数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程测试题

这是一份数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程测试题，共34页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11403" 【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc11403 \h 1
\l "_Tc15902" 【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc15902 \h 2
\l "_Tc25765" 【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc25765 \h 2
\l "_Tc23742" 【题型4 证明一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc23742 \h 3
\l "_Tc30999" 【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc30999 \h 3
\l "_Tc32524" 【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】 PAGEREF _Tc32524 \h 3
\l "_Tc24926" 【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】 PAGEREF _Tc24926 \h 4
\l "_Tc3653" 【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc3653 \h 4
\l "_Tc15020" 【题型9 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc15020 \h 5
\l "_Tc20500" 【题型10 一元二次方程中的多结论问题】 PAGEREF _Tc20500 \h 6
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−2x=0B．x2+4x−4=0C．x−22−3=0D．3x2+2=0
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
(2)当c+1=14b2时，请判别方程根的情况．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法不正确的是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
D．若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<0且m≠−1B．m≥0
C．m≤0且m≠−1D．m<0
【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．8
【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则m= ．
【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程k−1x2−x+14=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2B．k≤2且k≠1C．k>2D．k<2且k≠1
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】
【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程x−1x−2−m2=0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3mx+2m2+m−1=0．
(1)当m=2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是 ．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2−xy−yz−zx=27，则y−z的最大值为 .
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】
【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3m+2x+2m2+2m=0．
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2−k+2x+2k=0．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】
【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−k−3x+k−5=0．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．
【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)若AC的长为1，求m的值；
(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．
【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）求正方形的面积．
【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，并且使得关于y的分式 方程3−ay3−y+1=2yy−3有整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+2a−1x+a=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组x−2y=3m−n,xy=n2−2m2+3n+4对每一个实数n都有实数解，那么正整数m的值为 ．
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
C．《n+1，2n，n−1》D．《m,m,m+1m》
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程6△x=k有两个相等实数根，则k的值为 .
【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤−94B．k≤−94且k≠0
C．k≥−94D．k≥−94且k≠0
【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0称为“全整根方程”，代数式4ac−b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac−b24a；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0p≠0也为“全整根方程”，其“最值码”记为Qp,q,r，当满足Qa,b,c−Qp,q,r=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是一元二次方程px2+qx+r=0p≠0的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0（m为整数、且4(3)若关于x的一元二次方程x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1x−n=0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m−n的值．
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】
【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） ，下列说法：
①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一个根为x=2；
②当（a+c）2≤b2 （时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−6ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是 （填序号）
【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法正确的有（ ）
①若ac＞0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=2ax0+b2．
A．1个B．2 个C．3个D．4 个
【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax0−b)2
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
专题21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
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\l "_Tc11403" 【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc11403 \h 1
\l "_Tc15902" 【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc15902 \h 3
\l "_Tc25765" 【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc25765 \h 5
\l "_Tc23742" 【题型4 证明一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc23742 \h 7
\l "_Tc30999" 【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc30999 \h 9
\l "_Tc32524" 【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】 PAGEREF _Tc32524 \h 12
\l "_Tc24926" 【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】 PAGEREF _Tc24926 \h 15
\l "_Tc3653" 【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc3653 \h 18
\l "_Tc15020" 【题型9 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc15020 \h 20
\l "_Tc20500" 【题型10 一元二次方程中的多结论问题】 PAGEREF _Tc20500 \h 24
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ>0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由△Δ=(−3)2−4×1×(−2)=17>0，
∴一元二次方程x2−3x−2=0有两个不相等的实数根．
故选：A
【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵Δ=b2−4ac=0−4×1×−4=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C
【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．
【答案】选②，方程的解为x1=−2，x2=−3；选③，方程的解为x1=6−2，x2=−6−2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ>0．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．
【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac
∴②③均可，
当选②解方程时：
x2+5x+6=0，
x+2x+3=0，
x+2=0或x+3=0，
∴x1=−2，x2=−3；
当选③解方程时：
x2+4x−2=0，
x2+4x+4=2+4，
x+22=6，
x+2=±6，
∴x1=6−2，x2=−6−2．
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−2x=0B．x2+4x−4=0C．x−22−3=0D．3x2+2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式Δ与实数根的情况之间的关系如下：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程无实数根．
【详解】解：A选项Δ=−22−4×1×0=4>0，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项Δ=16+16=32>0，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为：x2−4x+1=0，则Δ=16−4=12>0，则C选项有两个不等实数根，不符合题意；
D选项方程Δ=0−4×3×2=−24<0，则D选项没有实数根，符合题意．
故选：D．
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况．
【详解】解：关于x的方程x2+(k−2)x−k=0，
∵a=1，b=k−2，c=−k，
∴b2−4ac=(k−2)2−4×1×(−k)=k2+4>0，
所以关于x的一元二次方程x2+(k−2)x−k=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
(2)当c+1=14b2时，请判别方程根的情况．
【答案】(1)c=−3，方程另外一个根为x=1
(2)原方程有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，
（1）将b=2和方程的一个根为−3代入方程求出c值，再解方程即可；
（2）根据c+1=14b2判断出Δ的取值范围，进而进行判断即可；
熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）∵b=2时，若方程的一个根为−3，
∴−32+2×−3+c=0解得：c=−3，
∴得到方程为x2+2x−3=0，解得x1=−3或x2=1，
∴c=−3，方程另外一个根为x=1；
（2）∵c+1=14b2，
∴c=14b2−1
∴Δ=b2−4c=b2−414b2−1=b2−b2+4=4>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵x2+4x−7=0，
∴a=1,b=4,c=−7，Δ=b2−4ac=16−4×1×−7=16+28=44>0，
故选：D．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法不正确的是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
D．若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、将x=−1代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)可得：a−b+c=0，
∴本选项说法正确，不符合题意；
B、若c=0，则方程为ax2+bx=0，
∴Δ=b2−4ac=b2≥0，
∴程ax2+bx+c=0必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
C、∵ac＜0，
∴Δ=b2−4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
D、∵方程ax2+bx+c=0中，a+c=0，
∵Δ=b2−4ac=b2+4a2>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：B．
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<0且m≠−1B．m≥0
C．m≤0且m≠−1D．m<0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．由关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0两个不相等的实数根，可得Δ>0且m+1≠0，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4m+1>0，
解得：m<0，
∵m+1≠0，
∴m≠−1，
∴m的取值范围是：m<0且m≠−1．
故选：A．
【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即Δ=b2−4ac=0，代入数值计算求解即可．
【详解】解：∵该方程有两个相等实根，
∴Δ=−42−4c=0，
解得c=4；
故答案为：C．
【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则m= ．
【答案】−1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式为Δ=b2−4ac是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，
∴Δ=b2−4ac=42−4×2m=24，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程k−1x2−x+14=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2B．k≤2且k≠1C．k>2D．k<2且k≠1
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程k−1x2−x+14=0有两个不相等的实根，
∴k−1≠0△=−12−4×14k−1>0 ，
解得：k<2且k≠1．
故选：D．
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】
【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程x−1x−2−m2=0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．根据根的判别式得出 Δ=−32−42−m2=4m2+1，然后说明Δ>0即可．
【详解】证明：由x−1x−2−m2=0得x2−3x+2−m2=0，
则 Δ=−32−42−m2=4m2+1，
∵无论m取何值，都有m2≥0，
∴4m2+1≥1>0，即Δ>0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m>3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）根据Δ=m2−4m−1=m2−4m+4=m−22≥0，证明即可；
（2）由x2+mx+m−1=0，可得x+m−1x+1=0，解得，x=1−m或x=−1，由方程的一个根小于−2，可得1−m<−2，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵x2+mx+m−1=0，
∴Δ=m2−4m−1=m2−4m+4=m−22≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2+mx+m−1=0，
∴x+m−1x+1=0，
解得，x=1−m或x=−1，
∵方程的一个根小于−2，
∴1−m<−2，
解得，m>3．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3mx+2m2+m−1=0．
(1)当m=2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【答案】(1)x1=x2=3
(2)有两个实数根，理由见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．
（1）当m=2时，原方程为x2−6x+9=0，即x−32=0，再直接解方程即可；
（2）根据方程可求出Δ=−3m2−4×1×2m2+m−1=m−22≥0，即可得出原方程有两个实数根．
【详解】（1）解：当m=2时，原方程为x2−3×2x+2×22+2−1=0，即为x2−6x+9=0，
∴x−32=0，
∴x1=x2=3；
（2）解：由题意可知a=1，b=−3m，c=2m2+m−1，
∴Δ=b2−4ac=−3m2−4×1×2m2+m−1=m−22≥0，
∴原方程有两个实数根．
【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．
（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）利用因式分解法可得x1=m,x2=3m，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得3m2=12，计算即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵a=1,b=−4m,c=3m2，
∴Δ=b2−4ac=(−4m)2−4×1×3m2=4m2，
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2−4mx+3m2=0，即：x−mx−3m=0，
∴x1=m,x2=3m，
∵该方程的两个实数根的积为12
∴3m2=12，
∴m=±2，
∵m>0，
∴m=2．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是 ．
【答案】−8≤a<0
【分析】由实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0得到关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0，由根的判别式Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0，得到不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，
∴关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0中，
Δ=−2a2−4×2aa+4=−4a2−32a≥0且2a≠0，
即aa+8≤0且a≠0，
∴a>0a+8≤0或a<0a+8≥0，
解得−8≤a<0，
即a的取值范围是−8≤a<0．
故答案为：−8≤a<0
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0得到不等式组是解题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由原式得，P=2m2−3．将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，根据方程有实数解，所以Δ=m2−4m2−3≥0，可得m2≤4，进而得出结论．
【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则P=2m2−3．
要求P的最大值，只需求出m2的最大值．
将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，整理得：n2−mn+m2−3=0．
根据方程有实数解，所以Δ=m2−4m2−3≥0．
可得m2≤4，即m2的最大值为4．
所以当m2=4时，P的最大值为5．
故选：C
【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2−2t=3m代入代数式，进而即可求解．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，
∴△=b2−4ac=4−12m≥0，
解得：m≤3，
设此方程的一个实数根为t，
∴t2−2t=−3m
∴ y=t2−2t+4m+1
=−3m+4m+1
=m+1
∵m≤3
∴m+1≤4 即y≤4
故答案为：y≤4．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2−xy−yz−zx=27，则y−z的最大值为 .
【答案】6
【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令x−y=ay−z=b，将完全平方式转化为一个只含a和b的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可.
【详解】x2+y2+z2−xy−yz−zx=27
两边同乘以2得：2(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=54
整理得：(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2=54①
令x−y=ay−z=b，则x−z=a+b
代入①得：a2+b2+(a+b)2=54
化简得：a2+ba+b2−27=0
由题意可知，关于a的一元二次方程a2+ba+b2−27=0有实数根
则方程的根的判别式Δ=b2−4(b2−27)≥0
解得：b≤6，即y−z≤6
所以y−z的最大值为6
故答案为：6.
【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键.
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】
【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3m+2x+2m2+2m=0．
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m的值为12
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用因式分解法求出方程的两根，x1=m，x2=2m+2，再根据等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】（1）解：Δ=−3m+22−4×1×2m2+2m
=9m2+12m+4−8m2−8m
=m2+4m+4
=m+22≥0，
∴无论m取何值时，这个方程总有实数根．
（2）解：x2−3m+2x+2m2+2m=0
x−mx−2m−2=0
∴x1=m，x2=2m+2，
当m=3时，三边为3，3，8（舍），
当2m+2=3时， m=12，三边为12，3，3，
∴m的值为12．
【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，可得△=−2c2−4a2+b2=0，整理得c2=a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，
∴△=−2c2−4a2+b2=0，整理得c2=a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2−k+2x+2k=0．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2−k+2x+2k=0的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，Δ=−k+22−8k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=k−22≥0，
∴无论k为任意实数值方程，总有实数根；
（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2−k+2x+2k=0的一个根，
∴1−k+2+2k=0，
∴k=1，
∴原方程为x2−3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴底边长为2，
∵1+1=2，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，
∴Δ=k−22=0，
∴k=2，
∴原方程为x2−4x+4=0，
解得x1=x2=2，
∵1+2>2，
∴此时能构成三角形，
∴△ABC的周长为2+2+1=5．
【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
【答案】（1）见详解；（2）k的值为2或102．
【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定a=1，b=−2k+1，c=2k，再计算Δ=b2−4ac=2k−12≥0即可；
（2）将方程因式分解得x−2kx−1=0，得出方程的解x1=2k，x2=1，然后分两种情况2k＜3与2k＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
∴a=1，b=−2k+1，c=2k，
∴Δ=b2−4ac=-2k+12−4×1×2k=4k2−4k+1=2k−12≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）将方程因式分解得x−2kx−1=0，
解得x1=2k，x2=1，
∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形，
∴当2k＜3时，则12+2k2=32，解得k=2，k=−2(舍去)；
当2k＞3时，则12+32=2k2，解得k=102，k=−102(舍去)；
以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为2或102．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】
【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−k−3x+k−5=0．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)S菱形ABCD=3
【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；
（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；
此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）证明：Δ=−k−32−4×1×k−5=k2−10k+29=k−52+4，
∴Δ>0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k=11时，原方程为x2−8x+6=0，
a=1,b=−8,c=6，
Δ=−82−4×1×6=40，
∴x=8±402=4±10，
∴x1=4+10,x2=4−10,
∴S菱形ABCD=12×(4+10)×(4−10)=3
【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)若AC的长为1，求m的值；
(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．
【答案】(1)m=32
(2)1
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．
（1）将x=1代入方程，求出m的值即可；
（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根，
∴当AC的长为1时，12−m+m2−14=0，
解得：m=32；
（2）∵▱ABCD的两对角线AC，BD，
∴当AC=BD时，▱ABCD是矩形，
∴方程x2−mx+m2−14=0有两个相等的实数根，
∴Δ=m2−4m2−14=0，
解得m1=m2=1，即m的值为1．
【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）求正方形的面积．
【答案】（1）2；（2）12．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC=BD，再利用一元二次方程根的判别式即可得；
（2）先解一元二次方程可得AC=BD=1，再利用正方形的面积公式即可得．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AC=BD，
由题意得：关于x的方程x2−mx+m2=0的根的判别式等于0，
即m2−2m=0，
解得m1=2,m2=0，
∵AC=BD>0，
∴m2=0舍去，
故m的值为2；
（2）由（1）得：方程为x2−2x+1=0，
解得x1=x2=1，
∴AC=BD=1，
则正方形的面积为12AC⋅BD=12×1×1=12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
【答案】a2+b2≥10ab
【分析】因为矩形的长和宽分别为a、b，所以其周长和面积分别为2(a+b)和ab，设所求矩形的长为x，则宽为13(a+b)-x，其面积为x[13(a+b)-x]，根据题意得：x[13(a+b)-x]=13ab，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．
【详解】解：设所求矩形的长为x，则宽为13(a+b)-x，其面积为x[13(a+b)-x]，
根据题意得：x[13(a+b)-x]=13ab，
即x2-13a+bx+13ab=0 ，
∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一
∴方程有解，
∴△=13(a+b)2−4×13ab
=19a2+29ab+19b2-43ab
=19a2-109ab+19b2≥0
∴a2-10ab+b2≥0
∴a2+b2≥10ab
故答案为：a2+b2≥10ab．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，并且使得关于y的分式 方程3−ay3−y+1=2yy−3有整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】对于关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=6a−1，而y≠3，则6a−1≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a的个数．
【详解】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，
∴a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2-4（a-2）≥0，
∴−32≤a≤112且a≠2，
∴整数a为：-1，0，1，3，4，5；
去分母得3-ay+3-y=-2y，
解得y=6a−1，
而y≠3，则6a−1≠3，解得a≠3，
当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，
∴符合条件的所有a的个数是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，
∴1−ab=5
∴一次函数解析式为：y=5x+2，
故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+2a−1x+a=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到3≤a<4，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定Δ<0即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．
【详解】解：x−a>0①12x−3<1②
由①得x>a；
由②得x<8；
∵不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，
∴ 3≤a<4；
∵关于x的方程ax2+2a−1x+a=0中，Δ=2a−12−4a2=−4a+1，
∴−15<Δ≤−11，即Δ<0，
∴关于x的方程ax2+2a−1x+a=0无实数根，
故选：C．
【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组x−2y=3m−n,xy=n2−2m2+3n+4对每一个实数n都有实数解，那么正整数m的值为 ．
【答案】1，2
【分析】本题考查了整体思路解一元二次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想．先将二元二次方程组整理成一元二次方程，由于方程存在实根得到3n−m+42−8m2−8m−16≥0，−1≤m≤2，即可解答．
【详解】解：由题意可知，得2y2+3m−ny−n2−2m2+3n+4=0，
Δ=3m−n2+8n2−2m2+3n+4≥0，
即3n−m+42−8m2−8m−16≥0，
∵对每一个实数n都有实数解，
∴m2−m−2≤0，
解得：−1≤m≤2，
其中m的正整数解为1，2．
故答案为：1，2．
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
C．《n+1，2n，n−1》D．《m,m,m+1m》
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解．
【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为3x2+2x+1=0
∵Δ=b2−4ac=22−4×3×1=−8<0，
∴3x2+2x+1=0没有实数根，故该选项不符合题意；
B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为3x2+4x+5=0
∵Δ=b2−4ac=42−4×3×5=−44<0，
∴3x2+4x+5=0没有实数根，故该选项不符合题意；
C.当“共同体数”为《n+1，2n，n−1》时，一元二次方程为n+1x2+2nx+n−1=0
∵Δ=b2−4ac=4n2−4×n+1n−1=4>0，
∴n+1x2+2nx+n−1=0 3x2+2x+1=0有两个不相等实数根，故该选项符合题意；
D.当“共同体数”为《m,m,m+1m》时，一元二次方程为mx2+mx+m+1m=0
∵Δ=b2−4ac=m2−4×m×m+1m=−3m2−4<0，
∴mx2+mx+m+1m=0没有实数根，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程6△x=k有两个相等实数根，则k的值为 .
【答案】−9
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数有如下关系：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程无实数根．
【详解】解：由题可得：x2−6x−k=0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=36+4k=0，
解得k=−9，
故答案为：−9．
【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤−94B．k≤−94且k≠0
C．k≥−94D．k≥−94且k≠0
【答案】D
【分析】利用新定义得到kx2+3x−1=0，然后利用Δ≥0且k≠0可判断方程根的情况．
【详解】解：由新定义得kx2+3x−1=0，
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴ k≠0，
∵方程有实数根．
∵ Δ=32−4k×−1=9+4k≥0，
解得：k≥−94，
∴该方程有实数根时，k≥−94且k≠0
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0称为“全整根方程”，代数式4ac−b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac−b24a；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0p≠0也为“全整根方程”，其“最值码”记为Qp,q,r，当满足Qa,b,c−Qp,q,r=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是一元二次方程px2+qx+r=0p≠0的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0（m为整数、且4(3)若关于x的一元二次方程x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1x−n=0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m−n的值．
【答案】(1)−14
(2)方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0的“最值码”为−494；
(3)m−n=2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键．
（1）直接利用新定义Qa,b,c=4ac−b24a计算即可；
（2）通过m的取值范围确定根的判别式b2−4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“最值码”定义求解即可；
（3）依次求出方程x2+1−mx+m−2=0和x2+n−1x−n=0的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程−m2+6m−94−−n2−2n−14=m−2，结合m，n均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是
Qa,b,c=4ac−b24a=4×1×2−−324×1=−14；
（2）解：∵x2−2m−1x+m2−2m−3=0，
∴b2−4ac=−2m−12−4×1×m2−2m−3=4m+13，
∵4∴29<4m+13<73，
∵x2−2m−1x+m2−2m−3=0是“全整根方程”，
∴b2−4ac是完全平方数，
即4m+13是完全平方数，
∴4m+13=36或49或64，
解得m=234或9或514，
∵m为整数，
∴m=9，
当m=9时，方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0化为
x2−17x+60=0，
∴Qa,b,c=4ac−b24a=4×1×60−−1724×1=−494；
∴方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0的“最值码”为−494；
（3）解：方程x2+1−mx+m−2=0的“最值码”为
Qa,b,c=4×1×m−2−1−m24×1=−m2+6m−94，
方程x2+n−1x−n=0的“最值码”为
Qp,q,r=4×1×−n−n−124×1=−n2−2n−14，
∵x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1x−n=0的“全整根伴侣方程”，
∴Qa,b,c−Qp,q,r=c，
即−m2+6m−94−−n2−2n−14=m−2，
整理得，m2−n2−2m−2n=0，
∴m+nm−n−2m+n=0，
即m+nm−n−2=0，
∵m，n均为正整数，
∴m+n>0，
∴m−n−2=0，
∴m−n=2．
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】
【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=a，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．
【详解】解：∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根，
∴a2−ab+b−a=0，
整理得，a−1a−b=0
∵a>1，
∴a−1>0，
∴a−b=0，即b=a；
①Δ=b2−4×1×b−a=a2−4×1×a−a=a2>1，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵b=a，
∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；
③∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．且b=a，
∴b也是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） ，下列说法：
①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一个根为x=2；
②当（a+c）2≤b2 （时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−6ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是 （填序号）
【答案】②③④
【分析】根据x=−2时，得到4a−2b+c=0即可判断①；根据当(（a+c）2≤b2时，将b2=a+c2 代入得出判别式的符号，即判断②；根据若b2−5ac>0，即可得出Δ=b2−4ac>0，即可判断③；当x=1时，代入方程即可判断④．
【详解】①当x=−2时，则4a−2b+c=0，关于x的方程ac2+bc+c=0必有一个根为c=−2；故此选项错误；
②a+c2≤b2，当b2=a+c2时，Δ=b2−4ac=a+c2−4ac=a−c2≥0，∴当a+c2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根；故此选项正确；
③当b2−6ac>0时，b2≥0，b2>6ac ，Δ=b2−4ac>0，则方程ac2+bx+c=0一定有两个不相等实根，故此选项正确；
④当x=1时，代入ax2+bx+c=0(a≠0)得a+b+c=0，代入cx2+bx+a=0c≠0得c+b+a=0，ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）)有一个相同的根，那么这个根一定1．故此选项正确；
综上分析可得，正确的有：②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题综合考查了根的判别式与一元二次方程，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．
【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法正确的有（ ）
①若ac＞0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=2ax0+b2．
A．1个B．2 个C．3个D．4 个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式等式的性质对各项进行判断即可．
【详解】解：①ac＞0时，b2-4ac的值不确定正负，所以无法确定方程ax2+bx+c=0根的情况，故①不正确；
②当x=1时，a+b+c=0，即方程有两个相等的实数根或者两个不相等的实数根，此时b2-4ac≥0，故②正确；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=cac+b+1=0，当c≠0时，ac+b+1=0，当c=0时，ac+b+1不一定等于0，故③不正确；
④由b2-4ac=2ax0+b2=4a2x02+4abx0+b2，得ax02+bx0+c=0，由于x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c=0成立，故④正确，
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握根的判别式，等式的性质进行判定是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax0−b)2
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①根据根的判别式直接求解即可；
②根据一元二次方程的定义直接判断即可，需使二次项系数不为零才有两个实根；
③将根代入方程中，直接解方程即可；
④根据一元二次方程根的定义，将根直接代入方程求解即可．
【详解】①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=b2−4ac=−4ac>0，
则方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b2−4ac>0，因此必有两个不相等的实数根；故正确；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则Δ=b2−4ac>0，
则方程cx2+bx+a=0中，若c=0，则不是一元二次方程；故错误；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则ac2+bc+c=0，
c(ac+b+1)=0，则c=0或ac+b+1=0；故错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则ax02+bx0+c=0，
将b2−4ac=(2ax0−b)2化简为：ax02−bx0+c=0；故错误；
故选：A
【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即可．