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    人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围)
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    人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围)

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    这是一份人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围),共37页。

    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
    \l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
    \l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
    \l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
    \l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
    \l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
    【典型例题】
    【考点一 平行线间一个拐点问题】
    例题:(2022·四川南充·九年级期中)如图,,若,,则∠E=______.
    【变式训练】
    1.(2021·宁夏固原·七年级期末)如图,,,,则的度数是 _____.
    2.(2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末)如图,若ABCD,则,,则______.
    【考点二 平行线间两个拐点问题】
    例题:(2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习)如图所示,、BEFD是AB、CD之间的一条折线,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.
    【变式训练】
    1.(2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中)如图,直线 l1∥l2,若∠1=40°,∠2 比∠3 大 10°,则∠4=____.
    2.(2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习)如图,,点E,F分别是AB,CD上的点,点M位于AB与CD之间且在EF的右侧.
    (1)若,则______°;
    (2)若,与的角平分线交于点N,则的度数为______.(用含n的式子表示)
    【考点三 平行线间多个拐点问题】
    例题:(2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中)如图,ABCDEF,CBDEFG,如果,则∠2=_____________.
    【变式训练】
    1.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,直线,则的度数为___________°.
    2.(2022春·山东济南·八年级校考阶段练习)探究:
    (1)如图①,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3之间有什么关系?
    (2)如图②,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3,∠4之间有什么关系?
    (3)如图③,已知ABCD,请直接写出图中∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的关系;
    【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
    例题:(2022·四川泸州·七年级期末)如图是三岛的平面图,岛在岛的北偏东方向,在岛的北偏西方向,则____________.
    【变式训练】
    1.(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中)如图,汽车灯的剖面图,从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线,都是水平线,若,,则的度数为______.
    【过关检测】
    一、选择题
    1.(2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习)如图,,则等于( )
    A.45°B.55°C.135°D.145°
    2.(2022春·广东深圳·七年级校考期中)某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知,,,则的度数是 ( )
    A.B.C.D.
    3.(2022秋·全国·八年级专题练习)一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,第一次拐弯的度数为,第二次拐弯的度数为,到了点后需要继续拐弯,拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行,则的度数为( )
    A.100°B.160°C.140°D.120°
    4.(2023春·全国·七年级专题练习)已知,点E在连线的右侧,与的角平分线相交于点F,则下列说法正确的是( );
    ①;
    ②若,则;
    ③如图(2)中,若,,则;
    ④如图(2)中,若,,则.
    A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
    二、填空题
    5.(2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中)如图,AB∥EF,则∠A,∠C,∠E满足的数量关系是______.
    6.(2022春·辽宁丹东·七年级校考期末)如图,,与相交于点,且,,若,则______.
    7.(2022春·四川成都·七年级校考期中)如图所示,已知ABCD,,,则的度数为______度.
    8.(2022春·福建三明·七年级统考期中)观察下列图形:已知,在第一个图中,可得,根据规律,则______度.
    三、解答题
    9.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,,求证:.
    10.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,求证:.
    11.(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习)下列各图中的与平行.
    (1)图①中的 度,图②中的 度,图③中的 度,图④中的 度
    第⑨个图中的 度
    (2)第n-1个图中的
    12.(2022春·江西赣州·七年级统考期中)根据下列叙述填依据.
    (1)已知如图1,,求∠B+∠BFD+∠D的度数.
    解:过点F作
    所以∠B+∠BFE=180°( )
    因为、(已知)
    所以 ( )
    所以∠D+∠DFE=180°( )
    所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
    (2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
    备用图:
    (3)如图(4)ABEF,∠C=90°,∠与∠、∠有何数量关系(直接写出结果,不需要说明理由)
    13.(2022秋·全国·八年级专题练习)综合与探究,问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.
    (1)如图1,,点A,B分别为直线,上的一点,点P为平行线间一点且,,求度数;
    问题迁移
    (2)如图2,射线与射线交于点O,直线 ,直线m分别交于点A,D,直线n分别交于点B,C,点P在射线上运动.
    ①当点P在A,B(不与A,B重合)两点之间运动时,设,.则之间有何数量关系?请说明理由;
    ②若点P不在线段上运动时(点P与点A,B,O三点都不重合),请你直接写出间的数量关系.
    14.(2023春·全国·七年级专题练习)如图1,已知,点,分别在射线和上,在内部作射线,,使平行于.
    (1)如图1,若,求的度数;
    (2)小颖发现,在内部,无论如何变化,的值始终为定值,请你结合图2求出这一定值;
    (3)①如图3,把图1中的改为,其他条件不变,请直接写出与之间的数量关系;
    ②如图4,已知,点,分别在射线,上,在与内部作射线,,使平行于,请直接写出与之间的数量关系.
    专题03 平行线中拐点问题
    【考点导航】
    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
    \l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
    \l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
    \l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
    \l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
    \l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
    【典型例题】
    【考点一 平行线间一个拐点问题】
    例题:(2022·四川南充·九年级期中)如图,,若,,则∠E=______.
    【答案】##66度
    【分析】如图所示,过点E作,则,根据两直线平行内错角相等分别求出,则.
    【详解】解:如图所示,过点E作,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,正确作出辅助线求出是解题的关键.
    【变式训练】
    1.(2021·宁夏固原·七年级期末)如图,,,,则的度数是 _____.
    【答案】##100度
    【分析】通过作平行线的方式,将∠G分成∠EGQ和∠QGF,利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF,度数即可求解.
    【详解】解:过G点作,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查平行线的性质,属于经典题目,学会作辅助线是关键.
    2.(2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末)如图,若ABCD,则,,则______.
    【答案】##20度
    【分析】过点作,利用平行线的性质可得的度数,进而可得的度数,再结合可得,进而可得的度数.
    【详解】解:如图,过点作,则,




    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查平行线的性质,构造合适的辅助线是解题关键.
    【考点二 平行线间两个拐点问题】
    例题:(2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习)如图所示,、BEFD是AB、CD之间的一条折线,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.
    【答案】
    【分析】连接BD,根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°,根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°,于是得到结论.
    【详解】解:连接BD,如图,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠ABD+∠CDB=180°,
    ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°,
    ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°,
    即∠1+∠2+∠3+∠4=540°.
    故答案为:540°.
    【点睛】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
    【变式训练】
    1.(2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中)如图,直线 l1∥l2,若∠1=40°,∠2 比∠3 大 10°,则∠4=____.
    【答案】30°##30度
    【分析】过A点作AB直线l1,过C点作CD直线l2,由平行线的性质可得∠5=∠1=40°,∠4=∠8,∠6=∠7,结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°,进而可求解.
    【详解】解:过A点作AB直线l1,过C点作CD直线l2,
    ∴∠5=∠1=40°,∠4=∠8,
    ∵直线l1l2,
    ∴ABCD,
    ∴∠6=∠7,
    ∵∠2比∠3大10°,
    ∴∠2-∠3=10°,
    ∵∠5+∠6=∠2,∠7+∠8=∠3,
    ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°,
    ∴40°-∠4=10°,
    解得∠4=30°.
    故答案为:30°.
    【点睛】本题主要考查平行线的性质,角的计算,作适当的辅助线是解题的关键.
    2.(2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习)如图,,点E,F分别是AB,CD上的点,点M位于AB与CD之间且在EF的右侧.
    (1)若,则______°;
    (2)若,与的角平分线交于点N,则的度数为______.(用含n的式子表示)
    【答案】 270
    【分析】(1)过点M作MPAB,则ABCDMP,根据两直线平行,内错角相等可得答案;
    (2)过点N作NQAB,则ABCDNQ,根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案.
    【详解】解:(1)过点M作MPAB,
    ∵ABCD,
    ∴ABCDMP,
    ∴∠1=∠MEB,∠2=∠MFD,
    ∵∠M=∠1+∠2=90°,
    ∴∠MEB+∠MFD=90°,
    ∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°,
    ∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°.
    故答案为:270;
    (2)过点N作NQAB,
    ∵ABCD,
    ∴ABCDNQ,
    ∴∠3=∠NEB,∠4=∠NFD,
    ∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF,
    ∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N,
    ∵∠NEB=∠MEB,∠DFN=∠MFD,
    ∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=(∠MEB+∠MFD),
    由(1)得,∠MEB+∠MFD=∠EMF,
    ∴∠ENF=∠EMF=n°.
    故答案为:n°.
    【点睛】本题考查平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键.
    【考点三 平行线间多个拐点问题】
    例题:(2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中)如图,ABCDEF,CBDEFG,如果,则∠2=_____________.
    【答案】110°##110度
    【分析】先求出与的度数,再根据平行线性质,即可求出两角的度数.
    【详解】解:,,





    故答案为:110°.
    【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等,同旁内角互补的性质,熟练掌握并运用性质是解题的关键.
    【变式训练】
    1.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,直线,则的度数为___________°.
    【答案】360
    【分析】过E作EF∥CD,过G作GH∥CD,过M作MN∥CD,根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD,根据平行线的性质得出即可.
    【详解】过E作EF∥CD,过G作GH∥CD,过M作MN∥CD,如图所示:
    ∵CD∥AB,
    ∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD,
    ∴∠1=∠BEF,∠GEF+∠EGH=180°,∠HGM+∠GMN=180°,∠NMC=∠5,
    ∵∠2=∠BEF+∠GEF,∠3=∠EGH+∠HGM,∠4=∠GMN+∠NMC,
    ∴.
    故答案为:360.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键.
    2.(2022春·山东济南·八年级校考阶段练习)探究:
    (1)如图①,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3之间有什么关系?
    (2)如图②,已知ABCD,图中∠1,∠2,∠3,∠4之间有什么关系?
    (3)如图③,已知ABCD,请直接写出图中∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的关系;
    【答案】(1)∠1+∠3=∠2;
    (2)∠1+∠3=∠2+∠4;
    (3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4.
    【分析】(1)过点E作EMAB,根据平行线的性质及角的和差求解即可;
    (2)过点F作NFAB,结合(1)并根据平行线的性质及角的和差求解即可;
    (3)过点G作GMAB,结合(2)并根据平行线的性质及角的和差求解即可.
    (1)
    解:如图①,过点E作EMAB,
    ∵ABCD,
    ∴ABCDEM,
    ∴∠1=∠NEM,∠3=∠MEF,
    ∴∠1+∠3=∠NEM+∠MEF,
    即∠1+∠3=∠2;
    (2)
    如图②,过点F作NFAB,
    ∵ABCD,
    ∴ABCDFN,
    ∴∠4=∠NFH,
    由(1)知,∠1+∠EFN=∠2,
    ∴∠1+∠EFN+∠NFH=∠2+∠4,
    即∠1+∠3=∠2+∠4;
    (3)
    如图③,过点G作GMAB,
    ∵ABCD,
    ∴ABCDGM,
    ∴∠5=∠MGN,
    由(2)得,∠1+∠3=∠2+∠FGM,
    ∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGN,
    即∠1+∠3+∠5=∠2+∠4.
    【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记两直线平行,内错角相等是解题的关键.
    【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
    例题:(2022·四川泸州·七年级期末)如图是三岛的平面图,岛在岛的北偏东方向,在岛的北偏西方向,则____________.
    【答案】
    【分析】根据方位角的概念,过点作辅助线,构造两组平行线,利用平行线的性质即可求解.
    【详解】如图,作,
    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了方位角的概念,解答题目的关键是作辅助线,构造平行线.两直线平行,内错角相等.
    【变式训练】
    1.(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中)如图,汽车灯的剖面图,从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线,都是水平线,若,,则的度数为______.
    【答案】##60度
    【分析】如图所示,过点O作,则,根据平行线的性质求解即可.
    【详解】解:如图所示,过点O作,
    ∵光线,都是水平线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
    【过关检测】
    一、选择题
    1.(2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习)如图,,则等于( )
    A.45°B.55°C.135°D.145°
    【答案】C
    【分析】过点作,可得,根据平行线的性质可得,根据已知求得,进而即可求解.
    【详解】解:如图,过点作,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,

    故选C.
    【点睛】本题考查了平行公理的推论,平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
    2.(2022春·广东深圳·七年级校考期中)某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知,,,则的度数是 ( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】延长交于,依据,,可得,再根据三角形外角性质,即可得到.
    【详解】解:如图,延长交于,
    ∵,,

    又,,

    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解决问题的关键是掌握:两直线平行,同位角相等.
    3.(2022秋·全国·八年级专题练习)一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,第一次拐弯的度数为,第二次拐弯的度数为,到了点后需要继续拐弯,拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行,则的度数为( )
    A.100°B.160°C.140°D.120°
    【答案】B
    【分析】根据平行线的性质即可求解.
    【详解】解:过点作,如图,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    故选:.
    【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
    4.(2023春·全国·七年级专题练习)已知,点E在连线的右侧,与的角平分线相交于点F,则下列说法正确的是( );
    ①;
    ②若,则;
    ③如图(2)中,若,,则;
    ④如图(2)中,若,,则.
    A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
    【答案】C
    【分析】分别过、作,,再根据平行线的性质可以得到解答.
    【详解】解:分别过、作,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    即,①正确;

    ∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,,
    ∴,②正确,
    与上同理,,
    ∴,
    ∴,③正确,
    由题意,④不一定正确,
    ∴①②③正确,
    故选:C.
    【点睛】本题考查平行线的应用,熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键.
    二、填空题
    5.(2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中)如图,AB∥EF,则∠A,∠C,∠E满足的数量关系是______.
    【答案】
    【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可直接得到答案.
    【详解】如下图所示,过点C作,
    ∵,
    ∴(两直线平行,同旁内角互补),
    ∵,,
    ∴,
    ∴(两直线平行,同旁内角互补),
    ∴,
    ∴,
    ∴在原图中,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查平行直线的性质,解题的关键是熟练掌握两直线平行,同旁内角互补.
    6.(2022春·辽宁丹东·七年级校考期末)如图,,与相交于点,且,,若,则______.
    【答案】3
    【分析】过点作,根据平行线的性质可得,再根据平行线的性质可得,,依此即可求解.
    【详解】解:如图,过点作,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:3.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
    7.(2022春·四川成都·七年级校考期中)如图所示,已知ABCD,,,则的度数为______度.
    【答案】50
    【分析】过点E作EGCD,由∠BAE=3∠ECF,∠ECF=25°,即可求得∠BAE的度数,又由ABCD求得∠DFE的度数,再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°,∠DFE=∠FEG=75°,最后利用∠AEC=∠FEG -∠CEG求解即可.
    【详解】解:过点E作EGCD
    ∵∠BAE=3∠ECF,∠ECF=25°,
    ∴∠BAE=75°,
    ∵ABCD,
    ∴∠DFE=∠BAE=75°,
    ∵EGCD
    ∴∠ECF=∠CEG=25°,∠DFE=∠FEG=75°,
    ∴∠AEC=∠FEG -∠CEG =75°-25°=50°,
    故答案为:50.
    【点睛】此题考查了平行线的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握平行线的性质定理,注意数形结合思想的应用.
    8.(2022春·福建三明·七年级统考期中)观察下列图形:已知,在第一个图中,可得,根据规律,则______度.
    【答案】
    【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E,P2F,P3G,由平行线的性质可得出:∠1+∠MPE=180°,∠3+∠4=180°,∠5+∠6=180°,∠7+∠2=180°,根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°.
    【详解】解:如图,分别过、、作直线的平行线,,,

    ∴,
    由平行线的性质可得出:,,,,
    ∴(1),
    (2),
    (3),
    (4),
    ∴.
    故答案为:900°
    【点睛】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出辅助线,利用两直线平行,同旁内角互补是解答此题的关键.
    三、解答题
    9.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,,求证:.
    【答案】见解析
    【分析】根据平行线的性质定理,进而得出,则,即可得出.
    【详解】证明:过点C作,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握相关的定理是解题关键,解题时注意:同旁内角互补,两直线平行.
    10.(2022秋·八年级课时练习)已知:如图,求证:.
    【答案】见解析
    【分析】过点P作,即得出,再根据平行线的性质可得出,,最后由,即可证.
    【详解】证明:如图,过点P作.
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查平行线的判定和性质.正确作出辅助线是解题关键.
    11.(2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习)下列各图中的与平行.
    (1)图①中的 度,图②中的 度,图③中的 度,图④中的 度
    第⑨个图中的 度
    (2)第n-1个图中的
    【答案】(1)180、360、540、720、1620
    (2)
    【分析】(1)根据图形结合平行线的性质即可得出结论;
    (2)根据(1)中结果,即可找出变化规律即可求解.
    (1)
    如图:
    ∵,
    ∴=180°,
    如图②,过作,
    根据两直线平行,同旁内角互补有:,,
    又∵,
    ∴,
    同理可得:
    图③中:,
    图④中:,
    第⑨个图中:;
    故答案为:180、360、540、720、1620.
    (2)
    结合(1)的结果可知:
    第n个图中的,
    故答案为:.
    【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补,两直线平行,内错角相等的性质,过角的顶点作AB的平行线,构造同旁内角或内错角是解题的关键,此题规律性较强,需熟练掌握.
    12.(2022春·江西赣州·七年级统考期中)根据下列叙述填依据.
    (1)已知如图1,,求∠B+∠BFD+∠D的度数.
    解:过点F作
    所以∠B+∠BFE=180°( )
    因为、(已知)
    所以 ( )
    所以∠D+∠DFE=180°( )
    所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
    (2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
    备用图:
    (3)如图(4)ABEF,∠C=90°,∠与∠、∠有何数量关系(直接写出结果,不需要说明理由)
    【答案】(1)两直线平行,同旁内角互补;,平行于同一直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补
    (2)见解析
    (3)
    【分析】(1)过点F作,得到∠B+∠BFE=180°,再根据、得到,∠D+∠DFE=180°,最后利用角度的和差即可得出答案;
    (2)类比问题(1)的解题方法即可得解;
    (3)类比问题(1)的解题方法即可得解.
    (1)
    解:过点F作,如图,
    ∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行,同旁内角相等),
    ∵、(已知)
    ∴(平行于同一直线的两直线平行),
    ∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补),
    ∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°;
    故答案为:两直线平行,同旁内角互补;,平行于同一直线的两直线平行;
    两直线平行,同旁内角互补;
    (2)
    解:选图(2),∠D与∠B、∠F的数量关系为:∠BDF+∠B=∠F;
    理由如下:
    过点D作DC//AB,
    ∴∠B=∠BDC,
    ∵,,
    ∴,
    ∴∠CDF=∠F,
    ∴∠BDF+∠BDC =∠F,
    即∠BDF+∠B=∠F;
    选图(3),∠D与∠B、∠F的数量关系:∠BDF+∠B=∠F
    过点D作,
    ∴∠B=∠BDC,
    ∵,,
    ∴,
    ∴∠CDF=∠F,
    ∴∠BDF+∠BDC =∠F,
    即∠BDF+∠B=∠F
    ∠BDF+∠B=∠F ;
    (3)
    解:
    如图(4)所示,过点C作,过D作,
    ∴,,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∵ ,,
    ∴.
    【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用,熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键.
    13.(2022秋·全国·八年级专题练习)综合与探究,问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.
    (1)如图1,,点A,B分别为直线,上的一点,点P为平行线间一点且,,求度数;
    问题迁移
    (2)如图2,射线与射线交于点O,直线 ,直线m分别交于点A,D,直线n分别交于点B,C,点P在射线上运动.
    ①当点P在A,B(不与A,B重合)两点之间运动时,设,.则之间有何数量关系?请说明理由;
    ②若点P不在线段上运动时(点P与点A,B,O三点都不重合),请你直接写出间的数量关系.
    【答案】(1)110°
    (2)①,理由见解析;②或
    【分析】(1)过P作,由,得,,即得,把,,代入即可求出;
    (2)①过P作交于E,由,得,,故;
    ②分两种情况:当P在延长线时,此时;当P在之间时,此时.
    【详解】(1)解: 过P作,如图:
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    即,
    ∵,,
    ∴;
    (2)解:①,理由如下:
    过P作交于E,如图:
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴ ;
    ②当P在延长线时,过P作交的延长线于E,如图:
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    此时;
    当P在之间时,过P作交的延长线于E,如图:
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    此时.
    【点睛】本题考查平行线的性质及其运用,解题的关键是作平行线,构造内错角、同旁内角转化角.
    14.(2023春·全国·七年级专题练习)如图1,已知,点,分别在射线和上,在内部作射线,,使平行于.
    (1)如图1,若,求的度数;
    (2)小颖发现,在内部,无论如何变化,的值始终为定值,请你结合图2求出这一定值;
    (3)①如图3,把图1中的改为,其他条件不变,请直接写出与之间的数量关系;
    ②如图4,已知,点,分别在射线,上,在与内部作射线,,使平行于,请直接写出与之间的数量关系.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)①,②
    【分析】(1)过点作,可以求出,结合,可以得到,即可求出的度数;
    (2)过点作,结合已知可以得出,进而得到,即可求出,的值;
    (3)①根据题意画出对应的图形,结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系;
    ②根据题意画出对应的图形,添加适当的辅助线,结合平行线的性质与判定即可正确解答.
    【详解】(1)过点作








    (2)过点作








    (3)①

    【点睛】本题主要考查的是平行线模型,根据题意画出对应的图形,添加适当的辅助线是解题的关键.
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