2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=2x+1B. y=3x2C. y=xD. y=1x
2.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的( )
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
4.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1，最大值是2B. 对称轴是直线x=1，最小值是2
C. 对称轴是直线x=−1，最大值是2D. 对称轴是直线x=−1，最小值是2
5.已知直线y=(m−3)x−3m+1不经过第一象限，则m的取值范围是( )
A. m≥13B. m≤13C. 130，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为3m，m，然后利用x1−x2=2，即可求出m的值．
本题考查了根的判别式，解题的关键是表示出方程的两个根．
22.【答案】(1)证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE=EC．
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°．
∴AC⊥DF．
∴四边形ADCF是菱形．
(2)解：∵四边形ADCF是菱形，
∴CD=CF=AF=AD，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∵D是AB的中点，
∴AD=12AB= 5，
∴四边形ADCF的周长=4 5．
【解析】(1)先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE/​/BC，证出AC⊥DF，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AB，可得AD的长，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE/​/BC是解决(1)的关键．
23.【答案】解：(1)w=(x−30)⋅y=(−x+60)(x−30)=−x2+30x+60x−1800=−x2+90x−1800，
w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800；
(2)根据题意得：w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225，
∵−148，x2=50不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
(1)每天的销售利润w=每天的销售量×每件产品的利润；
(2)根据配方法，可得答案；
(3)根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
24.【答案】解：(1)当a=1，c=2时，y=x2+4x+2，
令y=x，则x2+3x+2=0，
解得：x1=−1，x2=−2，
∴该函数的完美点为P1(−1,−1)，P2(−2,−2)；
(2)令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ=9−4ac=0，则4ac=9．
又方程根为x=−b2a=−32a=32，
∴a=−1，c=−94，
该二次函数的解析式为y=−x2+4x−94；
(3)∵y=−x2+4x−94−34=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2,1)，

与y轴交点为(0,−3)，根据对称规律，点(4,−3)也是该二次函数图象上的点．在x=2左侧，y随x的增大而增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小；
∵当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最小值为−3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
【解析】(1)根据完美点的概念，由y=x与抛物线解析式联立即可求得答案；
(2)由题意得关于x的方程ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，可得Δ=9−4ac=0，则4ac=9，再将完美点的坐标代入即可求得答案；
(3)由题意得y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据二次函数的图象和性质，可求得x的取值范围．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
25.【答案】解：(1)OB=OC=3，则：B(3,0)，C(0,3)，
把B、C坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：y=−x2+2x+3…①；
(2)∵S△COF：S△CDF=3：2，
∴S△COF=35S△COD，即：xD=53xF，
设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，
点F在直线BC上，
而BC所在的直线表达式为：y=−x+3，则F(3t,3−3t)，
则：直线OF所在的直线表达式为：y=3−3t3tx=1−ttx，
则点D(5t,5−5t)，
把D点坐标代入①，解得：t=15或25，
则点D的坐标为(1,4)或(2,3)；
(3)①当∠PEB=2∠OBE时，
当BP在x轴上方时，
如图2，设BP1交y轴于点E′，
∴∠P1BE=2∠OBE，∴∠E′BO=∠EBO，又∠E′OB=∠EBO=60°，BO=BO，
∴E′BO△≌△EBO(AAS)，
∴EO=EO=32，∴点E′(0,32)，
直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y=−12x+32…②，
联立①②并解得：x=−12，
故点P1的坐标为(−12,74)；
当BP在x轴下方时，
如图2，过点E作EF/​/BE′交BP2于点F，则∠FEB=∠EBE′，
∴∠E′BE=2∠OBE，∠EBP2=2∠OBE，∴∠FEB=∠EBF，
∴FE=BF，
直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为−12，
则其直线表达式为：y=−12x−32，
设点F(m,−12m−32)，过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，
则点H(0,−12m−32)，K(3,−12m−32)，
∵EF=BF，则FE2=BF2，
即：m2+(−32+12m+32)2=(3−m)2+(12m+32)2，
解得：m=52，则点F(52,−114)，
则直线BF的表达式为：y=112x−332…③，
联立①③并解得：x=−132或3(舍去3)，
则点P2(−132,−2094)；
②当∠PEB=2∠OBE时，
当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，
设BE′交EP3于点F，
∵∠EBE′=2∠OBE，∴∠EBE′=∠P3EB，
∴FE=BF，
由①知，直线BE′的表达式为：y=−12x+32，
设点F(n,−12n+32)，K(3,−12n+32)，
由FE=BF，同理可得：n=12，
故点F(12,54)，则直线EF的表达式为：y=112x−32…④，
联立①④并解得：n=1或−92(舍去负值)，
∴P3(1,4)；
当EP在BE下方时，
同理可得：x=5± 974(舍去负值)，
故点P4(5+ 974,−17+ 978)，
故点P的坐标为：(1,4)或(−12,74)或(−132,−2094)或(5+ 974,−17+ 978).
【解析】(1)OB=OC=3，则：B(3,0)，C(0,3)，把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y=−x2+2x+3…①；
(2)S△COF：S△CDF=3：2，则S△COF=35S△COD，即：xD=35xF，即可求解；
(3)分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．
本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道难度较大的题目．平均数
中位数
方差
张明
13.3
0.004
李亮
13.3
0.02