人教版（2024）5.2.1 平行线精练

这是一份人教版（2024）5.2.1 平行线精练，共68页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的拐点问题的三大题型的理解！
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是（ ）
A．α−β=90∘B．α+β=90∘
C．α+β=180∘D．α与β没有数量关系
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）

A．75°B．90°C．100°D．105°
3．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ．

4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ．

5．（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴____∥____（ ）
∴∠D=____（ ）
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作PE∥AB来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若AB∥CD，如图3，图4，请直接写出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．

【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°时，则∠EMF=___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
【应用拓展】
(3)如图3，作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．
9．（2024下·全国·七年级假期作业）在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么（用含α，β的式子表示）？请说明理由．
10．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、F、G．

(1)【特例探究】
如图1，∠C=90°．
①∠CED+∠CGF=______度；
②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；
(2)【一般探索】
如图2，∠C=α，∠EPG=β．
①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13∠CGF，求α与β的关系；
②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且n为整数），直接写出α与β的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；……，以此类推，则360°−∠C∠EP2023G的值是多少？（直接写出结果）
11．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF∥GH．

(1)如图1，点C在EF上，点A在GH上，AB与EF交于点D，若∠1=20°，求∠2的度数；
(2)如图2，点C在EF上，点A在EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O，求∠O的度数；
(3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH之间（不含在EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M−∠P=10°，则∠PCD= ．
2．（浙江省宁波市镇海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数．
(2)如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，∠2的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
3．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2．
(1)如图①，MN分别与AB、CD交于点O1、O2，O1H平分∠BO1N，O2H平分∠DO2M，请判断O1H与O2H的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，点E在AB与CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．
（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度数；
（Ⅱ）请猜想∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线PQ分别与直线AB,CD交于点P和点Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．

(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线AB和CD向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线PQ上运动，EM平分∠AEG，点H在直线 EM上，连接FH,GF的延长线交EM于点N，FN平分∠CFH．
①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大小；
②当点G在AB,CD之间时，直接写出∠ENF，∠EGF，∠EHF之间的数量关系．
6．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC．

(1)求证：AD∥CE；
(2)如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度数；
(3)如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，则∠NBM=______（直接写出结果）．
7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，AB∥CD．

(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=16°．
①如图2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3．若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝90°．

(1)如图1，若∠AEO＝150°，求∠OFD的度数．
(2)如图2，射线EG平分∠AEO，连接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO与∠CFG相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=23∠OEG，FH在∠OFD内，∠OFH=35∠OFD，点M、N分别为射线EG、FH上的动点，且点M、N在直线AB、CD之间，其中∠EMN＝3n°，∠MNH＝5m°，若n＞m，求n的取值范围．
9．（2023下·湖北武汉·七年级校联考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°
(1)若∠E=50°，则∠F=________；
(2)请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由．
(3)如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于P，求∠P的度数；
10．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．
(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ______ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB= ______ ．
11．（2023下·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH=∠AGP+∠CHP；
(2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．（2023下·广西百色·七年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（ ）

A．74°B．78°C．84°D．88°
2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为 ．

3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．

(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；
(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．
4．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠DEF的度数．
5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
6．（2023下·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由．
8．（2023上·河北邯郸·七年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东60°，如果A、B两地同时开工，直接写出∠α为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°的方向，C处在B处的北偏东85°的方向，求∠C的度数．
读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40度．
在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．
专题5.8 平行线中的拐点问题的三大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的拐点问题的三大题型的理解！
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是（ ）
A．α−β=90∘B．α+β=90∘
C．α+β=180∘D．α与β没有数量关系
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，由垂直的定义得到∠ABC=90°−β，由邻补角的性质即可得到答案．
【详解】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，
∵BC⊥CD，
∴∠BCM=90°−∠MCD=90°−β，
∴∠ABC=90°−β，
∵∠ABC+∠ABF=180°，
∴90°−β+α=180°，
∴ α−β=90∘ ．

故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM//AB，得到CM//DE，由平行线的性质来解决问题．
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）

A．75°B．90°C．100°D．105°
【答案】D
【分析】AC于DF交于G，作GH∥AB，可得AB∥DE∥GH，从而可求∠AGH=∠A=45°，∠DGH=∠D=60°，即可求解．
【详解】解：如图，AC于DF交于G，作GH∥AB，

因为AB∥DE，
所以AB∥DE∥GH，
所以∠AGH=∠A=45°，
∠DGH=∠D=60°，
所以∠AGD=∠AGH+∠DGH
=45°+60°=105°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
3．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ．

【答案】53
【分析】过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作FG∥AB．
∵FG∥AB，
∴∠AFG=∠BAF．
∵FG∥AB，CD∥AB，
∴GF∥CD，
∴∠GFC=∠FCD．
∴∠AFC=∠BAF+∠DCF．
同理：∠AEC=∠BAE+∠DCE．
∴∠AEC=23∠BAF+∠BAF+23∠DCF+∠DCF=53∠BAF+∠DCF
∵∠AEC=m∠AFC，
∴m=53．
故答案为：53．

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ．

【答案】∠APD=180°+∠A−∠D
【分析】过点P作PM∥AB，从而可得∠A=∠APM，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得PM∥CD，然后利用平行线的性质可得∠DPM=180°−∠D，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作PM∥AB，

∴∠A=∠APM，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠D+∠DPM=180°，
∴∠DPM=180°−∠D，
∵∠APD=∠APM+∠DPM，
∴∠APD=∠A+180°−∠D，
则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为∠APD=180°+∠A−∠D，
故答案为：∠APD=180°+∠A−∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
【答案】(1)44°
(2)理由见解析
(3)∠1=∠2，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行的线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）由∠BCA=90°可得∠1+∠3=90°，从而得出∠3=90°−∠1=44°，最后再由两直线平行，同位角相等即可得出∠2的度数；
（2）过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，BD∥b，由平行线的性质可得∠CBD=∠1，结合∠ABC=60°可得180°−∠2+∠1=60°，即可得解；
（3）过点C作CE∥a，则∠2=∠BCE，BD∥b，由角平分线的定义可得∠BAC=∠CAM=30°，从而得到∠MAB=60°，由平行线的性质可得∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，计算出∠2=∠BCE=60°，即可得证．
【详解】（1）解：如图，
，
∵∠ACB=90°，∠1+∠ACB+∠3=180°，
∴∠1+∠3=180°−∠ACB=90°，
∵∠1=46°，
∴∠3=90°−∠1=44°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=44°；
（2）解：如图，过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，
，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠CBD=∠1，
∵∠ABC=60°，
∴180°−∠2+∠1=60°，
∴∠2−∠1=120°；
（3）解：∠1=∠2，
理由如下：
如图，过点C作CE∥a，则∠2=∠BCE，
，
∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC=∠CAM=30°，
∴∠MAB=60°，
∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，
∴∠BCE=90°−∠ACE=60°，
∴∠2=∠BCE=60°，
∴∠1=∠2=60°．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴____∥____（ ）
∴∠D=____（ ）
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作PE∥AB来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若AB∥CD，如图3，图4，请直接写出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
【答案】(1)PE；CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠EPD；两直线平行内错角相等；∠B+∠D
(2)∠BPD=∠B−∠D
(3)∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°；∠BPD=∠CDP−∠ABP
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）首先过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，可得∠D= ∠EPD，∠B=∠BPE，从而证得∠BPD=∠B+∠D；
（2）同（1）的方法可得，∠D+∠EPD=180°，∠B+∠BPE=180°，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出∠ABP，∠CDP，∠BPD的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠D= ∠EPD（两直线平行内错角相等）
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=∠B+∠D．
故答案为：PE；CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠EPD；两直线平行内错角相等；∠B+∠D．
（2）发生变化，应是∠BPD=∠B−∠D．
证明：如图2，
过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠D+∠EPD=180°
又∵PE∥AB
∴∠B+∠BPE=180°
∴∠BPD=∠EPD−∠BPE=180°−∠D−180°−∠B=∠B−∠D．
即∠BPD=∠B−∠D
（3）如图3，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD
∴∠D+∠EPD=180°
又∵PE∥AB
∴∠B+∠BPE=180°
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=180°−∠D+180°−∠B=360°−∠B−∠D．
即∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°
如图4，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB，AB∥CD
∴PE∥CD
∴∠D+∠EPD=180°
又∵PE∥AB
∴∠B+∠BPE=180°
∴∠BPD=∠BPE−∠DPE=180°−∠B−180°−∠D=∠D−∠B．
即∠BPD=∠CDP−∠ABP
7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
【答案】(1)图①：∠DEC=∠C+∠D；图②：∠DEC=360°−∠C−∠D；图③：∠DEC=∠C−∠D；图④：∠DEC=∠D−∠C
(2)以图③为例说明理由见解析
【分析】（1）分别过E作EF∥AD，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答；
（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF−∠BEF整理即可得证．
【详解】（1）图①：∠DEC=∠C+∠D；
如图，过点E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，
∴∠D+∠C=∠DEF+∠CEF，
∴∠DEC=∠C+∠D
图②：∠DEC=360°−∠C−∠D；
如图，过点E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠D+∠DEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠D+∠C+∠DEF+∠CEF=360°，
∴∠DEC=360°−∠C−∠D；
图③：∠DEC=∠C−∠D；
证明见小问2详解；
图④：∠DEC=∠D−∠C；
如图，过点E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，
∴∠D−∠C=∠DEF−∠CEF，
∴∠DEC=∠D−∠C
（2）以图③为例：如图，过点E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF．
∵∠CED=∠CEF−∠DEF，
∴∠CED=∠C−∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．

【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°时，则∠EMF=___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
【应用拓展】
(3)如图3，作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．
【答案】(1)70°
(2)见解析
(3)150°
【分析】（1）过点M作MN∥AB，根据平行可得∠EMF=∠AEM+∠CFM即可求解；
（2）由平角定义得∠BEM=180°−∠AEM，∠DFM=180°−∠CFM，再由（1）的结论即可得出答案；
（3）先由角平分线的定义得∠AEP=12∠AEM，∠CFP=12∠CFM，再由（2）中的结论即可得出．
【详解】（1）解：过点M作MN∥AB，如图，

∵AB∥CD
∴AB∥MN∥CD，
∴∠EMN=∠AEM，∠NMF=∠CFM，
∴∠EMN+∠NMF=∠AEM+∠CFM，即∠EMF=∠AEM+∠CFM，
∵ ∠AEM=45°，∠CFM=25°，
∴∠EMF=70°；
（2）解：过点M作MN∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，
∵∠BEM=180°−∠AEM，∠DFM=180°−∠CFM，
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°−∠AEM+180°−∠CFM=360°−∠AEM−∠CFM，
∴∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
（3）解：∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，
∴∠AEP=12∠AEM，∠CFP=12∠CFM，
过点P作PH∥AB，如图3所示：

∵AB∥CD，∴PH∥CD，
∴∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，
∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP
=12∠AEM+12∠CFM=12∠AEM+∠CFM，
由第（2）得：∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM，
∴∠AEM+∠CFM=360°−∠EMF=360°−60°=300°，
∴12∠AEM+∠CFM=12×300°=150°，
∴∠EPF=150°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行．
9．（2024下·全国·七年级假期作业）在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么（用含α，β的式子表示）？请说明理由．
【答案】(1)∠1=60°
(2)∠AEF+∠FGC=90°，理由见解析
(3)α+β=300°．理由见解析
【详解】解：（1）因为AB∥CD，
所以∠1=∠EGD．
因为∠2+∠EGF+∠EGD=180°，∠2=∠1，
所以∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=60°．
（2）如图，过点F作FP∥AB．
因为CD∥AB，
所以FP∥AB∥CD，
所以∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，
所以∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG．
因为∠EFG=90°，
所以∠AEF+∠FGC=90°．
（3）α+β=300°．理由如下：
因为AB∥CD，
所以∠AEF+∠CFE=180°，
即∠AEG−30°+∠CFG−90°=α−30°+β−90°=180°，
整理可得α+β=180°+120°=300°．
10．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、F、G．

(1)【特例探究】
如图1，∠C=90°．
①∠CED+∠CGF=______度；
②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；
(2)【一般探索】
如图2，∠C=α，∠EPG=β．
①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13∠CGF，求α与β的关系；
②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且n为整数），直接写出α与β的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；……，以此类推，则360°−∠C∠EP2023G的值是多少？（直接写出结果）
【答案】(1)①270°，②135°
(2)①α+3β=360°；②α+nβ=360°
(3)22023
【分析】（1）①利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°即可；
②证明∠EPG=∠PED+∠PGF=12∠CED+∠CGF即可；
（2）①利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=13∠CED+∠CGF即可；
②利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1n∠CED+∠CGF即可；
（3）利用（2）中的结论计算即可．
【详解】（1）①过点C作CM平行于l1，过点P作PN平行于l1

∵l1∥l2，
∴CM∥l2，PN∥l2，
∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，
∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，
∵∠ECG=∠ECM+∠MCG=90°，∠EPN+∠NPG=∠EPG
∴∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，
∴∠CED+∠CGF=270°，
②∵∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；
∴∠DEP=12∠CED，∠FGP=12∠CGF，
∴∠EPG=∠PED+∠PGF=12∠CED+∠CGF=135°
故答案为：①270°，②135°；
（2）①α+3β=360°
过点C作CM平行于l1，过点P作PN平行于l1

∵l1∥l2，
∴CM∥l2，PN∥l2，
∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，
∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，
即∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，
∴∠DEC+∠FGC=360°−∠ECG=360°−α，
∵∠DEP=13∠CED，∠FGP=13∠CGF，
∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=13∠CED+13∠CGF=13∠CED+∠CGF，
∴β=13360°−α，即α+3β=360°；
②α+nβ=360°
同①可得∠DEC+∠FGC=360°−∠ECG=360°−α，
∵∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF，
∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=1n∠CED+1n∠CGF=1n∠CED+∠CGF，
∴β=1n360°−α，即α+nβ=360°；
（3）∵∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；……，以此类推，
∴∠DEP2023=122023∠CED，∠FGP2023=122023∠CGF
∴由（2）得∠C+22023∠EP2023G=360°
∴360°−∠C∠EP2023G=22023．
【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1n∠CED+∠CGF是解决本题的关键．
11．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF∥GH．

(1)如图1，点C在EF上，点A在GH上，AB与EF交于点D，若∠1=20°，求∠2的度数；
(2)如图2，点C在EF上，点A在EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O，求∠O的度数；
(3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH之间（不含在EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)50°
(2)45°
(3)存在，m=2，n=70；m=4，n=42；m=5，n=35
【分析】（1）先求出∠ACD=70°，再利用两直线平行同旁内角互补求出∠CAH的度数，根据∠2=∠CAH−∠CAB即可得出结果；
（2）利用平行线性质得到∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，得到∠POQ=12∠ECQ，∠COP=12∠ACE根据∠COQ=∠COP+∠POQ=12∠ACE+12∠ECQ，即可得到最后结果；
（3）根据四边形的内角和360°及平行线的性质得出关于m和n的关系式，根据题意得出m的范围，在范围内找到m和n都是正整数的所有可能的情况．
【详解】（1）解：∠ACD=∠ACB−∠1=90°−20°=70°，
∵EF∥GH，
∴∠ACD+∠CAH=180°，
∴∠CAH=180°−∠ACD=110°，
∴∠2=∠CAH−∠CAB=110°−60°=50°；
（2）如图，过点O作OP∥EF，

∵EF∥GH，
∴EF∥OP∥GH，
∴∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，
∵CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，
∴∠DCE=12∠ACE，∠OQH=12∠CQH，
∴∠POQ=12∠ECQ，∠COP=12∠ACE，
∴∠COQ=∠COP+∠POQ
=12∠ACE+12∠ECQ
=12（∠ACE+∠ECQ）
=12∠ACB
=45°；
（3）∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠APQ+∠CQP=360°−∠CB−∠A=210°，
∵EF∥GH，
∴∠FCB=∠CQP=n°，
∴∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°，
∵∠APH=m∠FCB，
∴∠APH=mn°，
∴mn°+n°=210°，
∴n°=210°m+1 ，
∵∠APH<180°，
∴30°∴30又∵m，n是正整数，
∴存在符合要求的正整数m和n，分别为：
当m=1时，n=2102=105，不符合题意，舍去；
当m=2时，n=2103=70 ，符合题意；
当m=3时，n=2104=1052，不是整数不符合题意，舍去；
当m=4时，n=2105=42，符合题意；
当m=5时，n=2106=35，符合题意；
当m=6时，n=2107=30，不符合题意，舍去．
【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M−∠P=10°，则∠PCD= ．
【答案】30°/30度
【分析】作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=3x，再根据角平分线的定义可得∠BAM=12∠BAP，设∠BAM=y，则∠BAP=2y，然后根据平行线的性质可得∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，从而可得∠APC=2y−3x,∠AMC=y−x，代入2∠AMC−∠APC=10°可求出x的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，
则AB∥PQ∥MN∥CD，
设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=∠MCD+∠PCM=3x，
∵AM平分∠BAP，
∴∠BAM=12∠BAP，
设∠BAM=y，则∠BAP=2y，
∵AB∥PQ，
∴∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，
∵PQ∥MN∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，
∴∠APC=∠APQ−∠CPQ=2y−3x，∠AMC=∠AMN−∠CMN=y−x，
又∵2∠AMC−∠APC=10°，
∴2y−x−2y−3x=10°，
解得x=10°，
则∠PCD=3x=3×10°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
2．（浙江省宁波市镇海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数．
(2)如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，∠2的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
【答案】(1)65°
(2)当P在l1的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当P在线段CD上时，∠APB=∠1+∠2；当P在l2的下方时，∠1=∠2+∠APB
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE.再由∠APB=∠APE+∠BPE即可得出结论；
（2）分三种情况讨论：当P在l1的上方时，当P在线段CD上时，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；当P在l2的下方时，过P作PE∥AC，依据l1∥l2，可得PE∥l2，再利用平行线的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．
又∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB=∠1+∠2
∵∠1=25°，∠2=40°，
∴∠APB=20°+45°=65°；
（2）解：∠2=∠1+∠APB．
理由如下：当P在l1的上方时，如图2，过P作PE∥AC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，
∵∠BPE=∠APE+∠APB，
∴∠2=∠1+∠APB．
当P在线段CD上时，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；
当P在l2的下方时，如图2，过P作PE∥AC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，
∵∠APE=∠BPE+∠APB，
∴∠1=∠2+∠APB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
3．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
【答案】(1)240∘
(2)51∘
【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得EM∥AB∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C=240∘；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H=51∘．
【详解】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，且AB∥CD
∴EM∥AB∥FN∥CD
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∘，
∵∠BEF=60∘，
∴∠B+∠CFE+∠C=60∘+180∘=240∘；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥RS∥MN
∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∘，
∴∠BHC=180∘−∠RHB−∠SHC=180∘−12∠ABG+∠DCG，
∠BGC=180∘−∠NGB−∠MGC=180∘−180∘−∠ABG−180∘−∠DCG=∠ABG+∠DCG−180∘
∴∠BGC=360∘−2∠BHC−180∘=180∘−2∠BHC，
∵∠BGC=∠BHC+27∘，
∴180∘−2∠BHC=∠BHC+27∘，
∴∠BHC=51∘．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2．
(1)如图①，MN分别与AB、CD交于点O1、O2，O1H平分∠BO1N，O2H平分∠DO2M，请判断O1H与O2H的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，点E在AB与CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．
（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度数；
（Ⅱ）请猜想∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)O1H⊥O2H，理由见解析
(2)（I）150°；（II）∠PEQ+2∠PFQ=360°，证明见解析
【分析】（1）等量代换得到∠1=∠O1O2D，推出AB∥CD，可得∠BO1N+∠DO2M=180°，再根据角平分线的定义可得∠O2O1H=12∠BO1N，∠O1O2H=12∠DO2M，进一步推出∠O2O1H+∠O1O2H=90°，即可证明；
（2）（I）过E作l1∥AB，过F作l2∥AB，得到内错角相等，即∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，可得∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，再根据角平分线的定义得到∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，进一步推出∠6+∠7=150°，即可得解；（II）同理推出∠BPE=2∠9=2∠6，∠EQD=2∠11=2∠7，可得(∠4+∠5)+2(∠6+∠7)=360°，即∠PEQ+2∠PFQ=360°．
【详解】（1）解：O1H⊥O2H，理由如下：
∵∠1=∠2，∠2=∠O1O2D，
∴∠1=∠O1O2D，
∴AB∥CD，
∴∠BO1N+∠DO2M=180°，
∵O1H平分∠BO1N，O2H平分∠DO2M，
∴∠O2O1H=12∠BO1N，∠O1O2H=12∠DO2M，
∴∠O2O1H+∠O1O2H=12∠BO1N+12∠DO2M =12(∠BO1N+∠DO2M)=90°，
∴∠O1HO2=180°−90°=90°，
∴O1H⊥O2H．
（2）（Ⅰ）过E作l1∥AB，则l1∥CD，过F作l2∥AB，则l2∥CD，

∴∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，
∴∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，
∵2∠9=180°−∠8，2∠11=180°−∠10，
∴2∠9+2∠11=360°−(∠8+∠10)=300°，
∴∠9+∠11=150°，
∴∠6+∠7=150°，
∴∠PFQ=150°．
（Ⅱ）∠PEQ+2∠PFQ=360°，理由如下：
同（Ⅰ）可得∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠BPE=2∠9=2∠6，∠EQD=2∠11=2∠7，
∵∠8+2∠9=180°，∠10+2∠11=180°，
∴∠4+2∠6+∠5+2∠7=360°，
即(∠4+∠5)+2(∠6+∠7)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ=360°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，（2）比较复杂，需要添加辅助线，产生较多的角，要能理清角之间的关系．
5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线PQ分别与直线AB,CD交于点P和点Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．

(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线AB和CD向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线PQ上运动，EM平分∠AEG，点H在直线 EM上，连接FH,GF的延长线交EM于点N，FN平分∠CFH．
①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大小；
②当点G在AB,CD之间时，直接写出∠ENF，∠EGF，∠EHF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①50°；②∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）①过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，根据平行可表示出∠EHF和∠EGF，即可求出；
②过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，过点N作NJ∥AB，
设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°−2x+y，分别表示出∠ENF，∠EGF，∠EHF即可
【详解】（1）证明：∵AB⊥PQ，CD⊥PQ，
∴∠APQ=∠PQD=90°，
∴AB∥CD.
（2）解：①∵EM平分∠AEG，FN平分∠CFH，
∴设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y
过点H作HK∥AB，如图，

∴∠EHK=∠AEM=x，
∵AB∥CD，
∴HK∥CD，
∴∠KHF=∠CFH=2y，
∴∠EHF=∠EHK+∠KHF=x+2y
过点G作GI∥AB，
∴∠EGI=180°−∠AEG=180°−2x，
∵AB∥CD，GI∥CD，
∴∠FGI=∠CFN=y，
∴∠EGF=∠EGI−∠FGI=180°−2x−y.
∵2∠EHF+∠EGF=255°，
∴2x+2y+180°−2x−y=255°，
解得：y=25° ，
∴∠CFH=2y=50°.

②∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°
过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，过点N作NJ∥AB，
设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，
由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°−2x+y
∴∠ENF=180°−∠EGF−∠GEM=x−y，
∴∠HNF=180°−∠ENF=180°−(x−y)，
∴∠EHF=180°−∠HNF−∠HFN=x−2y，
∴∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°.
【点睛】本题考查了相交线与平行线，题目较为复杂，灵活运用所学知识是关键．
6．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC．

(1)求证：AD∥CE；
(2)如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度数；
(3)如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，则∠NBM=______（直接写出结果）．
【答案】(1)见解析
(2)120°
(3)25°
【分析】（1）过B点作BM∥HD，可求得∠CBM=∠BCG，从而可证BM∥GE，即可证明AD∥CE；
（2）过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，先证明∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM，再根据平行线的性质即可求解；
（3）根据已知条件可导出∠BAH=∠ABC−∠BCG=2∠NBC−∠MBC=2∠NBM，变形即可求得∠NBM的值．
【详解】（1）证明：如图所示，过B点作BM∥HD，

∴∠HAB=∠ABM，
∵∠ABM+∠CBM=∠ABC，∠HAB+∠BCG=∠ABC，∠HAB=∠ABM，
∴∠CBM=∠BCG，
∴BM∥GE，
∴BM∥HD∥GE，
∴AD∥CE；
（2）解：如图，过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，

则HD∥FN∥BM∥GE，
∴∠NFC=∠GCF，∠ABM=∠HAB，
∵∠BCF=∠BCG，AF是∠BAH的角平分线，
∴∠HAF=∠BAF=β，∠CBM=∠BCG=α，∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM
∴∠AFN=∠HAF=β，∠CBM=∠BCG=α，
∵∠AFC=∠AFN+NFC，∠ABC=∠ABM+∠CBM，
∴∠AFC=β+2α，∠ABC=α+2β，
∴∠ABC+∠AFC=β+2α+α+2β=3β+α=3×40°=120°，
即∠B+∠F的度数为120°；
（3）解：∵∠HAB+∠BCG=∠ABC，
∴∠HAB=∠ABC−∠BCG，
∵BM∥CR，
∴∠BCR=∠MBC，
∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∠BCR=∠MBC，
∴∠BAH=∠ABC−∠BCG=2∠NBC−∠MBC=2∠NBM，
∴∠NBM=12∠BAH=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，AB∥CD．

(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=16°．
①如图2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3．若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
【答案】(1)∠AEC=180°−∠C+∠A，理由见解析；
(2)①276°；②12∠F+∠EGC=172°；
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，即可求解；
（2）①分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，利用平行线的性质求解即可；分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，过点G作GH∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：∠E=180°−∠C+∠A，理由如下：
过点E作EF∥AB，如下图：

则AB∥EF∥CD
∴∠A=∠AEF，∠C+∠CEF=180°
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，
∴∠AEC=180°−∠C+∠A；
（2）解：①分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，如下图：

则AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠A=∠AEM，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠DCF=180°
又∵∠AEF=∠AEM+∠MEF，∠EFC=∠EFN+∠CFN
∴∠AEF+∠C=∠A+180°−∠EFN+180°−∠NFC=∠A+360°−∠EFC=276°
∴∠AEF+∠C=276°；
②分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，过点G作GH∥AB，如下图：

则GH∥AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠EGH=∠MEG，∠HGC=∠DCG，
∴∠MEG=∠AEG−∠AEM=∠AEG−∠A，
由①可得：∠AEF+∠C=∠A+360°−∠EFC；
∵∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，
∴∠AEG=∠GEF=12∠AEF，∠DCG=∠GCF=12∠DCF
∴∠AEG+∠DCG=12∠AEF+∠DCF=12∠A+360°−∠EFC=12∠A+180°−12∠F
由题意可得：∠EGC=∠EGH+∠HGC=∠AEG−∠A+∠DCG
=180°−12∠F−12∠A=172°−12∠F；
∴12∠F+∠EGC=172°；
【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝90°．

(1)如图1，若∠AEO＝150°，求∠OFD的度数．
(2)如图2，射线EG平分∠AEO，连接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO与∠CFG相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=23∠OEG，FH在∠OFD内，∠OFH=35∠OFD，点M、N分别为射线EG、FH上的动点，且点M、N在直线AB、CD之间，其中∠EMN＝3n°，∠MNH＝5m°，若n＞m，求n的取值范围．
【答案】(1)∠OFD=60°
(2)见解析
(3)27【分析】（1）过点O作AB∥OH，易得AB∥CD∥OH,利用平行线的性质可求解；
（2）延长EG交CD于Z,由于EG平分∠AEO，所以∠AEG=∠OEG，根据此条件表示∠GFO与∠CFG，可求出两角的关系；
（3）过点O作AB∥OK∥MP∥NQ，设∠AEG=2x，∠OFH=3y，借助∠MNF=∠MNG+∠FNG，求出n，m之间的关系，利用已知条件n＞m，求出n的范围．
【详解】（1）解：证明：过点O作AB∥OH，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥OH,
∴∠AEO+∠EOH＝180°,∠CFO+∠HOF＝180°,
又∵∠AEO＝150°，∠EOF＝90°,
∴∠EOH＝30°,∠HOF＝60°,
∴∠OFD=∠HOF＝60°．
（2）解：∠GFO与∠CFG相等，理由如下：
延长EG交CD于Z，如下图所示：

∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CZG＝180°，∠AEG=∠EZF，
∵∠EGF＝135°，且∠CZG=∠ZGF+∠ZFG，
∴∠CFG=∠CZG−∠ZGF=135°−∠AEG，
又∵∠EOF＝90°，
∴在四边形EOFG中，∠GFO=360°−∠EGF−∠EOF−∠OEG=135°−∠OEG，
∵EG平分∠AEO，∴∠AEG=∠OEG,
∴∠CFG=∠GFO．
（3）解：设∠AEG=2x，由于∠AEG=23∠OEG，则∠OEG=3x，
∴∠BEO=180°−5x，
设∠OFH=3y，由于∠OFH=35∠OFD，则∠OFD=5y，
过点O作AB∥OK∥MP∥NQ，如下图所示：

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥OK∥MP∥NQ，
∴∠KOF=∠OFD，∠EOK=∠BEO，
∴∠EOF=∠BEO+∠OFD=90°，即180°−5x+5y=90°，
∴x−y=18°，
又∵∠EMN＝3n°，∠MNH＝5m°，
∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ，∠MNQ=∠PMN=∠EMN−∠EMP，
∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ=3n°−2x+2y=180°−5m°，即m=216°−3n5，
又∵n＞m，则n>216°−3n5，解得n>27，
∵∠EMN=3n°<180°，
∴n<60，
综上，27【点睛】本题主要考查平行线的性质，理清各个角之间的关系是解体的关键．
9．（2023下·湖北武汉·七年级校联考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°
(1)若∠E=50°，则∠F=________；
(2)请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由．
(3)如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于P，求∠P的度数；
【答案】(1)80°
(2)∠EFD=∠BEF+30°，理由见解析
(3)∠P=15°
【分析】（1）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，证明EM∥AB∥FN，可得∠EFN=∠MEF=50°−30°=20°，证明∠DFN=60°，从而可得答案；
（2）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，证明EM∥AB∥FN，可得∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，证明∠DFN=60°，可得∠EFD=∠MEF+60°，从而可得结论；
（3）如图，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=2x+30°，证明∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=x+15°，证明∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，可得∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，从而可得答案.
【详解】（1）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
∵∠MEF=50°，
∴∠EFN=∠MEF=50°−30°=20°，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠EFD=20°+60°=80°；
（2）数量关系为∠EFD=∠BEF+30°，
证明：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）如图，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=2x+30°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=x+15°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键.
10．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．
(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ______ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB= ______ ．
【答案】(1)结论不成立，应该是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由见解析
(2)①60°；②∠EFD=12∠EAB
(3)30°
【分析】（1）由平行线的性质可得∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，即可求解；
（2）①由角平分线的性质可得∠DEF=12∠AEM=70°，∠DBC=12∠ABC=50°，由平行线的性质可得∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，即可求解，②由角平分线的性质可得∠DEF=12∠AEM，∠DBC=12∠ABC，由平行线的性质可得∠PFE=∠DEF，∠PFB=∠FBC，即可求解；
（3）由角平分线的性质可得∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，由角的数量关系可求解．
【详解】（1）解：结论不成立，应该是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由如下：
如图2，过点A作AP∥EM，

∵AP∥EM，EM∥BN，
∴EM∥AP∥BN，
∴∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，
∴∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）①如图3，过点F作PF∥EM，

∵∠A=120°，∠AEM=140°，∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°，
∴∠ABC=100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=12∠AEM=70°，∠DBC=12∠ABC=50°，
∵PF∥EM，EM∥BN，
∴PF∥EM∥BN，
∴∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，
∴∠BFE=120°，
∴∠EFD=60°；
②∵∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°，
∴∠AEM+∠ABC=360°−∠EAB，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=12∠AEM，∠DBC=12∠ABC，
∵PF∥EM，EM∥BN，
∴PF∥EM∥BN，
∴∠PFE=∠DEF，∠PFB=∠FBC，
∴∠EFD=180°−∠EFP−∠PFB=180°−12∠AEM+∠ABC=12∠EAB；
（3）如图4，过点F作PF∥EM，过点A作AH∥EM，

∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠FEM=12∠AEM，∠FBN=12∠ABG，
∵PF∥EM，AH∥EM，EM∥BN，
∴PF∥EM∥AH∥BN，
∴∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，
∴∠BAE=∠ABG−∠AEM，∠BFE=∠FBG−∠FEM，
∵∠BAE=∠BFG，
∵EF⊥FG，
∴∠BFE+∠BFG=90°，
∴∠ABG−∠AEM+∠FBG−∠FEM=90°，
∴3∠FBG−3∠FEM=90°，
∴∠FBG−∠FEM=30°，
∴∠EFB=30°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线．
11．（2023下·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH=∠AGP+∠CHP；
(2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
【答案】(1)见解析；(2)∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由见解析；(3)∠GPH=∠AGP−∠CHP，理由见解析；(4)∠GQH= 12α
【分析】（1）如图所示：过点P作PE∥AB，则PE∥CD，根据平行线的性质得出∠CHP=∠HPE，即可得出∠GPH=∠AGP+∠CHP；
（2）过点P作PF∥AB，∠AGP+∠GPF=180°，根据（1）的方法得出∠GPH=∠GPF+∠FPH，继而得出∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°；
（3）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得出∠GPH=∠MPG−∠MPH，即可得出∠GPH=∠AGP−∠CHP；
（4）过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB，则PN∥CD，OQ∥CD，得出∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，根据∠GPH=∠NPH−∠NPG，∠GQH=∠OQH−∠OQD，根据角平分线的定义得出∠QGB= 12 ∠PGB，∠QHD= 12 ∠PHD，根据∠GQH=∠QHD−∠QGB= 12 ∠GPH，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：过点P作PE∥AB，
∴∠AGP=∠GPE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CHP=∠HPE，
∵∠GPH=∠GPE+∠HPE，
∴∠GPH=∠AGP+∠CHP；
（2）∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由如下：
如图所示：过点P作PF∥AB，
∴∠AGP+∠GPF=180°，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠FPH+∠CHP=180°，
∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP=360°，
∵∠GPH=∠GPF+∠FPH，
∴∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°；
（3）∠GPH=∠AGP−∠CHP，理由如下：
如图所示：过点P作PM∥AB，
∴∠AGP=∠MPG，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CHP=∠MPH，
∵∠GPH=∠MPG−∠MPH，
∴∠GPH=∠AGP−∠CHP；
（4）如图所示：过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB，
∴∠NPG=∠PGB，∠OQG=∠QGB，
∵ AB∥CD，
∴ PN∥CD，OQ∥CD，
∴∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，
∵∠GPH=∠NPH−∠NPG，∠GQH=∠OQH−∠OQD，
∴∠GPH=∠PHD−∠PGB，∠GQH=∠QHD−∠QGB，
∵∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，
∴∠QGB= 12 ∠PGB，∠QHD= 12 ∠PHD，
∴∠GQH=∠QHD−∠QGB= 12 ∠PHD− 12 ∠PGB= 12 (∠PHD−∠PGB)= 12 ∠GPH，
∴∠GQH= 12 α．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．（2023下·广西百色·七年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（ ）

A．74°B．78°C．84°D．88°
【答案】D
【分析】过C作CF∥AB，由平行线的性质得∠DCF=∠EDC，∠BCF=∠ABC=40°，由30°<∠DCF<45°，可得70°<∠BCD<85°，即可得到结论．
【详解】解：由题意得AB∥CD，∠ABC=40°，30°<∠EDC<45°，

∴∠BCF=∠ABC=40°，
过C作CF∥AB，
∴CF∥ED，
∴∠DCF=∠EDC，
∴30°<∠DCF<45°，
∴30°+40°<∠DCF+∠BCF<45°+40°，
∴70°<∠BCD<85°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为 ．

【答案】30°/30度
【分析】过点B作BF∥CE．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出∠CBF，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点B作BF∥CE．
∵CE∥l，
∴BF∥l．
∴∠ABF=∠1=90°．
∵∠ABC=140°，
∴∠CBF=140°−90°=50°．
∵BF∥CE，
∴∠ECB=∠CBF=50°．
∴∠DCE=∠DCB−∠BCE
=80°−50°
=30°．
故答案为：30°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．
3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．

(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；
(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．
【答案】(1)64°
(2)49°
【分析】（1）利用角平分线定义可得∠DOP=12∠DOE=26°，由垂直定义可得∠COP=90°，得出∠COD=∠COP+∠DOP=116°，再运用平行线性质即可得出答案；
（2）过点C作CG∥MN，过点O作OF∥CG，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图2，∵∠DOE=52°，OP平分∠DOE，
∴∠DOP=12∠DOE=26°，
∵OP⊥OC，
∴∠COP=90°，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°，
∵OD∥BC，
∴∠C=180°−∠COD=180°−116°=64°，
∵OC∥BF，
∴∠COF=∠C=64°，
即∠θ=64°；
（2）如图3，过点C作CG∥MN，过点O作OF∥CG，

则∠COF=∠OCG=15°，
∵∠COD=116°，
∴∠FOQ=∠COD+∠COF=116°+15°=131°，
∵CG∥MN，OF∥CG，
∴OF∥MN，
∴∠OQM+∠FOQ=180°，
∴∠OQM=180°−∠FOQ=180°−131°=49°．
【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．
4．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠DEF的度数．
【答案】130°
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．
【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
∴∠MFA=180°−∠BAG=180°−150°=30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA=∠AGC=80°．
∴∠EFM=∠EFA−∠MFA=80°−30°=50°．
∴∠DEF=180°−∠EFM=180°−50°=130°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°
【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；
（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．
【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．
（2）如图所示，
设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，
则x-y=45°，
即∠DMN-∠CDM=45°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．
6．（2023下·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
【答案】（1）15°或115°；（2）120°
【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．
（2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．
【详解】解：（1）①当∠1=∠2时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠1=2∠1-15°，
解得∠1=15°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠2+2∠2-15°=180°，
解得∠2=65°，
∴∠1=180°-∠2=115°；
（2）过D点作DI∥EF，
∵∠F=145°，
∴∠FDI=35°，
∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°．
∵GH∥AB，
∴∠H=180°-60°=120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由．
【答案】是，90°
【分析】过点B作BP∥EF，则∠1=∠ABP．依据平行线的性质，即可得到∠ABP+∠PBC=∠1+∠2=90°．
【详解】解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．
过点B作BP∥EF，
则∠1＝∠ABP．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥GH，
∴BP∥GH （平行于同一直线的两直线平行）
∴∠2＝∠PBC， （两直线平行，内错角相等）
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质在生活中的应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．（2023上·河北邯郸·七年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东60°，如果A、B两地同时开工，直接写出∠α为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°的方向，C处在B处的北偏东85°的方向，求∠C的度数．

【答案】（1）∠α为120°时，才能使公路准确接通；（2）78°
【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案；
（2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠α=180°，
∴∠α=180°−∠CAB=180°−60°=120°，
答：当∠α=120°时，才能使公路准确接通；
（2）如图2，由题意得，∠MBC=85°，∠BAN=56°，∠NAC=17°，
∵AN∥BM∥CP，
∴∠MBC+∠PCB=180°，∠NAC=∠ACP=17°，
∴∠PCB=180°−∠MBC=180°−85°=95°，
∴∠ACB=∠PCB−∠PCA=95°−17°=78°
即：∠C=78°．

【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提．读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40度．
在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．