时，有最大值．
注意：①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．
②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立．
4．利用基本不等式求最值的方法
（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
二、基本不等式在证明不等式中的应用
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
三、基本不等式的实际应用
1．用基本不等式解应用题的思维程序为：
eq \x(\a\al(由题设写,出函数))→eq \x(\a\al(变形,转化))→eq \x(\a\al(利用基本,不等式))→eq \x(\a\al(求得,最值))→eq \x(结论)
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
（1）先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；
（3）在定义域内求函数最值；
（4）正确写出答案．
四、三角不等式
定理 对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立．
当时，
当时，
当时，
常见结论：（1）；（2）；
（3） ；（4） ；（5）
注：当为复数或向量时结论也成立.
推论1：
推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
【知识拓展】
定义定理
二维形式
公式变形：
等号成立条件：当且仅当（即）时．
一般形式
等号成立条件：，或中至少一方全为零．
一般形式推广
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和．二维形式是卡尔松不等式时的特殊情况 ．
验证推导
二维形式的证明
等号当且仅当即时成立．
应用例子
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主．
巧拆常数证不等式
例：设为正数且互不相等，求证：．
证明：将移到不等式的左边，化成：
由于为正数且互不相等，等号取不到．
附用基本不等式证 设，则所证不等式等价于
所以上式显然成立．
求某些函数最值
例：求函数的最大值．
函数的定义域为，由柯西不等式变形，
则．
函数仅在，即时取到．
例题分析
【例1】若0
C．b>>>aD．b>a>>
【例2】如果正数满足，那么（ ）
，且等号成立时的取值唯一
（B），且等号成立时的取值唯一
（C），且等号成立时的取值不唯一
（D），且等号成立时的取值不唯一
【例3】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥
【例4】已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例5】若，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例6】若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例7】已知，，，则m，n之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例8】已知，则取得最大值时的值为（ ）
A．B．
C．D．
【例10】已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是
A．|a+b|≥a－bB．C．|a+b|<|a|+|b|D．
【例11】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【例12】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【例13】设，已知，则的最小值为__________.
【例14】若，则的取值范围是______.
【例15】如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
【例16】已知 恒成立，则实数的取值范围是________________.
【例17】若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________.
【例18】已知不等式对所有实数恒成立，等号成立时的取值范围是______.
【例19】已知正实数满足，则的最小值是________．
【例20】（1）求函数的最大值；
（2）已知，求证：．
师生总结
方法与技巧
1． 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2． 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．
失误与防范
1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
自主巩固
【巩固1】已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【巩固2】已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【巩固3】练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【巩固4】设实数x满足，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【巩固5】若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【巩固6】已知，则的最小值为（ ）
A．20B．32C．D．
【巩固7】（已知，则的最小值是______．
【巩固8】设，且，则（ ）
A．有最小值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最大值为
【巩固9】设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【巩固10】已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
【巩固11】已知正数满足，则的最小值为__________.
【巩固12】已知，则的最大值是___________.
【巩固13】若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.
【巩固14】方程在上有解，则实数的取值范围是_________．
【巩固15】如果关于的方程有解，则实数的取值范围是_________.
【巩固16】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
【巩固17】若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
【巩固18】设，那么的最小值是___________.
【巩固19】函数的最小值为___________.
【巩固20】已知，且，求证：
(1)；
(2).
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