初中人教版（2024）第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法当堂检测题

这是一份初中人教版（2024）第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法当堂检测题，共26页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）已知10a=25，100b=400，则3a+6b−5的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
2．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．a>d>b>c
3．(3分)（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）若(x2−3ax)(x+2b)的结果中不含x2项，则a、b满足的数量关系为（ ）
A．a=2bB．a=32bC．3a=2bD．a=3b
4．(3分)（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将多项式17x2−3x+4−ax2+bx+c除以5x+6后得商式2x+1，余式为0，则a−b−c的值为（ ）
A．3B．23C．25D．29
5．(3分)（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
6．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为( )
A．0B．1C．2D．3
7．(3分)（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）3+132+134+138+1316+1332+1+1的个位数字为（ ）
A．5B．1C．2D．4
8．(3分)（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2．则S1−S2的值表示正确的是（ ）
A．BE⋅FGB．MN⋅FGC．BE⋅GDD．MN⋅GD
9．(3分)（2023春·重庆万州·八年级统考期末）已知x、y、z满足x−z=12，xz+y2=−36，则x+2y+z的值为（ ）
A．4B．1C．0D．-8
10．(3分)（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：x4−y4，将此多项式因式分解的结果是：(x+y)(x−y)x2+y2．再取两个值，如：x=9,y=7，那么各个因式的值是：x+y=16,x−y=2,x2+y2=130，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式x3−xy2以及x=20,y=2，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（ ）
A．221820B．222018C．222180D．201822
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春·浙江·八年级期末）若多项式n4+9n2+k可化为a+b2的形式，则单项式k可以是 ．
12．(3分)（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知A是多项式，若A×2xy=x2y2−2x2y−3xy2，则A= ．
13．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若x=3m+2，y=1+9m，则用含x的代数式表示y为 ．
14．(3分)（2023春·贵州·八年级统考期末）设a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，若a2=32−b2，则c2的值为 ．
15．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知a2b+c=b2a+c=2023，且a、b、c互不相等，则c2a+b−2024= ．
16．(3分)（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期末）用4张长为a、宽为b a>b的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b之间存在的数量关系是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春·河南焦作·八年级统考期中）已知2a=5,2b=25.
(1)求4a⋅4b的值；
(2)求22a−b−1的值.
18．(6分)（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）分解因式：
(1)4a2x−12ax+9x；
(2)(2x+y)2−(x+2y)2．
19．(8分)（2023春·上海浦东新·八年级统考期中）已知A=3x2+ax−3y+2，B=bx2−23x−2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式−aba+124b−a+6−32ab2−16a2b−13ab的值．
20．(8分)（2023春·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了(a+b)n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出a+b5=_________．
(2)a+18的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
21．(8分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）阅读理解：
若x满足(50−x)(x−40)=20，求(50−x)2+(x−40)2的值．
解：设50−x=a，x−40=b，
则(50−x)(x−40)=ab=20，a+b=(50−x)+(x−40)=10，
∴(50−x)2+(x−40)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×20=60．
解决问题
(1)若x满足(30−x)(x−10)=150，则(30−x)2+(x−10)2= ；
(2)若x满足(x−2022)2+(x−2020)2=204，求(x−2022)(x−2020)的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E，F是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
22．(8分)（2023春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）阅读并思考：
计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：47接近整十数50，50−47=3；
第二步：取50的一半25，25−3=22；
第三步：32=9
第四步：把第二、三步综合起来，472=25−3×100+32=2209．
(1)依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，50−49=1；
第二步：取50的一半25，25−1=24；
第三步：12=1
第四步：把第二、三步综合起来，492=___−___×100+___2=2401．
(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．
50−n2=___−___×100+___2．
(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．
(4)写出利用这个公式计算562=3136的过程．
(5)计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：6×6+1=42；
第二步：3×7=21；
第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．
写出上述过程所依据的计算公式_______________________．
(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．
23．(8分)（2023春·北京昌平·八年级统考期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设abc表示一个三位数，
则abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c =911a+b+a+b+c
因为911a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc就能被3整除．
(1)①一个四位数abcd，如果a+b+c+d能被9整除，证明abcd能被9整除；
②若一个五位数2e3e2能被9整除，则e=______；
(2)若一个三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，则xyz的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数mnp6q47s9，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数mn能被2整除，前三位组成的三位数mnp能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
第14章 整式乘法与因式分解章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）已知10a=25，100b=400，则3a+6b−5的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得a+2b=4，即可求解．
【详解】解：由100b=400可得102b=400
10a+2b=10a×102b=25×400=10000=104
∴a+2b=4
∴3a+6b−5=3a+2b−5=12−5=7
故选：B
【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得a+2b=4．
2．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．a>d>b>c
【答案】A
【分析】先变形化简a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】因为a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，
因为553662=55×552662=55×（56）2=55×2536＞1，
所以553＞662，
所以(553)11＞(662)11，
故5533＞6622即c>d；
同理可证a>b，b>c
所以a>b>c>d，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
3．(3分)（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）若(x2−3ax)(x+2b)的结果中不含x2项，则a、b满足的数量关系为（ ）
A．a=2bB．a=32bC．3a=2bD．a=3b
【答案】C
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，即可求出a与b的值．
【详解】解：(x2−3ax)(x+2b)
=x3+2bx2−3ax2−6abx
=x3+2b−3ax2−6abx
∵不含x2项，
∴2b−3a=0，
∴3a=2b,
故选：C．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．(3分)（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将多项式17x2−3x+4−ax2+bx+c除以5x+6后得商式2x+1，余式为0，则a−b−c的值为（ ）
A．3B．23C．25D．29
【答案】D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【详解】解：17x2−3x+4−ax2+bx+c
=(17−a)x2−(3+b)x+4−c；
∵(5x+6)(2x+1)=10x2+17x+6，
∴17−a=10，−(3+b)=17，4−c=6，
∴a=7，b=−20，c=−2，
∴a−b−c=7−(−20)−(−2)=7+20+2=29；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
5．(3分)（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得m=a+b,ab=−16，再根据“a,b为整数”进行分析即可得．
【详解】∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
∴x2+mx−16=x2+(a+b)x+ab，
∴m=a+b,ab=−16，
根据a,b为整数，有以下10种情况：
（1）当a=1,b=−16时，m=1+−16=−15；
（2）当a=2,b=−8时，m=2+−8=−6；
（3）当a=4,b=−4时，m=4+−4=0；
（4）当a=8,b=−2时，m=8+−2=6；
（5）当a=16,b=−1时，m=16+−1=15；
（6）当a=−1,b=16时，m=−1+16=15；
（7）当a=−2,b=8时，m=−2+8=6；
（8）当a=−4,b=4时，m=−4+4=0；
（9）当a=−8,b=2时，m=−8+2=−6；
（10）当a=−16,b=1时，m=−16+1=−15；
综上，符合条件的m的值为−15,−6,0,6,15，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
6．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，可以得到a−b，a−c，b−c的值，然后将所求式子变形，再将a−b，a−c，b−c的值代入计算即可．
【详解】解：∵a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，
∴a−b=1，a−c=2，b−c=1，
∴a2+b2+c2−ab−ac−bc
=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)
=12[(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)]
=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]
=12×(12+22+12)
=12×(1+4+1)
=12×6
=3，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出a−b，a−c，b−c的值，利用完全平方公式解答．
7．(3分)（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）3+132+134+138+1316+1332+1+1的个位数字为（ ）
A．5B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】将3+132+134+138+1316+1332+1变形为123−13+132+134+138+1316+1332+1，利用平方差公式求解．
【详解】解：3+132+134+138+1316+1332+1+1
=123−13+132+134+138+1316+1332+1+1
=1232−132+134+138+1316+1332+1+1
=1234−134+138+1316+1332+1+1
=1238−138+1316+1332+1+1
=12316−1316+1332+1+1
=12332−1332+1+1
=12364−1+1，
∵ 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243……
可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，
∴364的个位数为1，
∴364−1的个位数为0，
∴12364−1的个位数可能是0或5，
∴12364−1+1的个位数可能是1或6，
观察选项可知，只有B选项为1，
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．
8．(3分)（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2．则S1−S2的值表示正确的是（ ）
A．BE⋅FGB．MN⋅FGC．BE⋅GDD．MN⋅GD
【答案】A
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），
S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），
∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）
=（AB-a）•a-（AB-a）（AD-b）
=（AB-a）•（a-AD+b）
=BE•FG，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
9．(3分)（2023春·重庆万州·八年级统考期末）已知x、y、z满足x−z=12，xz+y2=−36，则x+2y+z的值为（ ）
A．4B．1C．0D．-8
【答案】C
【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得x−62=−y2，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】解：∵ x−z=12，∴ z=x−12，
又∵ xz+y2=−36，
∴ xx−12+y2=−36，
∴ x2−12x+36=-y2，x−62=−y2，
∵ x−62≥0，−y2≤0，
∴x−6=0，y=0，
∴x=6，y=0，z=−6，
代入x+2y+z得，x+2y+z=0．
故选：C．
【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．
10．(3分)（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：x4−y4，将此多项式因式分解的结果是：(x+y)(x−y)x2+y2．再取两个值，如：x=9,y=7，那么各个因式的值是：x+y=16,x−y=2,x2+y2=130，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式x3−xy2以及x=20,y=2，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（ ）
A．221820B．222018C．222180D．201822
【答案】C
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将x3−xy2因式分解，根据题意即可进行解答．
【详解】解：x3−xy2=xx2−y2=xx+yx−y，
当x=20,y=2时，x+y=22,x−y=18，
∴可以产生的密码是：202218，201822，222018，221820，182220，182022；
不能产生的密码是222180，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春·浙江·八年级期末）若多项式n4+9n2+k可化为a+b2的形式，则单项式k可以是 ．
【答案】6n3或−6n3或814或n636
【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．
【详解】解：①当n4和9n2作为平方项，k作为乘积项，则多项式n4+9n2+k可化为：
n2±3n2，即n4+9n2+k=(n2±3n)2=n4±6n3+9n2，
∴k=±6n3；
②当n4和k作为平方项，9n2作为乘积项，则多项式n4+9n2+k可化为：
n2+k2，即n4+9n2+k=(n2+k)2=n4+2kn2+k，
∴2kn2=9n2，解得：k=814；
③当9n2和k作为平方项，n4作为乘积项，则多项式n4+9n2+k可化为：
3n+k2，即n4+9n2+k=(3n+k)2=9n2+6kn+k，
∴6kn=n4，解得：k=n636；
故答案为：6n3或−6n3或814或n636．
【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2和分类讨论是解此题的关键．
12．(3分)（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知A是多项式，若A×2xy=x2y2−2x2y−3xy2，则A= ．
【答案】12xy−x−32y
【分析】将x2y2﹣2x2y﹣3xy2利用提公因式法进行因式分解，再除以2xy即得A．
【详解】解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2，
＝xy（xy﹣2x﹣3y），
∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy，
=12xy−x−32y，
故答案为：12xy−x−32y．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，关键在于学生要运用它的逆运算转化为多项式除以单项式．
13．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若x=3m+2，y=1+9m，则用含x的代数式表示y为 ．
【答案】1+x281
【分析】根据条件求得x=3m+2，根据幂的乘方公式对y=1+9m进行变形，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵x=3m+2，
即x=3m×32
∴3m=x÷32=x9，
则y=1+9m
=1+32m
=1+3m2
=1+x92
=1+x281．
故答案为：1+x281．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
14．(3分)（2023春·贵州·八年级统考期末）设a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，若a2=32−b2，则c2的值为 ．
【答案】12
【分析】由已知条件可得a=c+2，b=c−2，代入a2=32−b2，可得c+22=32−c−22，利用完全平方公式展开，即可求解．
【详解】解：∵ a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，
∴ a=c+2，b=c−2，
∵ a2=32−b2，
∴ c+22=32−c−22，
∴ c2+4c+4=32−c2−4c+4，
整理得：2c2=24，
∴ c2=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是用含c的代数式表示出a和b．
15．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知a2b+c=b2a+c=2023，且a、b、c互不相等，则c2a+b−2024= ．
【答案】−1
【分析】通过已知条件，找到a、b、c的关系：ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，abc=−2023，即可获得答案．
【详解】解：∵a2b+c=b2a+c，
∴a2b+a2c−ab2−b2c=0，
∴ab(a−b)+c(a+b)(a−b)=0，
∴(a−b)(ab+ac+bc)=0，
∵a≠b，
∴a−b≠0，
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，
∵a2b+c=aab+ac=2023，
∴a−bc=2023，
∴−abc=2023，
∴abc=−2023，
∴c2a+b−2024=c(ac+bc)−2024=c(−ab)−2024=−abc−2024=−1
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到ab+ac+bc=0是解题关键．
16．(3分)（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期末）用4张长为a、宽为b a>b的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b之间存在的数量关系是 ．
【答案】a=2b
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用S1=2S2，可得出a、b之间的关系．
【详解】如下图
则空白部分的面积S1=S6+S7+S3+S4+S5
S6=S4=12ab
S7=S3=12b(a+b)
S5=(a−b)(a−b)
化简得：S1=a2+2b2
S2=a+ba+b−S1=2ab−b2
∵S1=2S2
∴a2+2b2=2(2ab−b2)
化简得：(a−2b)2=0
∴a=2b
故答案为：a=2b．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出S1和S2的面积．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春·河南焦作·八年级统考期中）已知2a=5,2b=25.
(1)求4a⋅4b的值；
(2)求22a−b−1的值.
【答案】(1)4
(2)1254
【分析】（1）先将4a⋅4b变形成2a2·2b2，再代入求值即可；
（2）依据同底数幂的除法法则以及悬的乘方法则, 将 22a−b−1 变形为 2a2÷2b÷2, 再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵2a=5,2b=25.
∴4a⋅4b
=22a·22b
=2a2·2b2
=52×252
=25×425
=4
（2）当2a=5,2b=25时
22a−b−1
=22a÷2b÷2
=2a2÷2b÷2
=52÷25÷2
=25×52×12
=1254
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则的运用，关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
18．(6分)（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）分解因式：
(1)4a2x−12ax+9x；
(2)(2x+y)2−(x+2y)2．
【答案】(1)x(2a−3)2；
(2)3(x+y)(x−y)
【分析】（1）先按照提公因式的方法提出x，再按照完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答．
【详解】（1）解：4a2x−12ax+9x
=x(4a2−12a+9)
=x(2a−3)2；
故答案为：x(2a−3)2．
（2）解：(2x+y)2−(x+2y)2
=[2x+y+(x+2y)][2x+y−(x+2y)]
=(3x+3y)(x−y)
=3x+yx−y
故答案为：3(x+y)(x−y)．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键在于要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式以及熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
19．(8分)（2023春·上海浦东新·八年级统考期中）已知A=3x2+ax−3y+2，B=bx2−23x−2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式−aba+124b−a+6−32ab2−16a2b−13ab的值．
【答案】20
【分析】根据题意先计算A−3B，根据A−3B与x的取值无关，求得a,b的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将a,b的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵A−3B
=3x2+ax−3y+2−3bx2−23x−2y+4
=3x2+ax−3y+2−3bx2+2x+6y−12
=3−3bx2+a+2x+3y−10，
∵A−3B与x的取值无关，
∴3−3b=0,a+2=0，
解得a=−2,b=1；
−aba+124b−a+6−32ab2−16a2b−13ab
=−ab12a+2b+3−6ab2+12a2b+ab
=−12a2b−2ab2−3ab−6ab2+12a2b+ab
=−8ab2−2ab；
当a=−2,b=1时，
−8ab2−2ab =−8×−2×12−2×−2×1
=16+4
=20．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键．
20．(8分)（2023春·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了(a+b)n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出a+b5=_________．
(2)a+18的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
【答案】(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(2)8
(3)161051
【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照a的降幂，b的升幂顺序排列，项数为n+1项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，即可得出结论；
（2）根据a+18=a8+8a7×11+⋯+8a×17+18，即可得出结论；
（3）根据115=10+15，利用（1）中等式求解即可．
【详解】（1）解：∵a+b1=a+b，
a+b2=a2+1+1ab+b2=a2+2ab+b2，
a+b3=a3+1+2a2b+2+1ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，
a+b4=a4+1+3a3b+3+3a2b2+3+1ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴a+b5=a5+1+4a4b+4+6a3b2+6+4a2b3+4+1ab4+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）解：∵a+18=a8+8a7×11+⋯+8a×17+18，
∴a项的系数是8×17=8；
故答案为：8；
（3）解：115=10+15
=105+5×104×1+10×103×12+10×102×13+5×10×14+15
=100000+50000+10000+1000+50+1
=161051．
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律．
21．(8分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）阅读理解：
若x满足(50−x)(x−40)=20，求(50−x)2+(x−40)2的值．
解：设50−x=a，x−40=b，
则(50−x)(x−40)=ab=20，a+b=(50−x)+(x−40)=10，
∴(50−x)2+(x−40)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×20=60．
解决问题
(1)若x满足(30−x)(x−10)=150，则(30−x)2+(x−10)2= ；
(2)若x满足(x−2022)2+(x−2020)2=204，求(x−2022)(x−2020)的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E，F是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
【答案】(1)100
(2)−100
(3)116
【分析】（1）根据题意设30−x=a，x−10=b，由已知可得(30−x)(x−10)=ab=150，即可得出a+b=(3−x)+(x−10)=20，则可得(30−x)2+(x−10)2=a2+b2=(a+b)2−2ab，代入计算即可得出答案；
（2）根据题意设x−2022=a，x−2020=b，由已知可得(x−2022)2+(x−2020)2=a2+b2=204，则可得a−b=(x−2022)−(x−2020)=−2，即(x−2022)(x−2020)=ab=12[(a−b)2−(a2+b2)]代入计算即可得出答案；
（3）根据题意CF=CD−DF=10−x，CE=BC−BE=6−x，设10−x=a，6−x=b，由长方形CEPF的面积为50平方单位可得(10−x)(6−x)=ab=50，则a−b=(10−x)−(6−x)=4，阴影部分面积由两个边长为10−x和6−x的正方形组成，即S阴=(10−x)2+(6−x)2=a2+b2=(a−b)2+2ab，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设30−x=a，x−10=b，
则(30−x)(x−10)=ab=150，a+b=(3−x)+(x−10)=20，
∴(30−x)2+(x−10)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×150=100；
故答案为：100；
（2）设x−2022=a，x−2020=b，
则(x−2022)2+(x−2020)2=a2+b2=204，a−b=(x−2022)−(x−2020)=−2，
∴(x−2022)(x−2020)=ab=12[(a2+b2)−(a−b)2]=12×[204−(−2)2]=100；
（3）∵CF=CD−DF=10−x，CE=BC−BE=6−x，
设10−x=a，6−x=b，
∴(10−x)(6−x)=ab=50，
a−b=(10−x)−(6−x)=4，
S阴=(10−x)2+(6−x)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=42+2×50=116，
∴图中阴影部分的面积为116平方单位．
故答案为：116．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
22．(8分)（2023春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）阅读并思考：
计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：47接近整十数50，50−47=3；
第二步：取50的一半25，25−3=22；
第三步：32=9
第四步：把第二、三步综合起来，472=25−3×100+32=2209．
(1)依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，50−49=1；
第二步：取50的一半25，25−1=24；
第三步：12=1
第四步：把第二、三步综合起来，492=___−___×100+___2=2401．
(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．
50−n2=___−___×100+___2．
(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．
(4)写出利用这个公式计算562=3136的过程．
(5)计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：6×6+1=42；
第二步：3×7=21；
第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．
写出上述过程所依据的计算公式_______________________．
(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．
【答案】(1)25，1，1
(2)25，n，n
(3)见详解
(4)见详解
(5)(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)
(6)见详解
【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可；
（2）根据（1）的规律书写公式即可；
（3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性；
（4）利用（2）中得到的公式求解即可；
（5）分析63×67的简单运算，书写计算公式即可；
（6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性．
【详解】（1）解：根据题意，计算49：
第一步：49接近整十数50，50−49=1；
第二步：取50的一半25，25−1=24；
第三步：12=1
第四步：把第二、三步综合起来，492=25−1×100+12=2401．
故答案为：25，1，1；
（2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下：
50−n2=25−n×100+n2．
故答案为：25，n，n；
（3）∵50−n2=n2−100n+2500，
25−n×100+n2=n2−100n+2500，
∴公式50−n2=25−n×100+n2正确；
（4）562=(25+6)×100+62
=31×100+36
=3136；
（5）计算63×67的口算方法，具体步骤如下：
第一步：6×6+1=42；
第二步：3×7=21；
第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．
结合上述计算过程，可书写计算公式为(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)．
故答案为：(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)；
（6）∵(10a+b)[10a+(10−b)]
=100a2−10ab+100a+10ab−b2+10b
=100a2+100a+10b−b2，
又∵a(a+1)×100+b(10−b)
=(a2+a)×100+(10b−b2)
=100a2+100a+10b−b2，
∴公式(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)是正确的．
【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键．
23．(8分)（2023春·北京昌平·八年级统考期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设abc表示一个三位数，
则abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c =911a+b+a+b+c
因为911a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc就能被3整除．
(1)①一个四位数abcd，如果a+b+c+d能被9整除，证明abcd能被9整除；
②若一个五位数2e3e2能被9整除，则e=______；
(2)若一个三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，则xyz的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数mnp6q47s9，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数mn能被2整除，前三位组成的三位数mnp能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)3
(3)381654729
【分析】（1）①首先把四位数abcd改写成9111a+11b+c+a+b+c+d，由9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成9×2255+112e+7+2e，然后根据这个五位数能被9整除得7+2e能被9整除，即可求得答案；
（2）假设x=k，y=k+1，z=k+2，则三位数xyz=337k+4，据此可得出答案；
（3）由m能被1整除，可得m为质数，由四位数mnp6能被4整除，可得两位数p6能被4整除，则p=1，3，5，7，9，由九位数mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，由五位数mnp6q能被5整除，可得末尾数字q=5，从而得到p=1，3，由八位数mnp6q47s能被8整除，可得三位数47s能被8整除，从而得到s=2，从而得到m，n，p对应1，3，8，由m为质数可得m=3，由mn能被2整除可得n=8，从而得到p=1，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：∵abcd是一个四位数，
∴abcd=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9111a+11b+c+a+b+c+d
∵ 9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，
∴四位数abcd能被9整除；
②解：∵ 2e3e2是一个五位数，
∴2e3e2=20000+1000e+300+10e+2
=20302+1010e
=9×2255+7+9×112e+2e
=9×2255+112e+7+2e，
∵五位数2e3e2能被9整除，
∴7+2e能被9整除，
∴e=1，
故答案为：1；
（2）解：∵三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，
∴不妨假设x=k，y=k+1，z=k+2，
∴xyz=100x+10y+z=100k+10k+10+k+2=111k+12=337k+4，
∴三位数xyz的最小正因数一定是3，
故答案为：3；
（3）解：∵ m，n，p，q，s均为0至9之间的整数
∴由m能被1整除，可得m为质数，
由四位数mnp6能被4整除，可得两位数p6能被4整除，则p=1，3，5，7，9，
由九位数mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，
由五位数mnp6q能被5整除，可得末尾数字q=5，从而得到p=1，3，
由八位数mnp6q47s能被8整除，可得三位数47s能被8整除，从而得到s=2，
∴这时的九位数为：mnp654729，
∴m，n，p对应1，3，8，
∵m为质数，
∴m=3，
∵两位数mn能被2整除，且m=3，
∴n=8，
∴p=1，
∴这个九位数时：381654729，
故答案为：381654729．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．
a+b1=a+b a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a+b1=a+b a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4