初中数学苏科版（2024）八年级下册10.1 分式习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册10.1 分式习题，共33页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1984" 【题型1 探究分式值为整数问题】 PAGEREF _Tc1984 \h 1
\l "_Tc19516" 【题型2 探究利用分式性质求值问题】 PAGEREF _Tc19516 \h 2
\l "_Tc7245" 【题型3 探究分式的规律性问题】 PAGEREF _Tc7245 \h 2
\l "_Tc19456" 【题型4 探究分式方程的正负解问题】 PAGEREF _Tc19456 \h 3
\l "_Tc13285" 【题型5 探究分式方程的整数解问题】 PAGEREF _Tc13285 \h 4
\l "_Tc21289" 【题型6 探究分式方程的无解问题】 PAGEREF _Tc21289 \h 4
\l "_Tc31918" 【题型7 探究分式方程的增根问题】 PAGEREF _Tc31918 \h 5
\l "_Tc1441" 【题型8 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc1441 \h 5
【题型1 探究分式值为整数问题】
【例1】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x+1x−1，x2x−1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，2x+1x2−1．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：125=10+25=2+25．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：x+1x−1=x−1+1+1x−1=1+2x−1．
(1)将分式5x−1x−2化为带分式；
(2)在（1）问中，当x取哪些数值时，分式5x−1x−2的值也是整数；
(3)当x的值变化时，分式3x2+17x2+3的最大值为 ．
【变式1-1】（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式4x−1的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ．
【变式1-2】（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期中）若x是整数，则使分式8x+22x−1的值为整数的x值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【变式1-3】（2023下·河北保定·八年级统考期末）已知x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，则整数x= ．
【题型2 探究利用分式性质求值问题】
【例2】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知abc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=16，则1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值是
【变式2-1】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知三个数，x，y，z满足xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43，则y的值是
【变式2-2】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值 ．
【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4．求1xy+1yz+1zx的值为 ．
【题型3 探究分式的规律性问题】
【例3】（2023上·山东德州·八年级阶段练习）给定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，．．．，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
【变式3-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=11−S1，S3=11−S2，S4=11−S3，… 按此规律，请用含a的代数式表示S2022= ．
【变式3-2】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，……
(1)计算：若n为正整数，猜想1nn+1=______；
(2)1x+2023+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2022)(x+2023)；
(3)若ab−2+b−1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+3)(b+3)+⋯+1(a+21)(b+21)的值．
【变式3-3】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．
如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，
所以1x+2是1x+1的“友好分式”．
(1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“友好分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式xx−3的“友好分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b的“友好分式”：______．
③若n+2mx+m2+n是m−1mx+n2的“友好分式”，则m+n的值为______．
【题型4 探究分式方程的正负解问题】
【例4】（2023上·重庆·八年级重庆一中校考期中）若关于x的不等式组3x<2(x+2)2x−4x+13≥a12有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程23−y−ay−5y−3=1的解是正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【变式4-1】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知关于x的分式方程x−ax−2=12的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥1且a≠2D．a≥1且a≠1
【变式4-2】（2023·云南·统考中考真题）若整数a使关于x的不等式组x−12≤11+x34x−a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，则a的值为（ ）
A．−61或−58B．−61或−59C．−60或−59D．−61或−60或−59
【变式4-3】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）若实数m使关于x的不等式组3−2+x3≤x+322x−m<−2有整数解且至多有4个整数解，且使关于y的分式方程1y−1=m−61−y−2的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【题型5 探究分式方程的整数解问题】
【例5】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有
A．3B．2C．1D．0
【变式7-1】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）若关于x的方程1x−2+3x−m2−x=1有增根，则这个增根为x= ，m的值是 ．
【变式7-2】（2023下·上海浦东新·八年级上海市张江集团中学校考阶段练习）如果在解关于x的方程x+1x+2−xx−1=kx+2x2+x−2时产生了增根，那么k的值为 ．
【变式7-3】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【题型8 分式方程的应用】
【例8】（2023·浙江温州·统考一模）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
③已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【变式8-1】（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
【变式8-2】（2023上·重庆江北·八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ．
【变式8-3】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
专题10.9 分式章末八大题型总结（拔尖篇）
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1984" 【题型1 探究分式值为整数问题】 PAGEREF _Tc1984 \h 1
\l "_Tc19516" 【题型2 探究利用分式性质求值问题】 PAGEREF _Tc19516 \h 4
\l "_Tc7245" 【题型3 探究分式的规律性问题】 PAGEREF _Tc7245 \h 7
\l "_Tc19456" 【题型4 探究分式方程的正负解问题】 PAGEREF _Tc19456 \h 11
\l "_Tc13285" 【题型5 探究分式方程的整数解问题】 PAGEREF _Tc13285 \h 14
\l "_Tc21289" 【题型6 探究分式方程的无解问题】 PAGEREF _Tc21289 \h 17
\l "_Tc31918" 【题型7 探究分式方程的增根问题】 PAGEREF _Tc31918 \h 20
\l "_Tc1441" 【题型8 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc1441 \h 23
【题型1 探究分式值为整数问题】
【例1】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x+1x−1，x2x−1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，2x+1x2−1．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：125=10+25=2+25．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：x+1x−1=x−1+1+1x−1=1+2x−1．
(1)将分式5x−1x−2化为带分式；
(2)在（1）问中，当x取哪些数值时，分式5x−1x−2的值也是整数；
(3)当x的值变化时，分式3x2+17x2+3的最大值为 ．
【答案】(1)5+9x−2；
(2)当x取−7，−1，1，3，5，11时，分式5x+1x−2的值也是整数；
(3)173．
【分析】本题考查了新定义的理解，分式的变形及分式的值，掌握求解是分式的值为整数时字母的值是解本题的关键.
（1）将分子5x−1x−2变为5x−10+10−1x−2，即可以把分式化为带分式；
（2）根据（1）的结果，要使5x−1x−2为整数，则9x−2必为整数，得到x−2为9的因数，分情况即可得到x的值；
（3）分式3x2+17x2+3要取最大值，则x2+3取最小值，据此可求出x的值，从而求出3x2+17x2+3的最大值；熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
【详解】（1）5x−1x−2=5x−10+10−1x−2=5x−2+9x−2=5+9x−2；
（2）由（1）得：5x−1x−2=5+9x−2，
要使5x−1x−2为整数，则9x−2必为整数，
∴x−2为9的因数，
∴x−2=±1或x−2=±3或x−2=±9，
解得：x=3，x=1，x=5，x=−1，x=11，x=−7，
∴当x取−7，−1，1，3，5，11时，分式5x+1x−2的值也是整数；
（3）3x2+17x2+3=3x2+3+8x2+3=3+8x2+3，
分式3x2+17x2+3要取最大值，则x2+3取最小值，
故当x=0时，x2+3取最小值，
∴最大值3x2+17x2+3=3+8x2+3=3+83=173．
【变式1-1】（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式4x−1的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ．
【答案】−3
【分析】根据分式4x−1的值为整数，x的值也为整数，可得x−1=±4或±2或±1，求出x的值，即可确定出x的最小值．
【详解】解：∵分式4x−1的值为整数，x的值也为整数，
∴x−1=±4或±2或±1，
∴x=5或−3或3或−1或2或0，
∴x的最小值为−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期中）若x是整数，则使分式8x+22x−1的值为整数的x值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先将假分式8x+22x−1分离可得出4+62x−1，根据题意只需2x−1是6的整数约数即可．
【详解】解：8x+22x−1=4(2x−1)+62x−1=4+62x−1
由题意可知，2x−1是6的整数约数，
∴2x−1=1,2,3,6,−1,−2,−3,−6
解得： x=1,32,2,72,0,−12,−1,−52，
其中x的值为整数有：x=0,1,−1,2共4个．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到4+62x−1，从而使问题简单．
【变式1-3】（2023下·河北保定·八年级统考期末）已知x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，则整数x= ．
【答案】4或5
【分析】根据异分母分式加减法计算得2x−3，利用x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：2x+3−2x−3+2x+18x2−9
=2x−3x2−9−2x+3x2−9+2x+18x2−9
=2x−3−2x+3+2x+18x2−9
=2x+6x2−9
=2x−3
∵x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键．
【题型2 探究利用分式性质求值问题】
【例2】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知abc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=16，则1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值是
【答案】−710
【分析】由a+b+c=2，a2+b2+c2=16，利用两个等式之间的平方关系得出ab+ac+bc=−6；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【详解】由a+b+c=2平方得：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=4，
且a2+b2+c2=16，则：ab+ac+bc=−6，
由a+b+c=2得：c+1=3−a−b，
∴ab+3c+3=ab+33−a−b=a−3b−3
同理可得：bc+3a+3=b−3c−3，ca+3b+3=c−3a−3，
∴原式=1a−3b−3+1b−3c−3+1c−3a−3
=a−3+b−3+c−3a−3b−3c−3
=a+b+c−9abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27
=2−91−3×−6+9×2−27
=−710
故答案为：−710．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求值问题；解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
【变式2-1】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知三个数，x，y，z满足xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43，则y的值是
【答案】127
【分析】将xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43变形为x+yxy=−13,y+zyz=34,z+xzx=−34，得到1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34，利用(1z+1y)−(1x+1z)=32，求出1x=1y−32，代入1y+1x=−13即可求出答案．
【详解】∵xyx+y=−3,yzy+z=43,zxz+x=−43，
∴x+yxy=−13,y+zyz=34,z+xzx=−34，
∴1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34，
∴(1z+1y)−(1x+1z)=32，
得1y−1x=32，
∴1x=1y−32，
将1x=1y−32代入1y+1x=−13，得2y=76，
∴y=127，
故答案为：127．
【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到1y+1x=−13,1z+1y=34,1x+1z=−34是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值 ．
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
【详解】∵a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件．
【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4．求1xy+1yz+1zx的值为 ．
【答案】1
【分析】先把(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4去分母、移项，根据因式分解法变形为[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0，由题意得xy+yz+zx﹣1≠0，可推出xyz=x+y+z，化简1xy+1yz+1zx即可得出答案．
【详解】解：∵(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴1yz+1xz+1xy=x+y+zxyz=xyzxyz=1，
即1xy+1yz+1zx的值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
【题型3 探究分式的规律性问题】
【例3】（2023上·山东德州·八年级阶段练习）给定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，．．．，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
【答案】（1）规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y；（2）第7个分式应该是x15y7
【分析】（1）将任意一个分式除以前面一个分式，可得出规律．
（2）由（1）可知任意一个分式除以前面一个分式恒等于一个代数式，由此可得出第7个分式．
【详解】解：（1）第二个分式除以第一个分式得-x2y，第三个分式除以第二个分式得-x2y，
同理，第四个分式除以第三个分式也是-x2y．故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于 -x2y；
（2）由（1）可知该第7个分式应该是 x3y×(-x2y)6=x15y7．
【点睛】本题考查了数字的变化类的相关知识，根据题干的规律找到一般表达式是解题的关键，难度中等．
【变式3-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=11−S1，S3=11−S2，S4=11−S3，… 按此规律，请用含a的代数式表示S2022= ．
【答案】B+1
【分析】根据题意可得S2=11−S1=−1a，S3=11−S2=aa+1，S4=11−S3=a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【详解】解：∵S1=a+1（a不取0和-1），
∴S2=11−S1=−1a，
S3=11−S2=aa+1，
S4=11−S3=a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3=673…1，
∴S2020=a+1．
故答案为：a+1．
【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
【变式3-2】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，……
(1)计算：若n为正整数，猜想1nn+1=______；
(2)1x+2023+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2022)(x+2023)；
(3)若ab−2+b−1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+3)(b+3)+⋯+1(a+21)(b+21)的值．
【答案】(1)1n−1n+1
(2)1x
(3)2223
【分析】此题考查了分式的加减法，有理数的混合运算，以及非负数的性质．
（1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用拆项法变形后，计算即可求出值；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）解：根据题意得：
1nn+1=1n−1n+1；
故答案为：1n−1n+1；
（2）解：原式=1x+2023+1xx+1+1x+1x+2+⋯⋯+1x+2022x+2023
=1x+2023+1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯⋯+1x+2022−1x+2023
=1x+2023+1x−1x+2023
=1x；
（3）解：∵ab−2+b−1=0，
∴ab−2=0，b−1=0，
∴a=2，b=1，
∴1ab+1a+1b+1+1a+2b+2+1a+3b+3+⋯+1a+21b+21
=11×2+12×3+13×4+⋯+122×23
=1−12+12−13+13−14+⋯+122−123
=1−123
=2223．
【变式3-3】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．
如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，
所以1x+2是1x+1的“友好分式”．
(1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“友好分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式xx−3的“友好分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b的“友好分式”：______．
③若n+2mx+m2+n是m−1mx+n2的“友好分式”，则m+n的值为______．
【答案】(1)是
(2)x2x−3
(3)①bax+2b；③23
【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；
③由①推出的结论，类比形式求解即可.
【详解】（1）解：∵22y+3−22y+5=42y+32y+5,22y+3×22y+5=42y+32y+5
∴22y+3与22y+5是“友好分式”
故答案为：是
（2）解：设xx−3的“关联分式”为N，则xx−3−N=xx−3×N，
∴xx−3+1N=xx−3，
∴N=x2x−3．
（3）解：①设bax+b的“关联分式”为N，则bax+b−N=bax+b×N，
∴bax+b+1N=bax+b，
∴N=bax+2b．
规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
故答案为：bax+2b；
③将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
据此可得n+2=m−1mx+m2+n=mx+n2+n+2，
整理得m−n=3m2−n2=2
∴m+n=m2−n2m−n=23．
故答案为：23
【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
【题型4 探究分式方程的正负解问题】
【例4】（2023上·重庆·八年级重庆一中校考期中）若关于x的不等式组3x<2(x+2)2x−4x+13≥a12有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程23−y−ay−5y−3=1的解是正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可．
【详解】解：不等式组3x<2(x+2)2x−4x+13≥a12解得：a+48≤x<4
∵不等式组恰有3个整数解，
∴0∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
23−y−ay−5y−3=1变形为ay−5y−3+2y−3+1=0
去分母，得ay−5+2+y−3=0，解得y=6a+1且y为正数
∴a+1>0，即a>−1
∵y≠3
∴6a+1≠3，解得a≠1且a≠−1
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
0+2+3+4=9
故选C
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-1】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知关于x的分式方程x−ax−2=12的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥1且a≠2D．a≥1且a≠1
【答案】B
【分析】先解分式方程，再根据方程x−ax−2=12的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．
【详解】解：x−ax−2=12，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程x−ax−2=12的解为非负数，x﹣2≠0，
∴2a−2⩾02a−2−2≠0，
解得a≥1且a≠2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．
【变式4-2】（2023·云南·统考中考真题）若整数a使关于x的不等式组x−12≤11+x34x−a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，则a的值为（ ）
A．−61或−58B．−61或−59C．−60或−59D．−61或−60或−59
【答案】A
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定a的范围，结合a为整数，再确定a的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到a的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】解：∵x−12≤11+x3①4x−a>x+1③
由①得：x≤25,
由③得：x＞a+13，
因为不等式组有且只有45个整数解，
∴a+13＜x≤25,
∴−20≤a+13＜−19,
∴−60≤a+1＜−57,
∴−61≤a＜−58,
∵a为整数，
∴a为−61,−60,−59,
∵ 2y+a+2y+1+601+y=1，
∴2y+a+2+60=y+1,
∴y=−61−a,
而y≤0, 且y≠−1,
∴−61−a≤0,
∴a≥−61,
又−61−a≠−1,
∴a≠−60,
综上：a的值为：−61,−59.
故选B．
【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）若实数m使关于x的不等式组3−2+x3≤x+322x−m<−2有整数解且至多有4个整数解，且使关于y的分式方程1y−1=m−61−y−2的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】13
【分析】解不等式组得1≤x【详解】解：∵不等式组有整数解，
∴解不等式组得1≤x∵有整数解至多有4个整数解，
∴1解得：4解分式方程得：y=7−m2，
∵y−1≠0，
∴y≠1，
∴7−m2≠1，
解得：m≠5，
∵解为非负数，
∴7−m2≥0，
解得：m≤7且m≠5，
∴ 4∵m是整数，
∴m为6或7，
∴6+7=13，
故答案：13．
【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组的整数解问题，含参数的分式方程问题，理解不等式组的解集意义和分式方程的解，掌握解法是解题的关键．
【题型5 探究分式方程的整数解问题】
【例5】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有5个整数解，且关于y的方程1y−1+3=my1−y的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据1y−1+3=my1−y的解为整数，即可写出符合条件的m的值．
【详解】解：解不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1得：−6∵不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1至多有5个整数解，
∴−6<−1+m≤−1，
解得−5∴整数m的值为−4，−3，−2，−1，0，
解方程1y−1+3=my1−y得：y=23+m(m≠−3)，
又∵ y为整数，
当m=−4时，y=−2，符合题意，
当m=−2时，y=2，符合题意，
当m=−1时，y=1，不符合题意，
当m=0时，y=23，不符合题意，
∴符合条件的整数m的个数为2，
【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023上·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3B．4或5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解方程得，x=mm−2，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m的值．
【详解】解：原方程为，2x−1=mx，
可化为整式方程，2x=m(x−1)，
解得x=mm−2(m≠2)，
经检验，x=mm−2是分式方程的解，
∵分式方程2x−1=mx有正整数解，
∴整数m的值是3或4，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
【变式5-2】（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组3x−3≥a24−x>0有且只有3个整数解，且关于y的分式方程4y−3=2a3−y−2的解是奇数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−15B．−10C．−6D．−4
【答案】D
【分析】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出a的取值范围；接着将分式方程解出来，求出a的值，结合取值范围取值求解即可．
【详解】3x−3≥a24−x>0解得1+a6≤x<4
∵有且只有3个整数解，
∴0<1+a6≤1，解得−6∵a是整数，
∴a=−5,−4,−3,−2,−1,0
∵4y−3=2a3−y−2解为奇数，
∴y=1−a为奇数，
∴a=−4,−2,0
∵y≠3，
∴a≠−2
∴a=−4,0
故选：D
【点睛】此题考查不等式组和分式方程的解法，解题关键是分式方程的解要检验是否令分母为零了．
【变式5-3】（2023下·重庆·八年级西南大学附中校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组−5−x≤111x−a3x+12>2x+1的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程2y−ay−1−3y−21−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．−1D．2
【答案】B
【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．
【详解】−5−x≤111x−a①3x+12>2x+1③
解不等式①得：x≥a−5512；解不等式③得：x<−1
由题意知不等式组的解集为：a−5512≤x<−1
∵a−5512≤x<−1恰好有三个负整数解
∴−5解得：−5解分式方程2y−ay−1−3y−21−y=1得：y=a+14
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵−5∴−4∴a+1=0或4
即a=−1或3或7，
∵y≠1即a+14≠1,
∴a≠3,
综上：a=−1或7，
则−1+7=6
故选：A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．
【题型6 探究分式方程的无解问题】
【例6】（2023下·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x的分式方程mxx−2x−6+2x−2=3x−6无解，且关于y的不等式组m−y>4y−4≤3y+4有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得：mx+2(x−6)=3(x−2)，
整理得：(m−1)x−6=0，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即m−1=0时，方程无解，
∴m=1；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入(m−1)x−6=0，得：2m−8=0
解得：得m=4．
③当x=6时，代入(m−1)x−6=0，得：6m−12=0，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或m=1，分式方程无解；
解不等式{m−y>4y−4≤3(y+4)，
得：{y根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4∴0综上所述当m=2或m=1时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键．
【变式6-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−x+kxx−1=0有解，则k满足 ．
【答案】k≠−3且k≠5
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到3x−1+6x−x+k=0，再通过去括号、移项、合并同类项得到8x=k+3，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：3x+6x−1−x+kxx−1=0，
去分母得：3x−1+6x−x+k=0，
去括号得：3x−3+6x−x−k=0，
移项、合并同类项得：8x=k+3，
解得：x=k+38，
∵该方程有解，
∴x≠0且x≠1，
∴k+3≠0且k+3≠8，
∴k≠−3且k≠5，
故答案为：k≠−3且k≠5．
【变式6-2】（2023·八年级单元测试）若以x为未知数的方程1x−1−a2−x=2a+1x2−3x+2无解，则a= .
【答案】−1或−32或−2.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】去分母得x−2+ax−1=2a+1，
整理得a+1x=3a+4，①
当a=−1时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当a≠−1时，原方程有增根为x=1或x=2.
当增根为x=1时，3a+4a+1=1，解得a=−32；
当增根为x=2时，3a+4a+1=2，解得a=−2.
综上所述，a=−1或a=−32或a=−2.
【点睛】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
【变式6-3】（2023下·八年级课时练习）已知关于x的分式方程x+ax−2−5x=1.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
③当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．
【题型7 探究分式方程的增根问题】
【例7】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）若关于x的分式方程x−1x−3=2−m3−x+2有增根，且关于y的不等式m+n≤y≤8中有2个整数解，则整数n是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】先根据分式方程有增根可求出m=4，从而可得4+n≤y≤8，再根据关于y的不等式m+n≤y≤8中有2个整数解可得6<4+n≤7，由此即可得．
【详解】解：x−1x−3=2−m3−x+2，
方程两边同乘以x−3，得x−1=m−2+2x−3，
解得x=−m+7，
∵关于x的分式方程x−1x−3=2−m3−x+2有增根，
∴−m+7=3，
解得m=4，
∴4+n≤y≤8，
∵关于y的不等式4+n≤y≤8中有2个整数解，
∴6<4+n≤7，
解得2则整数n是3，
【点睛】本题考查了解分式方程、一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
【变式7-1】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）若关于x的方程1x−2+3x−m2−x=1有增根，则这个增根为x= ，m的值是 ．
【答案】 2 5
【分析】方程两边乘x−2，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x=2，得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：方程两边乘x−2得：1−3x−m=x−2，
∴x=3+m4，
∵方程有增根，
∴x−2=0，
解得x=2，
故增根为x=2，
∴3+m4=2，
∴m=5．
故答案为：2，5．
【点睛】本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．
【变式7-2】（2023下·上海浦东新·八年级上海市张江集团中学校考阶段练习）如果在解关于x的方程x+1x+2−xx−1=kx+2x2+x−2时产生了增根，那么k的值为 ．
【答案】−5或−12．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程变形为x+1x+2−xx−1=kx+2(x−1)(x+2)，
方程去分母后得：(x−1)(x+1)−x(x+2)=kx+2，
整理得：(k+2)x=−3，分以下两种情况：
令x=1，k+2=−3，∴k=−5；
令x=−2，−2(k+2)=−3，∴k=−12，
综上所述，k的值为−5或−12．
故答案为：−5或−12．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k的方程是解题关键．
【变式7-3】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【答案】(1)a+b=0
(2)−1或9
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x−1=0，求出x的值即为增根；
（2）将x=a代入ax+bx−1=b求得b=a+2+4a−2，根据题意可得a−2=±1或−2或±4，分别带入求得b的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到x−1=0，
解得：x=1，
将分式方程化为整式方程：ax+b=bx−1，
整理得：a−bx+2b=0，
将x=1代入a−bx+2b=0得：a+b=0，
即若方程有增根，则a+b=0．
（2）解：∵x=a是方程的解，
将x=a代入ax+bx−1=b得：a2+ba−1=b，
整理得：a2−ab+2b=0，
∴b=a2a−2，
∴b=a2−4+4a−2=a+2+4a−2，且a≠2
∵a，b均为整数且a≠0，
∴a−2=±1或−2或±4，
当a−2=−1时，即a=1，b=a2a−2=1−1=−1；
当a−2=1时，即a=3，b=a2a−2=321=9；
当a−2=2时，即a=4，b=a2a−2=422=8；
当a−2=−4时，即a=−2，b=a2a−2=−22−4=−1；
当a−2=4时，即a=6，b=a2a−2=624=9；
综上，b的值为−1或9．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【题型8 分式方程的应用】
【例8】（2023·浙江温州·统考一模）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
③已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【答案】(1)该商品的单价为21元
(2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；③26或28
【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可；
（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；③先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为50件 二月份甲购进的商品数量为70件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出120−m−n件，再根据销售额=成本+利润列出方程推出n=150−5m2，再由m、n都是正整数，得到m<30，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到m≥25，进而得到25≤m<30且m是正整数，再由150−5m2也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为26或28．
由题意得，30m+30×0.9n+30×0.9−2120−m−n=1050+1050+1050，
【详解】（1）解：设该商品的单价为x元，
由题意得，1050x+10=1260x，
解得x=21，
经检验，x=21是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；
（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为105021+1050a=1050+50aa件，
乙两次一共购买的商品数量为126021+1260a=1260+60aa，
∴甲的平均单价为1050×21050+50aa=42aa+21，
乙的平均单价为25201260+60aa=42aa+21，
即42aa+21=42aa+21，
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
③甲商品一月份一共购进的商品数量为105021=50件
当a=15时，则二月份甲购进的商品数量为105015=70件，
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出50+70−m−n=120−m−n件，
由题意得，30m+30×0.9n+30×0.9−2120−m−n=1050+1050+1050，
∴30m+27n+3000−25m−25n=3150，
∴5m+2n=150；
∴n=150−5m2，
∵m、n都是正整数，
∴150−5m>0，
∴m<30，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
∴n≤m2，
∴150−5m2≤m2，
∴m≥25，
∴25≤m<30且m是正整数，
又∵n=150−5m2也是正整数，
∴m必须是偶数，
∴m的值为26或28．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键．
【变式8-1】（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元
【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工x+90套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答．
【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工x+90套防护服，
则5400x−10=5400x+90，解得：x=180或x=−270
经检验：x=180是分式方程的根，且符合题意；x=−270不符合题意舍去，
则乙流水线每天加工270套防护服
所以甲需要5400÷180=30天，乙需要5400÷270=20天，
所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元．
所以乙流水线成本较小．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键．
【变式8-2】（2023上·重庆江北·八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发现购买
故答案为：37．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的13求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出0.3a+b≤28与a90+b30=1，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出a+b的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是30÷13=90（天），
∴13+1590+15x=1，
解得，x=30，
经检验，x=30是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴4m+3n=420005m+6n=75000，
解得，m=3000n=10000，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则0.3a+b≤28
∵a90+b30=1，
∴b=30−13a，
∴0.3a+30−13a≤28，
∴a≥60，
∵a+b=a+30−13a=23a+30，且a≥60，
∴23a+30≥60×23+30=70
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．