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人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围)
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这是一份人教版七年级数学下册专题03平行线中拐点问题(原卷版+解析)(重点突围)，共37页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是 _____．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:（2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．
【变式训练】
1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
2．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
2．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
5．（2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
6．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
7．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
三、解答题
9．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．
10．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，求证：．
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．
(1)图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n－1个图中的
12．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
专题03 平行线中拐点问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是 _____．
【答案】##100度
【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解．
【详解】解：过G点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【答案】 270
【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）过点M作MPAB，
∵ABCD，
∴ABCDMP，
∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，
∵∠M=∠1+∠2=90°，
∴∠MEB+∠MFD=90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．
故答案为：270；
（2）过点N作NQAB，
∵ABCD，
∴ABCDNQ，
∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，
∴∠ENF=∠EMF=n°．
故答案为：n°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:（2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．
【答案】110°##110度
【分析】先求出与的度数，再根据平行线性质，即可求出两角的度数．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，同旁内角互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
2．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EMAB，
∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NFAB，
∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GMAB，
∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
【答案】C
【分析】过点作，可得，根据平行线的性质可得，根据已知求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
∴,
∵，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过点作，如图，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
二、填空题
5．（2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
6．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
【答案】3
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
7．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．
【答案】50
【分析】过点E作EGCD，由∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，即可求得∠BAE的度数，又由ABCD求得∠DFE的度数，再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，最后利用∠AEC=∠FEG -∠CEG求解即可．
【详解】解：过点E作EGCD
∵∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，
∴∠BAE=75°，
∵ABCD，
∴∠DFE=∠BAE=75°，
∵EGCD
∴∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，
∴∠AEC=∠FEG -∠CEG =75°-25°=50°，
故答案为：50．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握平行线的性质定理，注意数形结合思想的应用．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．
【详解】证明：过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．
10．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，求证：．
【答案】见解析
【分析】过点P作，即得出，再根据平行线的性质可得出，，最后由，即可证．
【详解】证明：如图，过点P作．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．
(1)图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n－1个图中的
【答案】(1)180、360、540、720、1620
(2)
【分析】（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；
（2）根据（1）中结果，即可找出变化规律即可求解．
（1）
如图：
∵，
∴=180°，
如图②，过作，
根据两直线平行，同旁内角互补有：，，
又∵，
∴，
同理可得：
图③中：，
图④中：，
第⑨个图中：；
故答案为：180、360、540、720、1620．
（2）
结合（1）的结果可知：
第n个图中的，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，过角的顶点作AB的平行线，构造同旁内角或内错角是解题的关键，此题规律性较强，需熟练掌握．
12．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
（1）
解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
（2）
解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）
解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【详解】（1）解： 过P作，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数；
（2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是 _____．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:（2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．
【变式训练】
1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
2．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
2．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
5．（2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
6．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
7．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
三、解答题
9．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．
10．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，求证：．
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．
(1)图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n－1个图中的
12．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
专题03 平行线中拐点问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22206" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22206 \h 1
\l "_Tc24616" 【考点一 平行线间一个拐点问题】 PAGEREF _Tc24616 \h 1
\l "_Tc5415" 【考点二 平行线间两个拐点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
\l "_Tc23972" 【考点三 平行线间多个拐点问题】 PAGEREF _Tc23972 \h 6
\l "_Tc31793" 【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc31793 \h 9
\l "_Tc27946" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27946 \h 11
【典型例题】
【考点一 平行线间一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是 _____．
【答案】##100度
【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解．
【详解】解：过G点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线间两个拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【答案】 270
【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）过点M作MPAB，
∵ABCD，
∴ABCDMP，
∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，
∵∠M=∠1+∠2=90°，
∴∠MEB+∠MFD=90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．
故答案为：270；
（2）过点N作NQAB，
∵ABCD，
∴ABCDNQ，
∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，
∴∠ENF=∠EMF=n°．
故答案为：n°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
【考点三 平行线间多个拐点问题】
例题:（2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．
【答案】110°##110度
【分析】先求出与的度数，再根据平行线性质，即可求出两角的度数．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，同旁内角互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
2．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EMAB，
∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NFAB，
∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GMAB，
∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
【答案】C
【分析】过点作，可得，根据平行线的性质可得，根据已知求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
∴,
∵，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过点作，如图，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
二、填空题
5．（2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
6．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
【答案】3
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
7．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．
【答案】50
【分析】过点E作EGCD，由∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，即可求得∠BAE的度数，又由ABCD求得∠DFE的度数，再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，最后利用∠AEC=∠FEG -∠CEG求解即可．
【详解】解：过点E作EGCD
∵∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，
∴∠BAE=75°，
∵ABCD，
∴∠DFE=∠BAE=75°，
∵EGCD
∴∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，
∴∠AEC=∠FEG -∠CEG =75°-25°=50°，
故答案为：50．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握平行线的性质定理，注意数形结合思想的应用．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．
【详解】证明：过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．
10．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，求证：．
【答案】见解析
【分析】过点P作，即得出，再根据平行线的性质可得出，，最后由，即可证．
【详解】证明：如图，过点P作．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．
(1)图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度
第⑨个图中的 度
(2)第n－1个图中的
【答案】(1)180、360、540、720、1620
(2)
【分析】（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；
（2）根据（1）中结果，即可找出变化规律即可求解．
（1）
如图：
∵，
∴=180°，
如图②，过作，
根据两直线平行，同旁内角互补有：，，
又∵，
∴，
同理可得：
图③中：，
图④中：，
第⑨个图中：；
故答案为：180、360、540、720、1620．
（2）
结合（1）的结果可知：
第n个图中的，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，过角的顶点作AB的平行线，构造同旁内角或内错角是解题的关键，此题规律性较强，需熟练掌握．
12．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
（1）
解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
（2）
解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）
解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【详解】（1）解： 过P作，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数；
（2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
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