初中苏科版（2024）10.1 分式精练

这是一份初中苏科版（2024）10.1 分式精练，共20页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·福建泉州·八年级统考期末）下列式子变形正确的是（ ）
A．ab=a+1b+1B．a6a3=a2C．ambm=abD．0.2aℎ=2aℎ
2．（3分）（2023·河北承德·八年级统考期末）若 (1a−1b)÷2○的运算结果为整式，则“○”中的式子可能为（ ）
A．a−bB．a+bC．abD．a2−b2
3．（3分）（2023·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）设M=y+1x+1，N=yx，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M=NC．M4．（3分）（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为（ ）
A．10B．11C．15D．16
5．（3分）（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）若分式方程xx−4=2+ax−4有增根，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
6．（3分）（2023上·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3B．4或5C．3或5D．3或4
7．（3分）（2023上·浙江台州·八年级统考期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．727D．9
8．（3分）（2023上·广东汕头·八年级统考期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{1x，2x}＝3x－1的解为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或－2
9．（3分）（2023上·天津宝坻·八年级统考期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：1x，1x+1：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为M1；相除，结果记为N1；
（即M1=1x×1x+1=1xx+1，N1=1x÷1x+1=x+1x）
第二次操作：将M1，N1相乘，结果记为M2；相除，结果记为N2；
（即M2=M1×N1，N2=M1÷N1）
第三次操作：将M2，N2相乘，结果记为M3；相除，结果记为N3；
（即M3=M2×N2，N3=M2÷N2）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①M3=M12； ③若N4=81，则x=3；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=1x2n，N2n=1x+12n
④当x=1时，M2n−1⋅N2n−1=1一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：NnNn+1为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·贵州六盘水·八年级统考期末）已知，关于x的分式方程1x−2=4mx无解，则m的值为 .
12．（3分）（2023下·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是 ．
③求x的值．
20．（8分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．
(1)该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
(2)为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
(3)在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系．
21．（8分）（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15,⋯⋯
(1)计算：若n为正整数，猜想1nn+1=___________
(2)1x+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2014)(x+2015)
(3)若ab−2+b−1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)的值
22．（8分）（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a,x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+8x=6有两个解，分别为x1=2，x2=________．
(2)关于x的方程x+m−nmnx=m+4mn−n2mn的两个解分别为x1=2，x2=_________．
(3)关于x的方程2x+n2−n2x−1=2n的两个解分别为x1,x2x123．（8分）（2023上·北京平谷·八年级统考期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，若x无限增大，则1x无限接近于0；当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：2x+1x−2=2x−4+4+1x−2=2(x−2)+5x−2=2(x−2)x−2+5x−2=2+5x−2;
根据上述材料完成下列问题：
(1)当x>0时，随着x的增大，2+1x的值 (增大或减小)；当x<0时，随着x的增大，3x+1x的值 （增大或减小）；
(2)当x>−3时，随着x的增大，2x+8x+3的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
1x
…
−0.25
−0.3·
−0.5
−1
无意义
1
0.5
0.3·
0.25
…
第10章 分式章末拔尖卷
【苏科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·福建泉州·八年级统考期末）下列式子变形正确的是（ ）
A．ab=a+1b+1B．a6a3=a2C．ambm=abD．0.2aℎ=2aℎ
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质逐一判断，即得，分式的基本性质是分式的分子与分母同乘以或除以一个不等于0的数或整式分式的值不变．
【详解】A. ab=a+1b+1，
当a=b时成立，a≠b时不成立，
∴原式变形不正确；
B. a6a3=a2，
当a=1时成立，a≠1时不成立，
∴原式变形不正确；
C. ambm=ab，
成立，
∴原式变形正确；
D. 0.2aℎ=2aℎ，
当a=0时成立，a≠0时不成立，
∴原式变形不正确．
【点睛】本题主要考查了分式的变形，解决问题的关键是熟练运用分式的基本性质进行变形．
2．（3分）（2023·河北承德·八年级统考期末）若 (1a−1b)÷2○的运算结果为整式，则“○”中的式子可能为（ ）
A．a−bB．a+bC．abD．a2−b2
【答案】B
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：A．1a−1b÷2a−b=b−aab⋅a−b2=−a2−2ab+b22ab，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B．1a−1b÷2a+b=b−aab⋅a+b2=b2−a22ab，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C．1a−1b÷2ab=b−aab⋅ab2=b−a2，是整式，故本选项符合题意；
D．1a−1b÷2a2−b2=b−aab⋅a+ba−b2=−a+ba−b22ab是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（3分）（2023·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）设M=y+1x+1，N=yx，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M=NC．M【答案】B
【分析】用差值法比较大小，M−N=y+1x+1−yx，进行通分，由x>y>0可判断M、N的大小.
【详解】M−N=y+1x+1−yx
=x(y+1)−y(x+1)x(x+1)
=xy+x−xy−yx(x+1)
=x−yx(x+1).
∵x>y>0
∴x(x+1)>0，x−y>0
∴M−N>0
故M>N.选A.
【点睛】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算.还需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负判断结果的符号.
4．（3分）（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为（ ）
A．10B．11C．15D．16
【答案】B
【分析】根据已知变形得到m2−3m=2，进而可得m−2m=3，求出m2+4m2=13，再将所求代数式变形得到即可答案．
【详解】解：∵m2−3m−2=0，且根据题意有：m≠0，
∴m2−3m=2，即m−3=2m，
即m−2m=3，
∴m−2m2=32=9， 即m2+4m2=13，
则2m2−3m+4m2
=m2−3m+m2+4m2
=2+13
=15．
【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由m−2m2=32=9， 得到m2+4m2=13，是解题的关键．
5．（3分）（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）若分式方程xx−4=2+ax−4有增根，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【分析】已知方程两边都乘以x−4去分母后求出x的值，由方程有增根得到x=4，即可求出a的值．
【详解】解：已知方程去分母得x=2(x−4)+a，
解得x=8−a，
由分式方程有增根得x=4，
∴8−a=4，
∴a=4．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时，x的值．
6．（3分）（2023上·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3B．4或5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解方程得，x=mm−2，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m的值．
【详解】解：原方程为，2x−1=mx，
可化为整式方程，2x=m(x−1)，
解得x=mm−2(m≠2)，
经检验，x=mm−2是分式方程的解，
∵分式方程2x−1=mx有正整数解，
∴整数m的值是3或4，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
7．（3分）（2023上·浙江台州·八年级统考期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．727D．9
【答案】B
【分析】把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，变形可得x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，两边除以x+y+z得到1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，则14x+y+z=76，从而得到x+y+z的值．
【详解】解：∵zx+y+xy+z+yz+x=11，
∴1+zx+y+1+xy+z+1+yz+x=14，
即x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，
∴1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，
而1x+y+1y+z+1z+x=76，
∴14x+y+z=76，
∴x+y+z=12．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出x+y+z．
8．（3分）（2023上·广东汕头·八年级统考期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{1x，2x}＝3x－1的解为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或－2
【答案】A
【分析】分类讨论1x与2x的大小，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：当1x>2x时，x＜0，方程变形为2x=3x−1，
去分母得：2=3-x，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当1x<2x，，x＞0，方程变形得：1x=3x−1，
去分母得：1=3-x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，分类讨论是解本题的关键．
9．（3分）（2023上·天津宝坻·八年级统考期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时走2.5x千米，根据等量关系：乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，可列方程：,故选D.
考点：列一元一次方程.
10．（3分）（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：1x，1x+1：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为M1；相除，结果记为N1；
（即M1=1x×1x+1=1xx+1，N1=1x÷1x+1=x+1x）
第二次操作：将M1，N1相乘，结果记为M2；相除，结果记为N2；
（即M2=M1×N1，N2=M1÷N1）
第三次操作：将M2，N2相乘，结果记为M3；相除，结果记为N3；
（即M3=M2×N2，N3=M2÷N2）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①M3=M12； ③若N4=81，则x=3；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=1x2n，N2n=1x+12n
④当x=1时，M2n−1⋅N2n−1=1一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：NnNn+1为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可．
【详解】解：∵M1=1x×1x+1=1xx+1，N1=1x÷1x+1=x+1x
∴M2=M1×N1=1xx+1×x+1x=1x2，N2=M1÷N1=1xx+1÷x+1x=1xx+1×xx+1=1x+12
∴M3=M2×N2=1x2×1x+12=1x2x+12，N3=M2÷N2=1x2÷1x+12=1x2×x+121=x+12x2
∴M4=M3×N3=1x2x+12×x+12x2=1x4
N4=M3÷N3=1x2x+12÷x+12x2=1x2x+12×x2x+12=1x+14
……
M2n−1=1xx+12n−2，N2n−1=x+1x2n−2
M2n=1x2n，N2n=1x+12n
由M3=1x2x+12=1xx+12=M12,即①正确；
由N4=1x+14=81，则x+1=13，即x=−23，故③错误；
由M2n=1x2n，N2n=1x+12n，故③正确；
由当x=1时，M2n−1⋅N2n−1=1xx+12n−2⋅x+1x2n−2=1x4n−4=1，故④正确；
由N3N4=x+12x21x+14=x+16x2，可知NnNn+1不是定值，故⑤错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·贵州六盘水·八年级统考期末）已知，关于x的分式方程1x−2=4mx无解，则m的值为 .
【答案】0或14
【分析】转化成整式方程求出方程的解，根据无解得出m的值．
【详解】解：方程两侧同乘x(x−2)得：x=4mx−2，整理得1−4mx=−8m，
∵方程无解，
∴1−4m=0，
m=14，
∵当x=2或x=0时方程无解，
∴m=0，
故答案为：0或14．
【点睛】本题考查了分式方程无解时情况，转化成整式方程进行分析是最基本的方法．
12．（3分）（2023下·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：∵ x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=A(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2)+Bx(x+2)x(x+1)(x+2)+Cx(x+1)x(x+1)(x+2)，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2Ax(x+1)(x+2)，
∴ A+B+C=13A+2B+C=02A=2，
解得，A=1B=−3C=3，
∴A+2B+3C=1+2×(−3)+3×3=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于A、B、C的方程组是解题的关键．
13．（3分）（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知非零实数m，n满足n=mm−1，则m+nmn的值等于 ．
【答案】1
【分析】将已知变形得到mn=m+n，进而代入得出答案．
【详解】解：∵非零实数m，n满足n=mm−1，
∴nm−1=m
∴mn=m+n
∴m+nmn=mnmn=1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式的值，正确将已知变形成为mn=m+n是解题关键．
14．（3分）（2023上·河南驻马店·八年级统考期末）关于x的分式方程1x−1+a−11−x=2的解为正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a<4且a≠2.
【分析】去分母，化成整式，计算分母为零时，a的值，计算方程的解，根据解是正数，转化为不等式，确定a的范围，最后将分母为零时的a值除去即可.
【详解】解：∵1x−1+a−11−x=2，去分母，得
-1+a-1=2（1-x）,
当x=1时，解得a=2；
当x≠1时，解得x=4−a2，
∵方程的解为正数，
∴4−a2＞0，
∴a＜4，
∴a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2.
【点睛】本题考查了分式方程的解，探解时，熟练把解转化为相应的不等式，同时，把分母为零对应的值扣除是解题的关键.
15．（3分）（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）关于x的方程x+1x=a+1a的两个解为x1=a，x2=1a；x+2x=a+2a的两个解为x1=a，x2=2a；x+3x=a+3a的两个解为x1=a，x2=3a．则关于x的方程x+5x−2=a+5a−2的两个解分别为x1= ，x2= ．
【答案】a 2a+1a−2
【分析】将方程x+5x−2=a+5a−2两边同时减去2，将x−2看成一个整体，根据题意即可得出x−2=a−2或x−2=5a−2，即可求解．
【详解】解：x+5x−2=a+5a−2，
x−2+5x−2=a−2+5a−2，
∴x−2=a−2或x−2=5a−2，
解得：x1=a，x2=2a+1a−2，
故答案为：a，2a+1a−2．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，弄清题中方程解的规律是解题关键．
16．（3分）（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知三个数，x，y，z满足xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43，则y的值是
【答案】127
【分析】将xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43变形为x+yxy=−13,y+zyz=34,z+xzx=−34，得到1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34，利用(1z+1y)−(1x+1z)=32，求出1x=1y−32，代入1y+1x=−13即可求出答案．
【详解】∵xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43，
∴x+yxy=−13,y+zyz=34,z+xzx=−34，
∴1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34，
∴(1z+1y)−(1x+1z)=32，
得1y−1x=32，
∴1x=1y−32，
将1x=1y−32代入1y+1x=−13，得2y=76，
∴y=127，
故答案为：127．
【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·重庆北碚·八年级统考期末）计算：
(1)2a2b÷−a2b2⋅a4b2；
(2)a2+3aa−3−3÷a2+9a2−9．
【答案】(1)2ab
(2)a+3
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】（1）原式=2a2b⋅4b2a2⋅a4b2
=2ab
（2）原式=a2+3aa−3−3a−9a−3⋅a2−9a2+9
=a2+9a−3⋅a+3a−3a2+9
=a+3
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）（2023上·河南周口·八年级校联考期末）解分式方程：
(1)1−xx−2=22−x−2；
(2)5x2+x−1x2−x=0．
【答案】(1)x=1
(2)x=32
【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；
（2）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；
【详解】（1）解：方程两边乘x−2，得
1−x=−2−2(x−2)，
解得x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
∴原分式方程的解为x=1；
（2）解：方程两边乘x(x+1)(x−1)，得
5(x−1)−(x+1)=0，
解得x=32，
检验：当x=32时，x(x+1)(x−1)≠0，
∴原分式方程的解为x=32；
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是注意检验是否为增根．
19．（8分）（2023下·安徽亳州·八年级统考期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式P=xx+1，Q=1x+1，P+Q=x+1x+1=1，则P与Q互为“完美分式”，“完美值”m=1．
(1)已知分式A=x−1x−4，B=x−7x−4，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m；
(2)已知分式C=3x−4x−2，D=Ex2−4，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m=3，其中x为正整数，分式D的值为正整数．
①求E所代表的代数式；
③求x的值．
【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”m=2；
(2)①E=−2x−4；③x=1．
【分析】（1）先计算A+B，再根据结果可得m的值；
（2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得C+D=3x−4x−2+Ex2−4=3，再整理即可求出E所代表的代数式；③由E=−2x−4，可确定D=−2x−4x2−4=−2x−2，再根据x为正整数，分式D的值为正整数，即可解答；
【详解】（1）解：∵A+B=x−1x−4+x−7x−4=2x−4x−4=2，
∴A与B是“完美分式”，且“完美值”m=2；
（2）解：①∵C与D互为“完美分式”，
∴C+D=3x−4x−2+Ex2−4=3，
3x−4x+2x2−4+Ex2−4=3，
3x2+2x−8+E=3x2−12，
∴E=−2x−4；
③∵E=−2x−4，
∴D=−2x−4x2−4=−2x−2．
∵x为正整数，分式D的值为正整数，
∴x=1．
【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键．
20．（8分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．
(1)该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
(2)为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
(3)在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系．
【答案】(1)该杨梅园今年六月第一周市区销售了400千克杨梅，园区销售了600千克杨梅
(2)本次活动对市区和园区进行9折销售
(3)a与b的数量关系为a=2b
【分析】（1）设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，利用总价=单价×数量，结合“该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次活动对市区和园区进行m折销售，利用数量=总价÷单价，结合用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（3）根据该杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等，可列出关于a，b的二元一次方程，变形后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，
根据题意得：x+y=100015x+10y=12000，
解得：x=400y=600．
答：该杨梅园今年六月第一周市区销售了400千克杨梅，园区销售了600千克杨梅；
（2）设本次活动对市区和园区进行m折销售，
根据题意得：243010×m10−324015×m10=30，
解得：m=9，
经检验，m=9是所列方程的解，且符合题意．
答：本次活动对市区和园区进行9折销售；
（3）根据题意得：15×0.9a+10×0.9ba+b=120001000，
∴a=2b．
答：a与b的数量关系为a=2b．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）找准等量关系，正确列出分式方程．
21．（8分）（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15,⋯⋯
(1)计算：若n为正整数，猜想1nn+1=___________
(2)1x+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2014)(x+2015)
(3)若ab−2+b−1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)的值
【答案】(1)1n−1n+1
(2)x+4030x2+2015x
(3)1112
【分析】（1）根据已知等式得到拆项规律，写出即可
（2）根据已知等式得到拆项规律，写出即可
（3）根据绝对值的性质，分别计算即可
【详解】（1）1nn+1=n+1−nnn+1=1n−1n+1
（2）1x+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2014)(x+2015)
=1x+1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯⋯+1x+2014−1x+2015
=1x+1x−1x+2015
=x+4030x2+2015x
（3）∵ab−2+b−1=0，
∴ab−2=0，b−1=0，
∴a=2，b=1，
∴1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)
得2x−1=n−1或2x−1=n，
可得x1=n2，x2=n+12，
则原式=n−1n+1．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
23．（8分）（2023上·北京平谷·八年级统考期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，若x无限增大，则1x无限接近于0；当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：2x+1x−2=2x−4+4+1x−2=2(x−2)+5x−2=2(x−2)x−2+5x−2=2+5x−2;
根据上述材料完成下列问题：
(1)当x>0时，随着x的增大，2+1x的值 (增大或减小)；当x<0时，随着x的增大，3x+1x的值 （增大或减小）；
(2)当x>−3时，随着x的增大，2x+8x+3的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0【答案】(1)减小，减小
(2)当x>−3时，2x+8x+3无限接近于2
(3)1<3x−4x−2<2
【分析】（1）根据1x的变化情况，判断2+1x、3x+1x值得变化情况即可；
（2）根据材料由2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3即可求解；
（3）由3x−4x−2=3x−2+2x−2=3+2x−2，配合0【详解】（1）解：∵当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，
∴随着x的增大，2+1x的值随之减小；
∵当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小，
∴随着x的增大，3x+1x的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3
∵当x>−3时，2x+3的值无限接近于0，
∴当x>−3时，2x+8x+3无限接近于2；
（3）解：3x−4x−2=3x−2+2x−2=3+2x−2，
∵0∴−2∴−2<2x−2<−1，
∴3−2<3+2x−2<3−1，
即1<3+2x−2<2
∴1<3x−4x−2<2，
故答案为：1<3x−4x−2<2
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
1x
…
−0.25
−0.3·
−0.5
−1
无意义
1
0.5
0.3·
0.25
…