人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课时作业

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课时作业，共80页。

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\l "_Tc19498" 【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】 PAGEREF _Tc19498 \h 1
\l "_Tc14609" 【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】 PAGEREF _Tc14609 \h 2
\l "_Tc25197" 【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc25197 \h 4
\l "_Tc25426" 【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】 PAGEREF _Tc25426 \h 5
\l "_Tc16930" 【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】 PAGEREF _Tc16930 \h 8
\l "_Tc14312" 【题型6 全等三角形的动态问题】 PAGEREF _Tc14312 \h 10
\l "_Tc15333" 【题型7 全等三角形与坐标系的综合运用】 PAGEREF _Tc15333 \h 12
\l "_Tc27702" 【题型8 全等三角形中的多结论问题】 PAGEREF _Tc27702 \h 14
【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】
【例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD=BE，连接CD，CE，若AC=2，则CD+CE的最小值为 ．
【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是 ．
【变式1-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则CM+MN的最小值为 ．
【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
【例2】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）回答问题
（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 ；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【变式2-1】（2023春·上海·七年级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
【变式2-2】（2023春·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【变式2-3】（2023春·上海静安·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分线，过点A作DA的垂线交BC延长线于点M，若BM=BA+AC，则∠ABC的度数是

【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，BC=10，AC−AB=5，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为 ．

【变式3-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．

【变式3-2】（2023春·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，则S4= ．
【变式3-3】（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，若2AC=7CM，则S△ADBS△AEM的值为 ．

【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ．
【变式4-1】（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【变式4-2】（2023春·山西·八年级统考阶段练习）综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点D在ΔABC的边BC的延长线上，过点D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交线段BC于点F．

实践操作
（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；
探究发现
（2）勤奋小组在作出图形后，发现AC//EF，AC=EF，请说明理由；
探究应用
（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得DF=5，CF=1，求线段BD的长．
【变式4-3】（2023春·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
【例5】（2023春·广东广州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
(1)如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ ．
(2)如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
(3)如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
【变式5-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，点E为AC中点，AD与BE相交于点F．
(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度数；
(2)如图1，若AB=10，求线段BE的长的取值范围；
(3)如图2，过点B作BH⊥AD交AD延长线于点H，设△BFH，△AEF的面积分别为S1，S2，若AB−AC=4，试求S1−S2的最大值．
【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；
(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·八年级统考期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4CD，
∴AE+BE+CE+ED>AB+CD，
即AD+BC>AB+CD；
（2）证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠EOP=∠FOP，
在△OEP和△OFP中，
OE=OF∠EOP=∠FOPOP=OP，
∴△OEP≌△OFP(SAS)，
∴PE=PF；
（3）证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE交BP于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAP=∠CAP，
在△APE和△APC中，
AE=AC∠EAP=∠CAPAP=AP，
∴△APE≌△APC(SAS)，
∴PE=PC，
同理可证DE=DC，
∵EF+PF>EP，BF+FD>BD，
∴EF+PF+BF+FD>EP+BD，
即PB+DE>EP+BD，
∴PB+CD>PC+BD，
∴PB−PC>BD−CD．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·八年级统考期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4