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湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题原卷版docx、湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列函数中是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB∥DC，AD∥BCB. AD∥BC，AB＝DC
C. AB∥DC，∠DAB＝∠DCBD. AO＝CO，BO＝DO
3. 在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（ ）
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线，最大值是2B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，最大值是2D. 对称轴是直线，最小值是2
5. 已知直线不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形中，、分别是AD、中点，如果，那么菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
7. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y=3（x﹣2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+5
C. y=3（x+2）2﹣1D. y=3（x+2）2+5
8. 设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（ ）
A. ﹣4B. 0C. 4D. 2
9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. B.
C. D.
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知关于的方程的一个根为，则 _____．
12. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
14. 函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____.
15. 如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____．
16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 计算：．
18. 选择适当的方法求解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
19. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
（1）李亮成绩的中位数为： 秒；
（2）计算李亮成绩的方差；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
20 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接AB．
（1）求的值和两直线交点的坐标；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
21. 已知关于的一元二次方程．（m为实数）
（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值．
22. 如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若 ，，求四边形周长．
23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
①求a，c的值．
②当时，函数最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2） 如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3） 如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
平均数
中位数
方差
张明
13.3
13.3
0.004
李亮
13.3
3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列函数中是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB∥DC，AD∥BCB. AD∥BC，AB＝DC
C. AB∥DC，∠DAB＝∠DCBD. AO＝CO，BO＝DO
3. 在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（ ）
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线，最大值是2B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，最大值是2D. 对称轴是直线，最小值是2
5. 已知直线不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形中，、分别是AD、中点，如果，那么菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
7. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y=3（x﹣2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+5
C. y=3（x+2）2﹣1D. y=3（x+2）2+5
8. 设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（ ）
A. ﹣4B. 0C. 4D. 2
9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. B.
C. D.
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知关于的方程的一个根为，则 _____．
12. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
14. 函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____.
15. 如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____．
16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 计算：．
18. 选择适当的方法求解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
19. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
（1）李亮成绩的中位数为： 秒；
（2）计算李亮成绩的方差；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
20 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接AB．
（1）求的值和两直线交点的坐标；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
21. 已知关于的一元二次方程．（m为实数）
（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值．
22. 如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若 ，，求四边形周长．
23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
①求a，c的值．
②当时，函数最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2） 如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3） 如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
平均数
中位数
方差
张明
13.3
13.3
0.004
李亮
13.3
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