初中22.1.1 二次函数练习

这是一份初中22.1.1 二次函数练习，共25页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3296" 【题型1 辨别二次函数】 PAGEREF _Tc3296 \h 1
\l "_Tc11873" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc11873 \h 2
\l "_Tc3238" 【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc3238 \h 2
\l "_Tc13482" 【题型4 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13482 \h 2
\l "_Tc4752" 【题型5 求二次函数的值】 PAGEREF _Tc4752 \h 3
\l "_Tc23484" 【题型6 判断函数关系】 PAGEREF _Tc23484 \h 3
\l "_Tc27028" 【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 PAGEREF _Tc27028 \h 4
\l "_Tc3621" 【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 PAGEREF _Tc3621 \h 5
\l "_Tc22421" 【题型9 列二次函数关系式(循环)】 PAGEREF _Tc22421 \h 6
\l "_Tc12685" 【题型10 列二次函数关系式(销售)】 PAGEREF _Tc12685 \h 6
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 辨别二次函数】
【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=2ax2B．y=2x+a2C．y=2x2−1D．y=x2+1x
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x−1B．y=x2−1C．y=x2−1D．y=12x
【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x−1)2+1；（2）y=1x2−x；（3）S=3−2t2；（4）y=x4+2x2−1；（5）y=3x2−x+3x2；（6）y=mx2+8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3−3x2；④y=2x2−2x+1；⑤y=1x2．其中是二次函数的是 ．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数y=m−1xm2+1是二次函数，则m= ．
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，则m= ．
【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数y=k−1xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k= ．
【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果y=k−3xk－1+x−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数y=k−1x2+kx−1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ．
【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数y=m2−mx2+m−1x−2（m为常数）．
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的二次函数y=a2−1x2+x−2，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≠−1C．a≠±1D．为任意实数
【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8．若这个函数是二次函数，求m的取值范围
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数y=x2−3x+5的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）把二次函数y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=(x−2)(5−2x)的二次项系数是 ．
【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 求二次函数的值】
【例5】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为 cm3．
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=116x2x>0，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．以上均不正确
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36xB．y=−6x2+36x
C．y=x2+36xD．y=6x2+36x
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm，宽22cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S=tB．S=12t2C．S=t2D．S=12t2−1
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】
【例8】（23-24九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y=40001−xB．y=40001−x2
C．y=80001−xD．y=80001−x2
【变式8-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.61+2xB．y=2.61−x2
C．y=2.61+x2D．y=2.6+2.61+x+2.61+x2
【变式8-2】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为 ．
【变式8-3】（23-24九年级上·全国·阶段练习）某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ．
【题型9 列二次函数关系式(循环)】
【例9】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【变式9-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为（ ）
A．m=12n(n+1)B．m=12n(n−1)C．m=12n2D．m=n(n−1)
【变式9-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 .
【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 ．
【题型10 列二次函数关系式(销售)】
【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件（7.5A．y=x−7.5500+xB．y=13.5−x500+200x
C．y=x−7.5500+200xD．以上答案都不对
【变式10-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）邮购一种图书，每册定价36元，另加书价的4%作为邮费，若购书x册，则付款y（元）与x（册）的函数解析式为（ ）
A．y=36x+4%xB．y=361+4%x
C．y=36.04xD．y=35.96x
【变式10-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w=x−30−2x+80B．w=x−2x+80
C．w=30−2x+80D．w=x−2x+50
【变式10-3】（23-24九年级上·黑龙江鹤岗·期末）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为
专题22.1 二次函数【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3296" 【题型1 辨别二次函数】 PAGEREF _Tc3296 \h 1
\l "_Tc11873" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc11873 \h 3
\l "_Tc3238" 【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc3238 \h 5
\l "_Tc13482" 【题型4 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13482 \h 6
\l "_Tc4752" 【题型5 求二次函数的值】 PAGEREF _Tc4752 \h 7
\l "_Tc23484" 【题型6 判断函数关系】 PAGEREF _Tc23484 \h 9
\l "_Tc27028" 【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 PAGEREF _Tc27028 \h 11
\l "_Tc3621" 【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 PAGEREF _Tc3621 \h 14
\l "_Tc22421" 【题型9 列二次函数关系式(循环)】 PAGEREF _Tc22421 \h 15
\l "_Tc12685" 【题型10 列二次函数关系式(销售)】 PAGEREF _Tc12685 \h 17
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 辨别二次函数】
【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=2ax2B．y=2x+a2C．y=2x2−1D．y=x2+1x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如y=ax2+bx+ca≠0的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A，当a=0时，y=2ax2=0，不是二次函数，不合题意；
B，y=2x+a2，y是x的一次函数，不合题意；
C，y=2x2−1，y一定是x的二次函数，符合题意；
D，y=x2+1x中含有分式，不是二次函数，不合题意；
故选C．
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x−1B．y=x2−1C．y=x2−1D．y=12x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数y=x2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数y=x2−1是二次函数，故本选项符合题意；
D、函数y=12x分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x−1)2+1；（2）y=1x2−x；（3）S=3−2t2；（4）y=x4+2x2−1；（5）y=3x2−x+3x2；（6）y=mx2+8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1）y=3(x−1)2+1是二次函数，故符合题意；
（2）y=1x2−x，不是二次函数，故不符合题意；
（3）S=3−2t2是二次函数，故符合题意；
（4）y=x4+2x2−1不是二次函数，故不符合题意；
（5）y=3x2−x+3x2=6x不是二次函数，故不符合题意；
（6）y=mx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3−3x2；④y=2x2−2x+1；⑤y=1x2．其中是二次函数的是 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：①y=5x−5为一次函数；
②y=3x2−1为二次函数；
③y=4x3−3x3自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2−2x+1为二次函数；
⑤y= 1x2函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数y=m−1xm2+1是二次函数，则m= ．
【答案】−1
【分析】根据定义得：形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，且a≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．
【详解】解：依题意得：m2+1=2且m−1≠0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数y=ax2+bx+c中，a是常数，本题关键点为a≠0．
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，则m= ．
【答案】±2
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】解：∵y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，
∴m=2，
解得：m=±2．
故答案为：±2．
【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数y=k−1xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k= ．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到k−1≠0且k2−k+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．
【详解】解：根据题意，得k−1≠0且k2−k+2=2，
解得k=0．
故答案为：0．
【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果y=k−3xk－1+x−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【答案】敏敏
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得k−1=2，k−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．
【详解】解：∵ y=k−3xk－1+x−3是二次函数，
∴k−1=2，
解得k1=3，k2=−1，
又∵k−3≠0，
即k≠3，
∴k=−1，
故敏敏正确．
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数y=k−1x2+kx−1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ．
【答案】k≠1
【分析】根据：“形如y=ax2+bx+ca≠0，这样的函数叫做二次函数”，得到k−1≠0，即可．
【详解】解：由题意，得：k−1≠0，
∴k≠1；
故答案为：k≠1．
【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数y=m2−mx2+m−1x−2（m为常数）．
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】(1)m=0；
(2)m≠1且m≠0．
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：依题意m2−m=0且m−1≠0，
所以m=0；
（2）解：依题意m2−m≠0，
所以m≠1且m≠0．
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的二次函数y=a2−1x2+x−2，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≠−1C．a≠±1D．为任意实数
【答案】C
【分析】根据二次函数定义可得a2−1≠0，解出答案即可．
【详解】因为关于x的二次函数y=a2−1x2+x−2，
∴a2−1≠0，
解得：a≠±1．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数y=ax2+bx+ca≠0概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8．若这个函数是二次函数，求m的取值范围
【答案】m≠2且m≠-2
【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式m2-2≠0，解不等式即可求得．
【详解】解：∵函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8是二次函数，
∴m2-2≠0，
解得m≠±2，
故答案为：m≠2且m≠-2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数y=x2−3x+5的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【答案】 x2 −3 5
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
【详解】解：二次函数y=x2−3x+5的二次项是x2，一次项系数是−3，常数项是5，
故答案为：①x2，② −3，③ 5，
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）把二次函数y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为： ．
【答案】y=−8x2+20x+12
【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式．
【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12，
故答案为y=−8x2+20x+12.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=(x−2)(5−2x)的二次项系数是 ．
【答案】−2
【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．
【详解】解：y=(x−2)(5−2x)=5x−2x2+10+4x，
=−2x2++9x+10，
∴二次项系数是−2，
故答案为：−2．
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．
【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 求二次函数的值】
【例5】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为 cm3．
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将t=4代入解析式求值即可．
【详解】解：∵ V=18t2+104t>0，
当t=4°C时，V=18×42+104=106cm3，
∴水的体积为106cm3．
故答案为：106
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=116x2x>0，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
【答案】8
【分析】将y=4代入即可求解．
【详解】解：令y=4，则4=116x2，
解得：x=8（负值舍去）
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将y=4代入是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【答案】2
【分析】分析知，高h=20m有两种情况，一是在上升过程某一时刻高为20，或者是下降时高为20，把h代入关系式即可分别得到时间．
【详解】根据题意，把h=20代入关系式得：
20t−5t2−20=0,即(t−2)2=0，
解得t=2，
∴物体运动时间为2s；
故答案为2.
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征与物理运动问题的结合,进行准确的运算即可.
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在y=-110x2+35x+85中，令y=0得：
-110x2+35x+85=0，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【答案】二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得y=30+x20+x=x2+50x+600，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【答案】D
【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．
【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：c=2πr，故他们之间的关系是正比例函数关系；
B．三角形的高h一定时S=12lℎ，故他们之间的关系是正比例函数关系；
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：S=6a2，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．以上均不正确
【答案】C
【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．
【详解】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到y=−12πx+14a，再根据S阴影=S正方形−S圆得到S=y2−πx2=14π2−πx2−14πax+116a2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形ABCD和⊙O的周长之和为acm，圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，
∴4y+2πx=a，
∴y=−12πx+14a，
∵S阴影=S正方形−S圆，
∴S=y2−πx2=−12πx+14a2−πx2=14π2−πx2−14πax+116a2，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y=−12x2+10x
【分析】根据题意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出BH=EH=CG=GF，进而根据矩形的面积即可求解．
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵四边形 EFGH 是 △ABC 的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
∴∠BEH=∠CFG=45°，
∴BH=EH=CG=GF．
∵BC=20，EF=x，
∴BC−HG=BC−EF=20−x，
∴BH=EH=CG=GF=12BC−HG=10−12x，
∴y=x10−12x=−12x2+10x．
故答案为：y=−12x2+10x．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36xB．y=−6x2+36x
C．y=x2+36xD．y=6x2+36x
【答案】D
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意直接列式即可作答．
【详解】根据题意有：y=6x+32−6×32=6x2+36x，
故选：D．
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm，宽22cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y=4x2−96x+5720【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出x的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
y=26−2x22−2x
展开得：
y=572−52x−44x+4x2
整理得：
y=4x2−96x+572
根据题意，得
x>026−2x>0;22−2x>0
解得：0∴y与x之间的函数关系式为y=4x2−96x+5720故答案为：y=4x2−96x+5720【变式7-3】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S=tB．S=12t2C．S=t2D．S=12t2−1
【答案】B
【分析】Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，可得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A=45°，即∠COD=∠OCD=45°，进而证明CD=OD=t，最后根据三角形的面积公式，求出S与t之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A=45°，
∴∠COD=∠OCD=45°，
∴CD=OD=t，
∴S△OCD=12OD×CD
=12t20即：S=12t20故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】
【例8】（23-24九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y=40001−xB．y=40001−x2
C．y=80001−xD．y=80001−x2
【答案】B
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1−每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y=40001−x2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.61+2xB．y=2.61−x2
C．y=2.61+x2D．y=2.6+2.61+x+2.61+x2
【答案】C
【分析】第二季度GDP总值为2.61+x，第三季度为2.61+x2，得解；
【详解】解：第三季度GDP总值为y=2.61+x(1+x)=2.6(1+x)2；
故选：C
【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为 ．
【答案】y=16x2−32x+16
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为：
y=161−x2=16x2−32x+16，
即y=16x2−32x+16．
故答案为：y=16x2−32x+16．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级上·全国·阶段练习）某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ．
【答案】y=2x2+6x+4
【分析】由已知可得今年投资是2（x+1）万元，明年投资是2（1+x）2万元；故y=2（x+1）+2（1+x）2．
【详解】解：依题意可得y=2（x+1）+2（1+x）2=2x2+6x+4
故答案为y=2x2+6x+4．
【点睛】本题考核知识点：列二次函数，解题关键点：理解题意列出函数关系式．
【题型9 列二次函数关系式(循环)】
【例9】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【答案】m=12n2−12n
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的n−1球队个打一场，因此要打nn−1场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得m=n(n−1)2=12n2−12n，
故答案为： m=12n2−12n．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为（ ）
A．m=12n(n+1)B．m=12n(n−1)C．m=12n2D．m=n(n−1)
【答案】D
【分析】一共有n名同学，由于每两名同学之间互发一次信息，那么每一名同学都需给（n-1）名同学发一次信息，进而得出总次即可．
【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，
∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为：m=n(n−1).
故答案选：D.
【点睛】本题考查了二次函数关系式，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式.
【变式9-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 .
【答案】y=x2+2x+1
【详解】试题解析：第一轮流感后的人数为1+x,
第二轮流感后的人数为1+x+x(x+1)=x2+2x+1.
∴y=x2+2x+1.
y与x之间的函数关系式为:y=x2+2x+1.
故答案为y=x2+2x+1.
【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 ．
【答案】y=x2−x
【分析】根据题意找到比赛场数与球队数量的关系即可．
【详解】解：每个球队和剩下的x−1个球队比赛，每两个球队之间进行两场比赛，
∴y=xx−1=x2−x．
故答案为：y=x2−x．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是求解本题的关键．
【题型10 列二次函数关系式(销售)】
【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件（7.5A．y=x−7.5500+xB．y=13.5−x500+200x
C．y=x−7.5500+200xD．以上答案都不对
【答案】D
【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为(x−7.5)元，销售量为[500+200×(13.5−x)]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得w=(x−7.5)×[500+200×(13.5−x)]，
故选：D．
【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）邮购一种图书，每册定价36元，另加书价的4%作为邮费，若购书x册，则付款y（元）与x（册）的函数解析式为（ ）
A．y=36x+4%xB．y=361+4%x
C．y=36.04xD．y=35.96x
【答案】B
【分析】根据题意可得购买一册书需要花费（36+36×4%）元，根据此关系式可得出购书x册与需付款y（元）与x的函数解析式．
【详解】由题意得;购买一册书需要花费（36+36×4%）元
∴购买x册数需花费x（36+36×4%）元
即：y=x（36+36×4%）=36(1+4%)x
故选B.
【点睛】本题考查函数关系式，解题关键是根据题意得出购买一册书需要花费（36+36×4%）元.
【变式10-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w=x−30−2x+80B．w=x−2x+80
C．w=30−2x+80D．w=x−2x+50
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，w=x−30y，
即w=x−30−2x+80，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级上·黑龙江鹤岗·期末）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为
【答案】y=-10x²+1400x-40000
【分析】根据总利润＝每千克利润×销售量，可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
【详解】解：由题意可得，
y＝（x−40）[500−10（x−50）]＝−10x2＋1400x−40000，
即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝−10x2＋1400x−40000．
故答案为：y＝−10x2＋1400x−40000．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．解题的关键是表示出每千克利润与销售量．