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2024年湖南省长沙市芙蓉区中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（ ）．
A. 3.5×106B. 3.5×107C. 35×106D. 35×107
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的余弦值为（ ）
A 3B. C. D.
6. 如图，点在上，，则的度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 50°D. 60°
7. 二次函数图象与一次函数只有一交点，则b的值为（ ）.
A. B. b=2或b=12C. D. 或
8. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A. 关于x的方程的解是
B. 关于x的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于x，y的方程组的解是
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（ ）
A B.
C D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：__________．
12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为__________．
13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____．
14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为__________．
15. 如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
三、答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，在△ABC中，，，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠BOD的度数．
20. 购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他．数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名消费者？
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数．
21. 如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米．
22. 如图，中，分别是的中点，，过点B作，交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若BC=2, ∠BCE=60 ° ，求菱形的面积．
23. 在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15千米，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5千米，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间1.5倍．
（1）求甲、乙两队每天修路多少米？
（2）已知甲队每天工作费用7500元，乙队每天工作费用6000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78000元，求甲队至少要工作多少天？
24. 在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点Q为点P“沉毅点”．例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点．
（1）若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；
（2）若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；
（3）若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线∶与双曲线交于点和．过作轴于，交于，且．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点是线段上的一动点，过作轴于，连接，若面积为，求的取值范围（如图2）．
（3）经过点的直线交轴于点H，在直线上是否存在点M，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由（如图3）．
1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（ ）．
A. 3.5×106B. 3.5×107C. 35×106D. 35×107
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的余弦值为（ ）
A 3B. C. D.
6. 如图，点在上，，则的度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 50°D. 60°
7. 二次函数图象与一次函数只有一交点，则b的值为（ ）.
A. B. b=2或b=12C. D. 或
8. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A. 关于x的方程的解是
B. 关于x的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于x，y的方程组的解是
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（ ）
A B.
C D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：__________．
12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为__________．
13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____．
14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为__________．
15. 如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
三、答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，在△ABC中，，，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠BOD的度数．
20. 购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他．数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名消费者？
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数．
21. 如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米．
22. 如图，中，分别是的中点，，过点B作，交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若BC=2, ∠BCE=60 ° ，求菱形的面积．
23. 在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15千米，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5千米，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间1.5倍．
（1）求甲、乙两队每天修路多少米？
（2）已知甲队每天工作费用7500元，乙队每天工作费用6000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78000元，求甲队至少要工作多少天？
24. 在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点Q为点P“沉毅点”．例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点．
（1）若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；
（2）若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；
（3）若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线∶与双曲线交于点和．过作轴于，交于，且．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点是线段上的一动点，过作轴于，连接，若面积为，求的取值范围（如图2）．
（3）经过点的直线交轴于点H，在直线上是否存在点M，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由（如图3）．
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