人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围)
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题:(2022·四川南充·九年级期中)如图,,若,,则∠E=______.
【变式训练】
1.(2021·宁夏固原·七年级期末)如图,,,,则的度数是 _____.
2.(2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末)如图,若ABCD,则,,则______.
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题:(2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习)如图所示,、BEFD是AB、CD之间的一条折线,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.
【变式训练】
1.(2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中)如图,直线 l1∥l2,若∠1=40°,∠2 比∠3 大 10°,则∠4=____.
2.(2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习)如图,,点E,F分别是AB,CD上的点,点M位于AB与CD之间且在EF的右侧.
(1)若,则______°;
(2)若,与的角平分线交于点N,则的度数为______.(用含n的式子表示)
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:(2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中)如图,ABCDEF,CBDEFG,如果,则∠2=_____________.
【变式训练】
1.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,直线,则的度数为___________°.
2.(2022春·山东济南·八年级校考阶段练习)探究:
(1)如图①,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3之间有什么关系?
(2)如图②,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3,∠4之间有什么关系?
(3)如图③,已知ABCD,请直接写出图中∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的关系;
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题:(2022·四川泸州·七年级期末)如图是三岛的平面图,岛在岛的北偏东方向,在岛的北偏西方向,则____________.
【变式训练】
1.(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中)如图,汽车灯的剖面图,从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线,都是水平线,若,,则的度数为______.
【过关检测】
一、选择题
1.(2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习)如图,,则等于( )
A.45°B.55°C.135°D.145°
2.(2022春·广东深圳·七年级校考期中)某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知,,,则的度数是 ( )
A.B.C.D.
3.(2022秋·全国·八年级专题练习)一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,第一次拐弯的度数为,第二次拐弯的度数为,到了点后需要继续拐弯,拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行,则的度数为( )
A.100°B.160°C.140°D.120°
4.(2023春·全国·七年级专题练习)已知,点E在连线的右侧,与的角平分线相交于点F,则下列说法正确的是( );
①;
②若,则;
③如图(2)中,若,,则;
④如图(2)中,若,,则.
A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
二、填空题
5.(2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中)如图,AB∥EF,则∠A,∠C,∠E满足的数量关系是______.
6.(2022春·辽宁丹东·七年级校考期末)如图,,与相交于点,且,,若,则______.
7.(2022春·四川成都·七年级校考期中)如图所示,已知ABCD,,,则的度数为______度.
8.(2022春·福建三明·七年级统考期中)观察下列图形:已知,在第一个图中,可得,根据规律,则______度.
三、解答题
9.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,,求证:.
10.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,求证:.
11.(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习)下列各图中的与平行.
(1)图①中的 度,图②中的 度,图③中的 度,图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n-1个图中的
12.(2022春·江西赣州·七年级统考期中)根据下列叙述填依据.
(1)已知如图1,,求∠B+∠BFD+∠D的度数.
解:过点F作
所以∠B+∠BFE=180°( )
因为、(已知)
所以 ( )
所以∠D+∠DFE=180°( )
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
备用图:
(3)如图(4)ABEF,∠C=90°,∠与∠、∠有何数量关系(直接写出结果,不需要说明理由)
13.(2022秋·全国·八年级专题练习)综合与探究,问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.
(1)如图1,,点A,B分别为直线,上的一点,点P为平行线间一点且,,求度数;
问题迁移
(2)如图2,射线与射线交于点O,直线 ,直线m分别交于点A,D,直线n分别交于点B,C,点P在射线上运动.
①当点P在A,B(不与A,B重合)两点之间运动时,设,.则之间有何数量关系?请说明理由;
②若点P不在线段上运动时(点P与点A,B,O三点都不重合),请你直接写出间的数量关系.
14.(2023春·全国·七年级专题练习)如图1,已知,点,分别在射线和上,在内部作射线,,使平行于.
(1)如图1,若,求的度数;
(2)小颖发现,在内部,无论如何变化,的值始终为定值,请你结合图2求出这一定值;
(3)①如图3,把图1中的改为,其他条件不变,请直接写出与之间的数量关系;
②如图4,已知,点,分别在射线,上,在与内部作射线,,使平行于,请直接写出与之间的数量关系.
专题03 平行线中拐点问题
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题:(2022·四川南充·九年级期中)如图,,若,,则∠E=______.
【答案】##66度
【分析】如图所示,过点E作,则,根据两直线平行内错角相等分别求出,则.
【详解】解:如图所示,过点E作,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,正确作出辅助线求出是解题的关键.
【变式训练】
1.(2021·宁夏固原·七年级期末)如图,,,,则的度数是 _____.
【答案】##100度
【分析】通过作平行线的方式,将∠G分成∠EGQ和∠QGF,利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF,度数即可求解.
【详解】解:过G点作,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查平行线的性质,属于经典题目,学会作辅助线是关键.
2.(2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末)如图,若ABCD,则,,则______.
【答案】##20度
【分析】过点作,利用平行线的性质可得的度数,进而可得的度数,再结合可得,进而可得的度数.
【详解】解:如图,过点作,则,
,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,构造合适的辅助线是解题关键.
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题:(2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习)如图所示,、BEFD是AB、CD之间的一条折线,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.
【答案】
【分析】连接BD,根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°,根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°,于是得到结论.
【详解】解:连接BD,如图,
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠CDB=180°,
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°,
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°,
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°.
故答案为:540°.
【点睛】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
【变式训练】
1.(2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中)如图,直线 l1∥l2,若∠1=40°,∠2 比∠3 大 10°,则∠4=____.
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1,过C点作CD直线l2,由平行线的性质可得∠5=∠1=40°,∠4=∠8,∠6=∠7,结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°,进而可求解.
【详解】解:过A点作AB直线l1,过C点作CD直线l2,
∴∠5=∠1=40°,∠4=∠8,
∵直线l1l2,
∴ABCD,
∴∠6=∠7,
∵∠2比∠3大10°,
∴∠2-∠3=10°,
∵∠5+∠6=∠2,∠7+∠8=∠3,
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°,
∴40°-∠4=10°,
解得∠4=30°.
故答案为:30°.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,角的计算,作适当的辅助线是解题的关键.
2.(2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习)如图,,点E,F分别是AB,CD上的点,点M位于AB与CD之间且在EF的右侧.
(1)若,则______°;
(2)若,与的角平分线交于点N,则的度数为______.(用含n的式子表示)
【答案】 270
【分析】(1)过点M作MPAB,则ABCDMP,根据两直线平行,内错角相等可得答案;
(2)过点N作NQAB,则ABCDNQ,根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案.
【详解】解:(1)过点M作MPAB,
∵ABCD,
∴ABCDMP,
∴∠1=∠MEB,∠2=∠MFD,
∵∠M=∠1+∠2=90°,
∴∠MEB+∠MFD=90°,
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°,
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°.
故答案为:270;
(2)过点N作NQAB,
∵ABCD,
∴ABCDNQ,
∴∠3=∠NEB,∠4=∠NFD,
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF,
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N,
∵∠NEB=∠MEB,∠DFN=∠MFD,
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=(∠MEB+∠MFD),
由(1)得,∠MEB+∠MFD=∠EMF,
∴∠ENF=∠EMF=n°.
故答案为:n°.
【点睛】本题考查平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键.
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:(2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中)如图,ABCDEF,CBDEFG,如果,则∠2=_____________.
【答案】110°##110度
【分析】先求出与的度数,再根据平行线性质,即可求出两角的度数.
【详解】解:,,
.
,
.
,
.
故答案为:110°.
【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等,同旁内角互补的性质,熟练掌握并运用性质是解题的关键.
【变式训练】
1.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,直线,则的度数为___________°.
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD,过G作GH∥CD,过M作MN∥CD,根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD,根据平行线的性质得出即可.
【详解】过E作EF∥CD,过G作GH∥CD,过M作MN∥CD,如图所示:
∵CD∥AB,
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD,
∴∠1=∠BEF,∠GEF+∠EGH=180°,∠HGM+∠GMN=180°,∠NMC=∠5,
∵∠2=∠BEF+∠GEF,∠3=∠EGH+∠HGM,∠4=∠GMN+∠NMC,
∴.
故答案为:360.
【点睛】本题考查了平行线的性质,能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键.
2.(2022春·山东济南·八年级校考阶段练习)探究:
(1)如图①,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3之间有什么关系?
(2)如图②,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3,∠4之间有什么关系?
(3)如图③,已知ABCD,请直接写出图中∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的关系;
【答案】(1)∠1+∠3=∠2;
(2)∠1+∠3=∠2+∠4;
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4.
【分析】(1)过点E作EMAB,根据平行线的性质及角的和差求解即可;
(2)过点F作NFAB,结合(1)并根据平行线的性质及角的和差求解即可;
(3)过点G作GMAB,结合(2)并根据平行线的性质及角的和差求解即可.
(1)
解:如图①,过点E作EMAB,
∵ABCD,
∴ABCDEM,
∴∠1=∠NEM,∠3=∠MEF,
∴∠1+∠3=∠NEM+∠MEF,
即∠1+∠3=∠2;
(2)
如图②,过点F作NFAB,
∵ABCD,
∴ABCDFN,
∴∠4=∠NFH,
由(1)知,∠1+∠EFN=∠2,
∴∠1+∠EFN+∠NFH=∠2+∠4,
即∠1+∠3=∠2+∠4;
(3)
如图③,过点G作GMAB,
∵ABCD,
∴ABCDGM,
∴∠5=∠MGN,
由(2)得,∠1+∠3=∠2+∠FGM,
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGN,
即∠1+∠3+∠5=∠2+∠4.
【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记两直线平行,内错角相等是解题的关键.
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题:(2022·四川泸州·七年级期末)如图是三岛的平面图,岛在岛的北偏东方向,在岛的北偏西方向,则____________.
【答案】
【分析】根据方位角的概念,过点作辅助线,构造两组平行线,利用平行线的性质即可求解.
【详解】如图,作,
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查了方位角的概念,解答题目的关键是作辅助线,构造平行线.两直线平行,内错角相等.
【变式训练】
1.(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中)如图,汽车灯的剖面图,从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线,都是水平线,若,,则的度数为______.
【答案】##60度
【分析】如图所示,过点O作,则,根据平行线的性质求解即可.
【详解】解:如图所示,过点O作,
∵光线,都是水平线,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
【过关检测】
一、选择题
1.(2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习)如图,,则等于( )
A.45°B.55°C.135°D.145°
【答案】C
【分析】过点作,可得,根据平行线的性质可得,根据已知求得,进而即可求解.
【详解】解:如图,过点作,
∴,
∴,
∵,
∴,
.
故选C.
【点睛】本题考查了平行公理的推论,平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
2.(2022春·广东深圳·七年级校考期中)某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知,,,则的度数是 ( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】延长交于,依据,,可得,再根据三角形外角性质,即可得到.
【详解】解:如图,延长交于,
∵,,
,
又,,
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解决问题的关键是掌握:两直线平行,同位角相等.
3.(2022秋·全国·八年级专题练习)一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,第一次拐弯的度数为,第二次拐弯的度数为,到了点后需要继续拐弯,拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行,则的度数为( )
A.100°B.160°C.140°D.120°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可求解.
【详解】解:过点作,如图,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选:.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
4.(2023春·全国·七年级专题练习)已知,点E在连线的右侧,与的角平分线相交于点F,则下列说法正确的是( );
①;
②若,则;
③如图(2)中,若,,则;
④如图(2)中,若,,则.
A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作,,再根据平行线的性质可以得到解答.
【详解】解:分别过、作,,
∵,
∴,
∴,,
∴,
即,①正确;
∵,,
∴,
∵,
∴,,
∴,②正确,
与上同理,,
∴,
∴,③正确,
由题意,④不一定正确,
∴①②③正确,
故选:C.
【点睛】本题考查平行线的应用,熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键.
二、填空题
5.(2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中)如图,AB∥EF,则∠A,∠C,∠E满足的数量关系是______.
【答案】
【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可直接得到答案.
【详解】如下图所示,过点C作,
∵,
∴(两直线平行,同旁内角互补),
∵,,
∴,
∴(两直线平行,同旁内角互补),
∴,
∴,
∴在原图中,
故答案为:.
【点睛】本题考查平行直线的性质,解题的关键是熟练掌握两直线平行,同旁内角互补.
6.(2022春·辽宁丹东·七年级校考期末)如图,,与相交于点,且,,若,则______.
【答案】3
【分析】过点作,根据平行线的性质可得,再根据平行线的性质可得,,依此即可求解.
【详解】解:如图,过点作,
∵,
∴,
∴,,,
∴,
∵,,
∴,
∴.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
7.(2022春·四川成都·七年级校考期中)如图所示,已知ABCD,,,则的度数为______度.
【答案】50
【分析】过点E作EGCD,由∠BAE=3∠ECF,∠ECF=25°,即可求得∠BAE的度数,又由ABCD求得∠DFE的度数,再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°,∠DFE=∠FEG=75°,最后利用∠AEC=∠FEG -∠CEG求解即可.
【详解】解:过点E作EGCD
∵∠BAE=3∠ECF,∠ECF=25°,
∴∠BAE=75°,
∵ABCD,
∴∠DFE=∠BAE=75°,
∵EGCD
∴∠ECF=∠CEG=25°,∠DFE=∠FEG=75°,
∴∠AEC=∠FEG -∠CEG =75°-25°=50°,
故答案为:50.
【点睛】此题考查了平行线的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握平行线的性质定理,注意数形结合思想的应用.
8.(2022春·福建三明·七年级统考期中)观察下列图形:已知,在第一个图中,可得,根据规律,则______度.
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E,P2F,P3G,由平行线的性质可得出:∠1+∠MPE=180°,∠3+∠4=180°,∠5+∠6=180°,∠7+∠2=180°,根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°.
【详解】解:如图,分别过、、作直线的平行线,,,
,
∴,
由平行线的性质可得出:,,,,
∴(1),
(2),
(3),
(4),
∴.
故答案为:900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出辅助线,利用两直线平行,同旁内角互补是解答此题的关键.
三、解答题
9.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,,求证:.
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质定理,进而得出,则,即可得出.
【详解】证明:过点C作,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握相关的定理是解题关键,解题时注意:同旁内角互补,两直线平行.
10.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,求证:.
【答案】见解析
【分析】过点P作,即得出,再根据平行线的性质可得出,,最后由,即可证.
【详解】证明:如图,过点P作.
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
【点睛】本题考查平行线的判定和性质.正确作出辅助线是解题关键.
11.(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习)下列各图中的与平行.
(1)图①中的 度,图②中的 度,图③中的 度,图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n-1个图中的
【答案】(1)180、360、540、720、1620
(2)
【分析】(1)根据图形结合平行线的性质即可得出结论;
(2)根据(1)中结果,即可找出变化规律即可求解.
(1)
如图:
∵,
∴=180°,
如图②,过作,
根据两直线平行,同旁内角互补有:,,
又∵,
∴,
同理可得:
图③中:,
图④中:,
第⑨个图中:;
故答案为:180、360、540、720、1620.
(2)
结合(1)的结果可知:
第n个图中的,
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补,两直线平行,内错角相等的性质,过角的顶点作AB的平行线,构造同旁内角或内错角是解题的关键,此题规律性较强,需熟练掌握.
12.(2022春·江西赣州·七年级统考期中)根据下列叙述填依据.
(1)已知如图1,,求∠B+∠BFD+∠D的度数.
解:过点F作
所以∠B+∠BFE=180°( )
因为、(已知)
所以 ( )
所以∠D+∠DFE=180°( )
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
备用图:
(3)如图(4)ABEF,∠C=90°,∠与∠、∠有何数量关系(直接写出结果,不需要说明理由)
【答案】(1)两直线平行,同旁内角互补;,平行于同一直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补
(2)见解析
(3)
【分析】(1)过点F作,得到∠B+∠BFE=180°,再根据、得到,∠D+∠DFE=180°,最后利用角度的和差即可得出答案;
(2)类比问题(1)的解题方法即可得解;
(3)类比问题(1)的解题方法即可得解.
(1)
解:过点F作,如图,
∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行,同旁内角相等),
∵、(已知)
∴(平行于同一直线的两直线平行),
∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°;
故答案为:两直线平行,同旁内角互补;,平行于同一直线的两直线平行;
两直线平行,同旁内角互补;
(2)
解:选图(2),∠D与∠B、∠F的数量关系为:∠BDF+∠B=∠F;
理由如下:
过点D作DC//AB,
∴∠B=∠BDC,
∵,,
∴,
∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF+∠BDC =∠F,
即∠BDF+∠B=∠F;
选图(3),∠D与∠B、∠F的数量关系:∠BDF+∠B=∠F
过点D作,
∴∠B=∠BDC,
∵,,
∴,
∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF+∠BDC =∠F,
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ;
(3)
解:
如图(4)所示,过点C作,过D作,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∵ ,,
∴.
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用,熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键.
13.(2022秋·全国·八年级专题练习)综合与探究,问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.
(1)如图1,,点A,B分别为直线,上的一点,点P为平行线间一点且,,求度数;
问题迁移
(2)如图2,射线与射线交于点O,直线 ,直线m分别交于点A,D,直线n分别交于点B,C,点P在射线上运动.
①当点P在A,B(不与A,B重合)两点之间运动时,设,.则之间有何数量关系?请说明理由;
②若点P不在线段上运动时(点P与点A,B,O三点都不重合),请你直接写出间的数量关系.
【答案】(1)110°
(2)①,理由见解析;②或
【分析】(1)过P作,由,得,,即得,把,,代入即可求出;
(2)①过P作交于E,由,得,,故;
②分两种情况:当P在延长线时,此时;当P在之间时,此时.
【详解】(1)解: 过P作,如图:
∵,
∴,
∴,,
∴,
即,
∵,,
∴;
(2)解:①,理由如下:
过P作交于E,如图:
∵,
∴,
∴,,
∴ ;
②当P在延长线时,过P作交的延长线于E,如图:
∵,
∴,
∴,,
∴,
此时;
当P在之间时,过P作交的延长线于E,如图:
∵,
∴,
∴,,
∴,
此时.
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用,解题的关键是作平行线,构造内错角、同旁内角转化角.
14.(2023春·全国·七年级专题练习)如图1,已知,点,分别在射线和上,在内部作射线,,使平行于.
(1)如图1,若,求的度数;
(2)小颖发现,在内部,无论如何变化,的值始终为定值,请你结合图2求出这一定值;
(3)①如图3,把图1中的改为,其他条件不变,请直接写出与之间的数量关系;
②如图4,已知,点,分别在射线,上,在与内部作射线,,使平行于,请直接写出与之间的数量关系.
【答案】(1)
(2)
(3)①,②
【分析】(1)过点作,可以求出,结合,可以得到,即可求出的度数;
(2)过点作,结合已知可以得出,进而得到,即可求出,的值;
(3)①根据题意画出对应的图形,结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系;
②根据题意画出对应的图形,添加适当的辅助线,结合平行线的性质与判定即可正确解答.
【详解】(1)过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
(2)过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
(3)①
②
【点睛】本题主要考查的是平行线模型,根据题意画出对应的图形,添加适当的辅助线是解题的关键.
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