苏科版七年级数学下册精品专题9.3因式分解【九大题型】同步练习(学生版+解析)

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专题9.3 因式分解【九大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc8970" 【题型1 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc8970 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc26060" 【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】  PAGEREF _Toc26060 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5043" 【题型3 利用因式分解确定整除问题】  PAGEREF _Toc5043 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1644" 【题型4 利用添项进行因式分解】  PAGEREF _Toc1644 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc23588" 【题型5 利用拆项进行因式分解】  PAGEREF _Toc23588 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10180" 【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】  PAGEREF _Toc10180 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc6974" 【题型7 利用因式分解求最值】  PAGEREF _Toc6974 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc18355" 【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】  PAGEREF _Toc18355 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20443" 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】  PAGEREF _Toc20443 \h 8【知识点 因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1 利用因式分解求值】【例1】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）将2xn−81因式分解后得4x2+92x+32x−3，那么n等于（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【变式1-1】（2023春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式x3+ax分解因式得xx−12x+b，求a、b的值．【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，试求k的值及另一个因式．【变式1-3】（2023春·七年级单元测试）若2x2−6y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k= .【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】【例2】（2023春·七年级课时练习）利用因式分解计算：(1)−2101+−2100；(2)32021−32020；(3)121×0.13+12.1×0.9−12×1.21；(4)2022+982+202×196．【变式2-1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是 ．【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）计算：（1）(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−192)×(1−1102)；（2）20212−2021×4040+20202【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）利用因式分解计算：（1）1002−992+982−972+…+42−32+22−12（2）1+2452+154+158+1⋅…⋅532+1（3）2n+4−22n22n+2【题型3 利用因式分解确定整除问题】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0－9之间的整数，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c=3t，t为正整数），那么abc能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，n+72−n−52能被24整除．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）已知432−1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32=1216，53×57=3021，71×79=5609，84×86=7224．观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52=___________；752=___________．(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m−n能被99整除．【题型4 利用添项进行因式分解】【例4】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x4+y4；(2)a2−4am−n2+4mn．【变式4-1】（2023春·广东佛山·七年级专题练习）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；又比如多项式a3−1可以这样分解：②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是 ．【变式4-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）阅读与思考任务：(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．【变式4-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)……＝364−12例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根据材料解决下列问题：(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).【题型5 利用拆项进行因式分解】【例5】（2023春·七年级课时练习）阅读理解，并解答下面的问题：拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6【变式5-1】（2023春·黑龙江鸡西·七年级校考期末）利用拆项法，分解因式：x2﹣6x﹣7；【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）利用拆项法，解决下列问题：(1)分解因式：x2−6x+5；(2)分解因式：a2+4ab−5b2．【变式5-3】（2023春·七年级单元测试）阅读理解题：拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把x3−3x2+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成x3+1−3x2−3，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：原式=x3+1−3x2−3=x+1x2−x+1−3x+1x−1=x+1x2−x+1−3x+3=x+1x−22公式：a3+b3=a+ba2−ab+b2，a3−b3=a−ba2+ab+b2根据上述论法和解法，（1）因式分解：x3+x2−2；（2）因式分解：x3−7x+6；（3）因式分解：x4+x2+1．【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级校联考期中）若△ABC三边a、b、c满足a2−ab−ac+bc=0，则△ABC是 三角形．【变式6-2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3a2+b2+c2．求证：这个三角形是等边三角形．【变式6-3】（2023春·七年级统考课时练习）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．【题型7 利用因式分解求最值】【例7】（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a0），①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m−n能被99整除．【答案】(1)3016；5625(2)①10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b；证明见解析；②见解析【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；（2）①根据题意可得这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，从而得到这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，可得新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，进而得到m=10b+a1010−b+a，然后计算出m−n，即可．【详解】（1）解：根据题意得：58×52=5×6×100+8×2=3016，752=7×8×100+5×5=5625；故答案为：3016；5625（2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10−b，∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，根据题意得：这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，证明：左边=100a2+10ab+100a+10b−10ab−b2=100a2+100a+10b−b2右边=100a2+100a+10b−b2，∴左边=右边；②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，∴新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，∴m=10b+a1010−b+a=10b+a100−10b+a=1000b+100a−100b2−10ab+10ab+a2=1000b−100b2+100a+a2，∴m−n=1000b−100b2+100a+a2−100a2+100a+10b−b2=1000b−100b2+100a+a2−100a2−100a−10b+b2=−99a2−99b2+990b，=−99a2+b2+10b，∵a，b为正整数，∴a2+b2+10b为整数，∴m−n能被99整除．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．【题型4 利用添项进行因式分解】【例4】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x4+y4；(2)a2−4am−n2+4mn．【答案】(1)2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；(2)a−na−4m+n．【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．【详解】（1）原式=4x4+y4+4x2y2−4x2y2=2x2+y22−4x2y2=2x2+y2+2xy2x2+y2−2xy；（2）原式=a2−4am+4m2−4m2−n2+4mn=a2−4am+4m2−4m2+n2−4mn=a−2m2−2m−n2=a−2m+2m−na−2m−2m+n=a−na−4m+n.【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．【变式4-1】（2023春·广东佛山·七年级专题练习）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；又比如多项式a3−1可以这样分解：②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是 ．【答案】a−1a4+a3+a2+a+1【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．【详解】解：a5−1=a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a+a−1=a4a−1+a3a−1+a2a−1+aa−1+a−1=a−1a4+a3+a2+a+1，故答案为：a−1a4+a3+a2+a+1【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．【变式4-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）阅读与思考任务：(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．【答案】(1)a+ba2−ab+b2(2)a3+b3=32【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式a+b，整理即可；（2）由（1）可知求出a2−ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将a2−ab+b2变形为a+b2−3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2−ab+b2的值，由此即得出结果．【详解】（1）a3+b3=a3+a2b−a2b+b3=a3+a2b−a2b−b3=a+b⋅a2−ba+b⋅a−b=a+b⋅a2−ba−b．=a+ba2−ab+b2；（2）∵a2−ab+b2=a+b2−3ab=22−3×−4=16∴a3+b3=a+ba2−ab+b2=2×16=32．【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．【变式4-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)……＝364−12例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根据材料解决下列问题：(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).【答案】(1)21024−121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，(2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可.【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)＝2×(1﹣121024)＝21024−121023，(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝(x2+2)2﹣(2x)2＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1]原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键.【题型5 利用拆项进行因式分解】【例5】（2023春·七年级课时练习）阅读理解，并解答下面的问题：拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6【答案】（x＋2）（x＋3）【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．【详解】解：原式=x2＋2x＋3x＋6=x2+2x+(3x+6)=xx+2+3(x+2)=(x+2)(x+3)．【点睛】题目主要考查多项式乘法及因式分解，理解题中分解因式的方法是解题关键．【变式5-1】（2023春·黑龙江鸡西·七年级校考期末）利用拆项法，分解因式：x2﹣6x﹣7；【答案】(x+1)(x－7)【详解】解：x2﹣6x﹣7= x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）利用拆项法，解决下列问题：(1)分解因式：x2−6x+5；(2)分解因式：a2+4ab−5b2．【答案】(1)x−1x−5(2)a+5ba−b【分析】（1）将5拆解成9−4，再根据完全平方公式得x−32−22，然后利用平方差公式进一步分解．（2）将−5b2拆解成4b2−9b2，再根据完全平方公式得a+2b2−9b2，然后利用平方差公式进一步分解．【详解】（1）原式=x2−6x+9−4 =x−32−22 =x−3−2x−3+2 =x−1x−5（2）原式=a2+4ab+4b2−9b2 =a+2b2−9b2 =a+2b+3ba+2b−3b =a+5ba−b【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式5-3】（2023春·七年级单元测试）阅读理解题：拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把x3−3x2+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成x3+1−3x2−3，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：原式=x3+1−3x2−3=x+1x2−x+1−3x+1x−1=x+1x2−x+1−3x+3=x+1x−22公式：a3+b3=a+ba2−ab+b2，a3−b3=a−ba2+ab+b2根据上述论法和解法，（1）因式分解：x3+x2−2；（2）因式分解：x3−7x+6；（3）因式分解：x4+x2+1．【答案】（1）x−1x2+2x+2；（2）x−1x+3x−2；（3）x2+x+1x2−x+1【分析】（1）将原式拆成x3−1+x2−1，然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；（2）将原式拆成x3−1−7x+7，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；（3）将原式拆成x4+2x2+1−x2，然后利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：（1）x3+x2−2=x3−1+x2−1=x−1x2+x+1+x−1x+1=x−1x2+2x+2（2）x3−7x+6=x3−1−7x+7=x3−1−7x−1=x−1x2+x+1−7x−1=x−1x2+x+6=x−1x+3x−2（3）x4+x2+1=x4+2x2+1−x2=x2+12−x2=x2+1+xx2+1−x=x2+x+1x2−x+1【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度不大．【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．【答案】等腰或直角或等腰直角．【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．【详解】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．故答案为：等腰或直角或等腰直角．【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到a，b，c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面．【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级校联考期中）若△ABC三边a、b、c满足a2−ab−ac+bc=0，则△ABC是 三角形．【答案】等腰【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断．【详解】∵a2−ab−ac+bc=0，∴aa−c−ba−c=0，∴a−ba−c=0，∴a−b=0或a−c=0，∴a=b或a=c，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式6-2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3a2+b2+c2．求证：这个三角形是等边三角形．【答案】见解析【分析】根据完全平方式将原式变形为a−b2+a−c2+b−c2=0，结合平方的非负性即可计算得到正确答案．【详解】解：∵a+b+c2=a+b+c2=a+b2+c2+2a+bc=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴原式可变形为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a2+b2+c2a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0a−b2+a−c2+b−c2=0∵a−b2≥0，a−c2≥0,b−c2≥0，a−b2+a−c2+b−c2=0∴a−b=0,a−c=0,b−c=0∴a=b,a=c,b=c∴a=b=c即这个三角形是等边三角形．【点睛】本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键．【变式6-3】（2023春·七年级统考课时练习）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．【答案】3【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案．【详解】解：∵a+bc+b+ca=24，∴（a+b）+（bc+ca）=24，∴c+1b+a=24，∵等腰△ABC的三边长a、b、c均为整数，∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数，那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形；⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形．∴一共有3个这样的三角形．故答案是：3．【点睛】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．【题型7 利用因式分解求最值】【例7】（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（ac，则30−c>c，∴c<15，∵a