湖南省长沙市一中雨花新华都学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，故选项A不符合题意；
，
，故选项B不符合题意；
，
，故选项C符合题意；
，
，
，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，6B. 4，4，7C. 5，8，13D. 3，4，8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：A、，
长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，
长为4，4，7的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
C、，
长为5，8，13的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，
长为3、4、8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
3. 如图，这是2012年至2021年这十年我国实际使用外资金额的统计图（单位：亿美元）.根据该统计图下列说法正确的是（ ）

A. 这十年内有4年实际使用的外资金额高于1300亿美元
B. 这十年内有4年实际使用的外资金额低于1200亿美元
C. 这十年实际使用的外资金额一直在增长
D. 2020年到2021年实际使用的外资金额的增长量最大
【答案】D
【解析】
【分析】根据“2012年至2021年这十年我国实际使用外资金额的统计图”逐一核实即可．
【详解】A项，2017～2021年，这五年实际使用的外资金额高于1300亿美元，故A错误；
B项，2012～2014年，这三年实际使用的外资金额低于1200亿美元，故B错误；
C项，2015～2016年，使用的外资金额有所减少，故C错误；
D项，2020～2021年，实际使用的外资金额的增长量最大，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计图的阅读能力，根据柱形统计图的高低趋向作出正确的判断是解题的关键．
4. 下面调查方式中合适是（ ）
A. 检查神舟十四号载人飞船的各零部件，选择抽样调查方式
B. 了解某品牌新能源汽车的最大续航里程，选择全面调查方式
C. 为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用全面调查方式
D. 调查2022年《冬奥会现场直播》节目的收视率，采用全面调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查得到调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A、检查神舟十四号载人飞船的各零部件，选择全面调查方式，故本选项不符合题意；
B、了解某品牌新能源汽车的最大续航里程，选择抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查2022年《冬奥会现场直播》节目的收视率，采用抽样调查的方式，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 如图，将边长为的等边向右平移得到，此时图中阴影部分的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的性质与判定，先根据等边三角形的性质得到，再由平移的性质得到，，则，，由此证明是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：设交于D，
∵是等边三角形，
∴，
由平移的性质可得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部的周长为，
故选B．
6. 如图，数轴上，两点对应的实数分别是和．若，则表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查是实数与数轴，数轴上两点之间的距离的含义，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键．设，根据，列方程即可求解．
【详解】解：设，
，数轴上，两点对应的实数分别是和，
，
．
故选：C．
7. 在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是、，将线段平移，平移后点A的对应点的坐标是，那么点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．
【详解】解：如图，观察图像可知，，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．
8. 已知 是方程的一个解，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，把代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
故选：A．
9. 下列说法中，假命题的个数为（ ）
①两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤在同一平面内不平行的两条线段一定相交；
⑥两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交．
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，平面内两直线的位置关系，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解；①同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原命题是假命题；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；
③同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，原命题是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是假命题；
⑤在同一平面内不平行的两条线段一定相交，原命题是真命题；
⑥两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线相交或平行，原命题是假命题．
∴假命题有5个，
故选：C
．
10. 在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标．
【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…，
以此类推可知，
，
的坐标为，即．
故选：B．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11. 的立方根是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
12. 若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______．
【答案】m≤2
【解析】
【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．
【详解】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m=2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
13. 如图，AB与CD相交于点O，，，则______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查对顶角，角的和差计算，解题的关键是根据对顶角相等得到，再根据，代入计算计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图所示是小明一天24小时的作息时间分配的扇形统计图，那么他的阅读时间是________小时．
【答案】1
【解析】
【分析】先求“阅读”所占的圆心角，再用×24，即可得出结果．
【详解】解：360-(60+30+120+135)=15，
×24=1（小时），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了扇形统计图的应用，能够求出“阅读”所占的圆心角是解决本题的关键．
15. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为________度．
【答案】1080
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解题的关键．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；
【详解】解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故答案为：1080．
16. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
【答案】0或或．
【解析】
【分析】根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义是解答本题的关键．
三、解答题（9小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】按照算术平方根、立方根、绝对值的意义分别化简后再进行加减运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，用到了算术平方根、立方根、绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
19. 甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C解得，求A、B、C的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
【详解】解：把代入原方程组，得，
把代入Ax+By=2，得：2A-6B=2，
可组成方程组，
解得．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，比较简单，只要明白二元一次方程组的解的定义以及方程组的解法就可．
20. 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有______名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 _______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？
【答案】（1）120；99
（2）补全条形统计图见解析；
（3）估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备3间陶艺教室．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体，能对图表信息进行具体分析并求出参加调查的学生人数是解题关键．
（1）由选修“彩绘”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可求出样本容量；用“电焙画”所占百分比乘以即可算出圆心角；
（2）求出选修“茶艺”和“烘焙”的学生人数，即可解决问题；
（3）用选“陶艺”所占百分比乘以640人，估计求出选修“陶艺”的人数即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得，样本容量为：，
即共有120名学生参与了本次问卷调查；
“电焙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是：．
故答案为：120；99；
【小问2详解】
解：选修“烘焙”的学生人数为：（人），
选修“茶艺”的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
；
【小问3详解】
解：，
答：估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备3间陶艺教室．
21. 如图，一条直线分别与直线，直线，直线，直线相交于，，，，如果，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由题中条件，，得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形性质得到．
【详解】证明：，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及对顶角相等，平行线的判定：同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
22. 已知点，解答下列各题．
（1）点P在y轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离：
（1）根据在y轴上的点横坐标为0求出a的值即可得到答案；
（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同求出a的值即可得到答案；
（3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，点Q的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵到x轴、y轴的距离相等，，
∴，
∴或，
解得或，
当时，，则
当时，，则
综上所述，点P的坐标为或．
23. 2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
（3）该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】（1）每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元
（2）该销售店共有3种进货方案，详见解析
（3）进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题．
（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可；
（2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答；
（3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答．
【小问1详解】
解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
【小问2详解】
解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
【小问3详解】
解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
24. 我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题．
（1）在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）；
（2）若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围；
（3）若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围．
【答案】（1）②③ （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可；
（2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，求解即可；
（3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围．
本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键．
【小问1详解】
解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，；
解不等式组得，．
由此可知不等式组的“包含方程”是②③，
故填：②③；
【小问2详解】
解：解方程得，解不等式组得，
由题意可知：，
解得；
【小问3详解】
解方程得，
解不等式组得，
关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”，
，解得，
不等式组恰好有7个整数解，
，解得，
综上，的取值范围为．
25. 在平面直角坐标系中，已知点和点，且满足．

（1）若为不等式的最大整数解，求的值并判断点在第几象限；
（2）在（1）的条件下，求的面积；
（3）在（2）的条件下，若两个动点，，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段，且，若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），点在第四象限
（2）8 （3）存在，，或，
【解析】
【分析】（1）求出不等式的解，可得的值，易得点的坐标，然后判断点所在象限即可；
（2）将的值代入题中的方程组，可解得的值，即求出点的坐标，在坐标系中标出，延长交轴于，以为底，为高，即可求出的面积；
（3）由，且，再根据的坐标特征，即可求出、的坐标．
小问1详解】
解：解不等式，可得，
∴该不等式的最大整数解为，
∵为不等式的最大整数解，
∴，
∴，
∴点在第四象限；
【小问2详解】
∵，且有，
∴，
解得，
∴，
如下图，在坐标系在描出和，连接，，

则，
反向延长交轴于，可得，
∴的面积；
【小问3详解】
由（1）、（2）可得，，
∵，且，
∴，
解得或，
∴，或，．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、解不等式、解二元一次方程组、绝对值方程等知识，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．