湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了 下列函数中是的二次函数的是， 已知二次函数等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列函数中是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、原式化简得，不是二次函数，故此选项错误；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB∥DC，AD∥BCB. AD∥BC，AB＝DC
C. AB∥DC，∠DAB＝∠DCBD. AO＝CO，BO＝DO
【答案】B
【解析】
【分析】依据平行四边形的定义和判定方法逐一判断即可得解；
【详解】A、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AD∥BC，AB＝DC，即一组对边平行，一组对边相等，无法判断四边形ABCD是平行四边形，举反例如等腰梯形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，同时注意一组对边平行，一组对边相等得四边形不一定是平行四边形．
3. 在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（ ）
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查统计中的中位数、理解中位数的定义是解题的关键．
11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线，最大值是2B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，最大值是2D. 对称轴是直线，最小值是2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，
所以有最大值y=2，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
5. 已知直线不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数y=（m-3）x-3m+1，图象在坐标平面内的位置关系先确定m的取值范围，从而求解．
【详解】解：由直线y=（m-3）x-3m+1不经过第一象限，
则经过第二、四象限或第二、三、四象限或三、四象限，
则有
解得：
故选D．
【点睛】此题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．掌握直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号间直接的关系是解题的关键．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
6. 如图，在菱形中，、分别是AD、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
【详解】解：、分别是AD、的中点，
，
菱形的周长是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是解题的关键．
7. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y=3（x﹣2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+5
C. y=3（x+2）2﹣1D. y=3（x+2）2+5
【答案】C
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8. 设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（ ）
A. ﹣4B. 0C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1，α•β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．∵方程+x﹣2=0的两个根为α，β，∴α+β=﹣1，α•β=﹣2，∴（α﹣2）（β﹣2）=α•β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4．
故选C．
考点：根与系数的关系．
9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点性质，是解决问题的关键．
根据二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为1,0，求出，方程为，解得（方法不唯一）．
【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为1,0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；根据二次函数的图象开口向上，可得，再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，可判断②；根据当时，，可判断③；根据当时，以及，可判断④．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有2个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选：D
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知关于的方程的一个根为，则 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】直接把代入方程中，求解关于k的方程即可.
【详解】把代入方程中，得1+k-3=0，k=2，故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
12. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝3，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵a＝1＞0，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键．
13. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
【答案】50（1﹣x）2=32．
【解析】
【详解】由题意可得，
50(1−x)²=32，
故答案为50(1−x)²=32.
14. 函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____.
【答案】或4
【解析】
【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．
【详解】把y=8直接代入函数，得：，
∵，
∴
代入，得：x=4，所以自变量x的值为或4
【点睛】本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
15. 如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理．
过点B作轴于C，先得出为等腰直角三角形，再推出为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出AB，的长，继而可得出结果．
【详解】解：过点作轴于，
∵点在直线上，设点的坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又点的坐标为，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的面积=．
故答案为：1
16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接，由题意可知
则，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：
原式
．
18. 选择适当的方法求解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
即，
∴或，
∴，；
小问2详解】
解：，
整理得，
配方得，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
19. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：

（1）李亮成绩的中位数为： 秒；
（2）计算李亮成绩的方差；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
【答案】（1）13.3
（2）0.02 （3）选择张明，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了方差，算术平均数和中位数、统计图．
（1）利用折线统计图确定李亮成绩的中位数；
（2）利用平均数、中位数和方差的定义求解；
（3）根据方差的意义进行判断．
【小问1详解】
解：把李亮5次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是13.3，故中位数是13.3；
故答案为：13.3；
【小问2详解】
解：李亮成绩的方差为：
；
【小问3详解】
解：选择张明．理由如下：
因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
20. 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接AB．
（1）求的值和两直线交点的坐标；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
【答案】（1），，点的坐标为；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出的值，进而可得一次函数解析式，再联立函数解析式可得方程组，解方程组即可得到点的坐标；
（）求出点坐标，可得，再根据即可求解；
（）根据图象解答即可求解；
本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与不等式，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴直线的函数解析式为，
把B-2,0代入得，，
∴，
∴直线的函数解析式为，
由，解得，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：把x=0代入得，，
∴C0,1，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由图象可得，当时，，
∴时自变量的取值范围为．
21. 已知关于的一元二次方程．（m为实数）
（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出，的值，再根据完全平方公式的变形求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵方程的两个实数根为、
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴解得或（舍去）．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：，．
22. 如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若 ，，求四边形周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理、勾股定理：
（1）先证明是的中位线，进而可证明，再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出，继而可得菱形的边长，再由菱形周长定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵分别是边AB、的中点，即，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的周长．
23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=－x2+90x－1800；
（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225；
（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】
【分析】（1）根据销售利润=单个利润×销售量，列出式子整理后即可得；
（2）由（1）中函数解析式，利用二次函数的性质即可得；
（3）将w=200代入（1）中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得．
【详解】（1）w=（x﹣30）y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x=45时，w有最大值，最大值是225；
即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去，
即x=40．
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【点睛】本题是一元二次方程与二次函数的综合，考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，由利润关系得出二次函数解析式是本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
①求a，c的值．
②当时，函数的最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）①，；②
【解析】
【分析】（1）假设存在和谐点，设其坐标为，则可得，解方程即可；
（2）①令，即，由二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则方程只有一个实数解，再由和谐点坐标为，即可得到方程的解为，由根与系数的关系得到，由此求解即可；
②画出的函数图像，然后利用函数图像进行求解即可．
本题主要考查了求一次函数的图像上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
【小问1详解】
解：（1）假设存在和谐点，设其坐标为，
∴，
解得，
∴函数的图象上有一个和谐点；
【小问2详解】
①令，即，
∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴方程只有一个实数解，
∴，即，
又∵和谐点坐标为，
∴方程的解为，
∴
解得，
∴．
∴函数，即，
②如图，该函数图象顶点为，与y轴交点为， 由对称性，该函数图象也经过点．
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2） 如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3） 如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或；
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
（2）由题意易得，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，则有直线的解析式为，然后可直接求解；
（3）分或等于两种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
把坐标代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或；
【小问3详解】
解：①当时，
当在轴上方时，如图2，
设交轴于点，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线过点，则其直线方程为：②，
联立，
解得： 或（舍去），
∴点的坐标为；
当在轴下方时，如图2，过点作交于点，则，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
直线可以看成直线平移而得，其值，
则其直线表达式为： ，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
∵，则，
即：，
解得：，
则点，
同理可得：直线表达式为：，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
当在上方时，如图3，点为图2所求，
设交于点，
∵，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，
同理可得：直线的表达式为：，
令，解得或 (舍去负值)，
∴ ；
当在下方时，
同理可得： (舍去负值)，
故点．
故点的坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．
平均数
中位数
方差
张明
13.3
13.3
0.004
李亮
13.3
3