第二十一章 一元二次方程（B卷·拔高培优卷 单元重点综合测试）（解析版）

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第21章 一元二次方程（B卷·拔高培优卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ）A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．【答案】B【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、 一次项系数和常数项．【详解】解：将左边展开得：，移项、合并同类项得：，∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．2．定义运算：．例如：．则方程的根为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据新定义得出方程，再解分式方程，求出其解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，；故选：B．【点睛】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．3．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）A． B．2021 C．2025 D．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程的一个解是，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．4．给出下列说法，其中正确的是（ ）①关于的一元二次方程，若，则方程一定没有实数根；②关于的一元二次方程，若，则方程必有实数根；③若是方程的根，则；④若，，为三角形三边，方程有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形．A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根据判别式的意义对①进行判断；由，得到，则可根据判别式的意义对②进行判断；根据一元二次方程的解的定义对③进行判断；根据判别式的意义得到，然后整理根据勾股定理的逆定理可对④进行判断.【详解】关于的一元二次方程（），若，则方程一定没有实数根，所以①正确；关于的一元二次方程（），若，则，则方程必有实数根，所以②正确；若是方程的根，则，当时，，所以③错误；若、、为三角形三边，方程有两个相等实数根，则，即，则该三角形为直角三角形，所以④正确.故选：.【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解和勾股定理的逆定理.5．如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出，解方程即可求得结论．【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，则，即，∵ab≠0，∴，解得：，∵＞0，∴，∴当a=1时，，故选：B．【点睛】本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴ ∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得, 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．7．设a，b为正数，并且一元二次方程，均有等根，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的意义得到，即①；，即②，①②可消去得关于的方程，求出的正数解为，易得到，再计算结果．【详解】解：一元二次方程，均有等根， ，即，①，即，②①②得，，，解得，，为正数，，把代入②得，，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，；以，为根的一元二次方程是．也考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解．8．已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　）A．0 B．7 C．13 D．6【答案】A【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，∴，，，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形．9．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　A． B． C． D．【答案】D【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论．【详解】解：方程有两个根和，，，设方程的两根为，，则，，，，，方程的两根为，，，，，，，，，方程的较小根的范围为．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系．10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断．【详解】解：根据根与系数的关系得，∵，∴，∴，所以①正确；∵，，∴，，所以②正确；∵，∴，即，∴，所以③错误；∵，∴方程化为，即，∵方程可变形为，∴或，解得，，所以④正确．故选：．【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．第Ⅱ卷二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，若该快递店每天揽件的增长率相同，则增长率为 ．（用百分数表示）【答案】【分析】设该快递店每天揽件的增长率为，则第二天揽件件，第三天揽件件，根据“三天共揽件662件”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该快递店每天揽件的增长率为，则第二天揽件件，第三天揽件件，根据题意得：，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去），增长率为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．12．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是 ．【答案】【分析】令，将方程化为已知根的方程；从而得到两个关于的一元二次方程，然后分别求解即可；【详解】解：令则关于的方程 可化为：；根据题意可知 或 解方程得： 而方程无实数根；故答案为：【点睛】本题考查了用换元法解方程；熟练运用换元法将复杂的方程简单化是解题的关键．13．关于的一元二次方程的两个实数根为、，且有，则实数的取值范围为 ．【答案】【分析】根据方程有两个实数根可得，利用一元二次方程根与系数的关系“如果、是一元二次方程的两个实数根，那么，．”，求出和，结合，解一元一次不等式即可．【详解】解：∵有两个实数根，∴，解得：，∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，解得：，∴实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式等，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ．【答案】 ； ；【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．【详解】解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，故答案是：，；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 ．【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程判别式，根据题意得，整理可得，两边同时除得，由，通过换元法即可求解．【详解】解：由题意得：化简得：∴两边同时除得：两边同时除2得：∵令，∴可转化为，化简得：，即，解得：，∴，故答案为：1．16．方程的实数根是 【答案】【分析】将原方程两边两边同时乘以x，得到，令，将原方程为，求出y的值，再进行分类讨论即可．【详解】解：，两边同时乘以x，得：，令，则，，解得：，经检验，是方程的解，①当时，，整理得：，∵，∴该方程无实数根，②当时，，整理得： ，∵，∴，解得：．经检验，是原分式方程的解．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用换元法解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程移项后提取公因式，得两个一元一次方程，求出一元了一次方程的解即可；（2）方程运用公式法求解即可【详解】（1），，，，∴；（2），∵，∴，即：．18．（8分）已知是关于x的一元二次方程．的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若，直接写出c的值；(3)若，直接写出c的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．（1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；（2）利用根与系数的关系，可得出，结合，即可得出c的值；（3）代入，即可求出c的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∴c的取值范围是；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，又∵，∴；（3）解：将代入原方程得，解得：，∴若，则c的值为．19．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．(1)求的取值范围；(2)若，满足，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．（1）根据题意可得，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，∴，；（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，∵，∴∴，，∴，∴解得：，（舍去）∴．20．（8分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?【答案】(1)10%，(2)4元．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可．【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）；答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：， 解方程得，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴不合题意舍去，答：每件商品应降价4元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．21．（8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根(1)直接写出m的取值范围(2)若满足，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答；【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根∴，即；（2）解：∵，且，∴整理得，解得：，∵由（1）知，∴检验：当时，，即；【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键．22．（10分）（1）若一元二次方程的两根之比为，求证：；（2）若一元一次方程的两根之比为，能否将（1）的结论予以推广？若能，试证明你的结论；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）能将（1）的结论予以推广，证明见解析．【分析】（1）设方程的两根是，，根据根与系数的关系得到，，由此得到①，②，将其变形即可得到答案；（2）设，是一元二次方程的两根，得到，，由将其变形整理即可得到结论.【详解】（1）设方程的两根是，，则，，∴①，②，由①得③，把③代入②，得，∴，∴，∴．（2）能将（1）的结论予以推广，若一元二次方程的两根之比为，求证：．证明：设，是一元二次方程的两根，根据题意，，，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∴．【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的两个关系式是解题的关键.23．（10分）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．【答案】(1)(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；（2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．【详解】（1）依据题意，将代入得，解得，∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为．（2）∵，∴，则．又∵，∴，是一元二次方程的两个根，则，∴．（3）∵，；∴；即；∴．又∵；∴；即．∵，为两个不相等的实数，∴，则，∴．又∵，∴，即．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．24．（12分）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)成立【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1，又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣， ∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去.（3）|m|≤2成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4n=1，Δ=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②，把①代入②得： m2≤4， ∴|m|≤2成立．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数