数学八年级上册12.2 三角形全等的判定当堂检测题

这是一份数学八年级上册12.2 三角形全等的判定当堂检测题，共53页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4515" 【题型1 添加条件使三角形全等】 PAGEREF _Tc4515 \h 1
\l "_Tc20754" 【题型2 确定全等三角形的对数】 PAGEREF _Tc20754 \h 2
\l "_Tc22480" 【题型3 网格中确定全等三角形】 PAGEREF _Tc22480 \h 3
\l "_Tc9960" 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 PAGEREF _Tc9960 \h 5
\l "_Tc14424" 【题型5 多次证全等求解或证明结论】 PAGEREF _Tc14424 \h 6
\l "_Tc19920" 【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】 PAGEREF _Tc19920 \h 7
\l "_Tc7750" 【题型7 全等三角形的动态问题】 PAGEREF _Tc7750 \h 9
\l "_Tc28599" 【题型8 全等三角形的应用】 PAGEREF _Tc28599 \h 10
知识点：全等三角形的判定
判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
【题型1 添加条件使三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．∠A=∠DCEB．AB∥DEC．BC=DED．AB=CD
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'，有下列条件：①AB=A'B'；②BC=B'C'；③AC=A'C'；④∠A=∠A'；⑤∠B=∠B'．请你从中选择两个条件： ，使△ABC≌△A'B'C'，你判断它们全等的根据是 ．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【题型2 确定全等三角形的对数】
【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD相交于点O，连接OC，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．21B．11C．6D．42
【题型3 网格中确定全等三角形】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC（不含△ABC）全等的格点三角形共有（ ）个
A．4B．5C．8D．7
【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与△ABC重合）最多可以画出 个．
【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 个；
（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．
【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形．
(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；
(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；
(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】
【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图， AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．

以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=60°B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30°D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°
【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程
已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．
求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
因为EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
所以△AEB≌△AEC………………第一步
所以∠BAE=∠CAE………………第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由．
【题型5 多次证全等求解或证明结论】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S△ABG：S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．
【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知：如图，AB=AC，BD=CE，CD与BE相交于点O，连接OA．
证明：
(1)OC=OB；
(2)OA平分∠CAB．
【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）如图，已知，AD⊥BD于点D，CB⊥BD于点B，AB=CD．
(1)求证：AD=CB；
(2)连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE=30°．
(1)求证：AE=BD．
(2)如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点．
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，AD是△ABC的角平分线．
(1)若AB=AC+CD，求证：∠ACB=2∠B；
(2)当∠ACB=2∠B时，AC+CD与AB的数量关系如何？说说你的理由．
【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC
(1)如图1，若∠BAC=40°，且BF=BE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若DE=AC，求证：AB=BF+EF．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆·期末）在△ABC中，∠ACB和∠CAB的角平分线CE、AD相交于点G．
(1)若∠B=50°，求∠AGC的度数；
(2)延长CE至点N，过点N作BC的平行线NM交AB于点M，若EG=EM，求证：AC=AE+EN．
【题型7 全等三角形的动态问题】
【例7】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．

(1)用含t的代数式表示PC的长度．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【变式7-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
【变式7-2】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，延长BC到点E，使CE=1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，AD为高线，AC=18．点E为AC上一点，CE=12AE，连接BE，交AD于点O，若△BDO≌△ADC．

(1)猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
(2)若动点Q从点A出发沿射线AE以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒．
①当点Q在线段AE上时，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP与△FCQ全等时，请直接写出t的值．
【题型8 全等三角形的应用】
【例8】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【变式8-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
【变式8-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=10m，在乘坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC=5m，当船头从A处摆动到A'处时发现船头处在最高位置处，此时，A'B⊥AB．求点A'到地面的距离．
【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设A,B两点分别为茗阳阁底座的两端（其中A,B两点均在地面上）．因为A,B两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO,DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作BD⊥AB，在点D处用测角仪确定∠1=∠2，射线DC交直线AB于点C，最后测量BC的长即可得线段AB的长．
(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
专题12.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4515" 【题型1 添加条件使三角形全等】 PAGEREF _Tc4515 \h 2
\l "_Tc20754" 【题型2 确定全等三角形的对数】 PAGEREF _Tc20754 \h 5
\l "_Tc22480" 【题型3 网格中确定全等三角形】 PAGEREF _Tc22480 \h 8
\l "_Tc9960" 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 PAGEREF _Tc9960 \h 12
\l "_Tc14424" 【题型5 多次证全等求解或证明结论】 PAGEREF _Tc14424 \h 18
\l "_Tc19920" 【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】 PAGEREF _Tc19920 \h 24
\l "_Tc7750" 【题型7 全等三角形的动态问题】 PAGEREF _Tc7750 \h 31
\l "_Tc28599" 【题型8 全等三角形的应用】 PAGEREF _Tc28599 \h 37
知识点：全等三角形的判定
判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
【题型1 添加条件使三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．∠A=∠DCEB．AB∥DEC．BC=DED．AB=CD
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．将各个选项依次代入题目当中，再根据全等三角形的判定方法依次判断即可．一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS、SSS，注意没有SSA．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、若添加∠A=∠DCE，则可根据ASA证明△ABC≌△CDE，故A选项不符合题意；
B、若添加AB∥DE，则可得∠B=∠EDC，则可根据AAS证明△ABC≌△CDE，故B选项不符合题意；
C、若添加BC=DE，则可根据SAS证明△ABC≌△CDE，故C选项不符合题意；
D、若添加AB=CD，则成了SSA，不能证明△ABC≌△CDE，故D选项符合题意.
故选：D
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'，有下列条件：①AB=A'B'；②BC=B'C'；③AC=A'C'；④∠A=∠A'；⑤∠B=∠B'．请你从中选择两个条件： ，使△ABC≌△A'B'C'，你判断它们全等的根据是 ．
【答案】 ②③（答案不唯一） SAS
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【详解】解：∵∠C=∠C'，添加②BC=B'C'；③AC=A'C'；可利用SAS判定△ABC≌△A'B'C'；
添加③AC=A'C'；④∠A=∠A'，可利用ASA判定△ABC≌△A'B'C'；
添加⑤∠B=∠B'；③AC=A'C'，可利用AAS判定△ABC≌△A'B'C'；
故答案为：答案不唯一，如②③；SAS．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由∠1=∠2，可得∠BAD=∠CAE，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．
【详解】解：添加AB=AC，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
添加∠B=∠C，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ ∠B=∠C，AD=AE，
∴△ABD≌△ACEAAS，
添加∠ADB=∠E，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ ∠ADB=∠E，AD=AE，
∴△ABD≌△ACEASA，
故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【答案】（1）甲、丙；（2）见详解
【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【详解】（1）解：∵AB//DE，
∴∠B＝∠DEC，
又∵∠A=∠D，
∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）
∴说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
（2）选“甲”，理由如下：
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
∠A＝∠D∠B＝∠DEFAB＝DE
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【题型2 确定全等三角形的对数】
【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD相交于点O，连接OC，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题中条件，数形结合，利用两个三角形全等的判定定理逐个验证即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：①由∠ACB=∠ACB，AC=BC,CD=CE，根据SAS可得△ACD≌△BCE；
∴∠CAD=∠CBE
②由AC=BC,CD=CE可得AE=BD，
由△ACD≌△BCE可得∠CAD=∠CBE，则由∠CAD=∠CBE，∠AOE=∠BOD，AE=BD，根据AAS可得△AOE≌△BOD；
③由△AOE≌△BOD可得OD=OE，则由OD=OE，OC=OC,CD=CE，根据SSS可得△COE≌△COD；
④由△AOE≌△BOD可得OA=OB，则由OA=OB，AC=BC,CO=CO，根据SSS可得△ACO≌△BCO；
⑤由△ACD≌△BCE可得AD=BE；由AC=BC,CD=CE可得AE=BD；AB=AB；根据SSS可得△AEB≌△BDA；
综上所述，图中共有全等三角形5对，
故选：A．
【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】D
【分析】根据AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE=∠BAD，可证明△CAE≌△BAD，得出AD=AE，∠C=∠B，根据AAS可证明△DCO≌△EBO，得出CO=BO，利用SSS证得△ACO≌△ABO，利用HL证得△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的对数为4对．
【详解】解：由题意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4对三角形全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据全等三角形得判定定理，依次证明三角形全等，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，
∴△ABD≌△CDBASA，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS，
∴AE=CF，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在△ADE与△CBF中，
AD=CBDE=BFAE=CF
∴△ADE≌△CBFSSS，
同理可得△ABF≌△CDE，
△ADF≌CBE，
△AEF≌△CFE，
即6对全等三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据定理进行推论是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．21B．11C．6D．42
【答案】A
【分析】设第n个图形中有an(n为正整数）个全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“an=n(n+1)2(n为正整数）”，再代入n=6即可求出结论．
【详解】解：设第n个图形中有an(n为正整数）个全等三角形．
图(1)，在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴a1=1；
同理，可得：a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…，
∴an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(n为正整数），
∴a6=6×(6+1)2=21．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“an=n(n+1)2(n为正整数）”是解题的关键．
【题型3 网格中确定全等三角形】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC（不含△ABC）全等的格点三角形共有（ ）个
A．4B．5C．8D．7
【答案】D
【分析】
本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形，
所以共有8个全等三角形，除去△ABC外有7个与△ABC全等的三角形．即：
故选D．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与△ABC重合）最多可以画出 个．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以BC为公共边和以AB为公共边分别画出3个三角形，以AC为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
以BC为公共边可以画出△BDC、△BEC、△BFC三个三角形，
以AB为公共边可以画出△ABG、△ABM、△ABH三个三角形，
故可以画出6个，
故答案为：6．
【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 个；
（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．
【答案】 4 45°/45度
【分析】（1）观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形；
（2）由图可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，从而可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故答案为：4．
（2）由图可知△ABC≌△EDC，
∴∠1=∠3，
而∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠2=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形．
(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；
(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；
(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；
（2）如图②所示，△DEC即为所求；
（3）如图③所示，△AED即为所求，
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】
【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图， AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．

以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
【答案】见解析
【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键；
①根据垂线的知识可得∠D=∠C=90°，在结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接AB，根据直角三角形的HL，证明Rt△ABD≌Rt△BAC，即可得出结论；③连接AB，证明△AOD≌△BOC，可得S△AOD=S△BOC，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接DC，证明△AOD≌△BOC，得∠A=∠B，OD=OC，在利用AAS证明△ADC≌△BCD，得出结论．
【详解】小丽方法：
AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠D=∠C=90°．
∴在△AOD和△BOC中，
∠D=∠C∠AOD=∠BOCAD=BC
∴ △AOD≌△BOC AAS
∴ AO=BO，DO=CO．
∴ AO+CO=BO+DO，即BD=AC．
小颖方法：
连接AB．
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，，
∴ ∠D=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
AD=BCAB=BA
∴ Rt△ABD≌Rt△BAC HL．
∴ BD=AC．
小雨方法：
连接AB．
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠D=∠C=90°．
∴在△AOD和△BOC中，
∠D=∠C∠AOD=∠BOCAD=BC，
∴ △AOD≌△BOC AAS，
∴ S△AOD=S△BOC
∴ S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB．即S△ABD=S△ABC．
又∵ S△ABD=12AD⋅BD，S△ABC=12BC⋅AC，
∴ 12AD⋅BD=12BC⋅AC，
∵ AD=BC，
∴ BD=AC．

方法4：连接CD，

∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠ADO=∠BCO=90°．
∴在△AOD和△BOC中，
∠ADO=∠BCO∠AOD=∠BOCAD=BC
∴ △AOD≌△BOC AAS
∴∠A=∠B，OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴ ∠ADC=∠BCD
在△ADC和△BCD中，
∠ADC=∠BCD∠A=∠BAD=BC
∴ △ADC≌△BCD AAS，
∴AD=BC．
【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=60°B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30°D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°
【答案】D
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键．
根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断．
【详解】A．∠A=∠B=∠C=60°，
不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形；
B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm，
这里AB+AC=BC，不符合三角形三边关系，不能作出三角形；
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30°，
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形；
D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°，
两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形．
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键．
根据三角形判定方法判断即可解答．
【详解】解：甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，
∴甲和已知三角形不全等；
乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等，
∴根据SAS可判定乙和与△ABC全等；
丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，
∴根据AAS可判定丙和与△ABC全等．
故选：B．
【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程
已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．
求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
因为EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
所以△AEB≌△AEC………………第一步
所以∠BAE=∠CAE………………第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由．
【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得AB=AC，再根据“边边边”判定三角形全等即可；
（2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．”过点A作AD⊥BC于点D，过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'，先根据“角角边”证明△ACD≌△A'C'D'，得到AD=A'D'，再根据“HL”定理证明Rt△ABD≌Rt△A'B'D'，得到∠B=∠B'，最后由“ 角角边”即可证得结果．
【详解】（1）不正确；错在第一步．
证明：在△BEC中，∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC(SSS)，
∴∠BAE=∠CAE；
（2）全等．理由如下：
已知：如图，在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中，
AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'，
∴∠ADC=∠A'D'C'=∠ADB=∠A'D'B'=90°，
在△ACD和△A'C'D'中，
∵∠C=∠C'∠ADC=∠A'D'C'AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)，
∴AD=A'D'，
在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，
∵AB=A'B'AD=A'D'，
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL)，
∴∠B=∠B'，
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠C=∠C'∠B=∠B'AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)．
【题型5 多次证全等求解或证明结论】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S△ABG：S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)①证明见解析②6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.
（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；
（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用ASA证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CADAD=AD∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACDASA，
∴AB=AC；
（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠BAG=60°=∠CAD，
在△BAG和△CAE中，
∠BAG=∠CAEAB=AC∠ABG=∠ACE，
∴△BAG≌△CAEASA，
∴AG=AE，
在△FAG和△FAE中，
AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF，
∴△FAG≌△FAEASA，
∴∠AFG=∠AFC；
②过F作FK⊥AG于K，如图：

由①知：△BAG≌△CAE，
∵S△ABG:S△ACF=2:3，
∴S△CAE:S△ACF=2:3，
∴S△FAE:S△ACF=1:3，
由①知：△FAG≌△FAE，
∴S△FAG:S△ACF=1:3，
∴12AG⋅FK:12AC⋅FK=1:3，
∴AG:AC=1:3，
∵AG=2，
∴AC=6．
【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知：如图，AB=AC，BD=CE，CD与BE相交于点O，连接OA．
证明：
(1)OC=OB；
(2)OA平分∠CAB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可．
（1）根据AB=AC，BD=CE，得AE=AD，推出△ADC≌△AEB，则∠ACD=∠ABE，根据AB=AC，则∠ACB=∠ABC，则∠OCB=∠OBC，即可得OC=OB；
（2）由（1）得OC=OB，∠ACD=∠ABE，AB=AC，推出△ACO≌△ABO，则∠CAO=∠BAO，即可．
【详解】（1）证明如下：
∵AB=AC，BD=CE，
∴AE+CE=AD+BD，
∴AE=AD，
在△ADC和△AEB，
AC=AB∠CAB=∠BACAE=AD，
∴△ADC≌△AEB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OC=OB．
（2）证明：∵OC=OB∠ACD=∠ABEAC=AB，
∴△ACO≌△ABO，
∴∠CAO=∠BAO，
即OA平分∠CAB．
【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）如图，已知，AD⊥BD于点D，CB⊥BD于点B，AB=CD．
(1)求证：AD=CB；
(2)连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)OA=OC，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．
（1）根据HL证明Rt△ABD≌RtCDB，再根据全等三角形的性质即可得AD=CB；
（2）根据AAS证明△AOD≌△COB，再根据全等三角形的性质即可得OA=OC．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵AD⊥BD，CB⊥BD
∴∠1=∠2=90°
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AB=CDBD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDBHL
∴AD=CB；
（2）解：OA=OC
理由如下：
如图，
在△AOD和△COB中，
∠3=∠4∠1=∠2AD=CB，
∴△AOD≌△COBAAS，
∴OA=OC．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE=30°．
(1)求证：AE=BD．
(2)如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由ASA可证△CAE≌△ABD，可得AE=BD；
（2）延长BF交AC于点Q，由ASA可证△ABQ≌△BCH，可得AQ=BH，由AAS可证△CFQ≌△AGH，可得AG=CF=2FG，可得结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵CG⊥AD，∠HCE=30°，
∴CF=2FG，∠CFG=60°，
∴∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAD，
∴∠ACF=∠BAD，
在△CAE和△ABD中，
∠ACE=∠BADAC=AB∠BAC=∠ABC=60°，
∴△CAE≌△ABDASA，
∴AE=BD；
（2）如图，延长BF交AC于点Q，
∵BF⊥CE，∠ECH=30°，
∴∠FBC+∠BCG=60°，
∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABQ和△BCH中，
∠ABF=∠BCGAB=BC∠BAC=∠ABC，
∴△ABQ≌△BCHASA，
∴AQ=BH，
∴AB−BH=AC−AQ，
∴AH=CQ，
在△CFQ和△AGH中，
∠CFQ=∠AGH=90°∠ACF=∠HAGCQ=AH，
∴△CFQ≌△AGHAAS，
∴AG=CF，
∴AG=2FG，
∴点F是AG的中点．
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，AD是△ABC的角平分线．
(1)若AB=AC+CD，求证：∠ACB=2∠B；
(2)当∠ACB=2∠B时，AC+CD与AB的数量关系如何？说说你的理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB=AC+CD，理由见解析
【分析】（1）延长AC至E，使CE=CD，连接DE，运用SAS证明△BAD≌△EAD，可得结论；
（2）在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF，根据AAS推导△BAD≌△FAD得到结论．
【详解】（1）证明：延长AC至E，使CE=CD，连接DE.
∵AB=AC+CD，
∴AB=AE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD.
在△BAD与△EAD中，
AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD,
∴△BAD≌△EAD.
∴∠B=∠E.
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠ACB=2∠E=2∠B.
（2）解：AB=AC+CD.
理由：在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF.
∴∠CDF=∠F，
又∵∠ACB=∠CDF+∠F，
∴∠ACB=2∠F.
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠F.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD与△FAD中，
∠B=∠F∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△FAD.
∴AB=AF=AC+CF=AC+CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】(1)①见解析，②见解析；
(2)3．
【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案，
本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，
∴△ADC≌△CEBAAS；
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE；
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∠ACD=∠BEC∠ADC=∠BECAC=BC，
∴△ADC≌△CEBAAS，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC−CD=AD−BE=5−2=3．
【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC
(1)如图1，若∠BAC=40°，且BF=BE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若DE=AC，求证：AB=BF+EF．
【答案】(1)70°
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练运用全等三角形的性质探究线段间的关系是解答的关键．
（1）先根据平行线的性质得到∠ABE=∠A=40°，∠CBD=∠ACB=90°，再根据等腰三角形的性质求得∠E=25°，∠D=45°，进而利用三角形的外角性质求解即可；
（2）先求得∠BCD=∠D=45°，在AB上截取BG=BF，连接GF、GC，分别证明△GBC≌△FBDSAS和△AGC≌△EFDSAS得到AG=EF，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵DE∥AC，∠A=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABE=∠A=40°，∠CBD=∠ACB=90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∴∠EBF=130°，
∵BF=BE，
∴∠E=12180°−∠EBF=25°，
∵BD=BC，
∴∠D=12180°−∠CBD=45°，
∴∠CFE=∠E+∠D=25°+45°=70°；
（2）证明：∵∠ACB=90°，DE∥AC，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠D=45°，
如图，在AB上截取BG=BF，连接GF、GC，

∵BF⊥AB，
∴∠GBC+∠CBF=90°，
∵∠CBD=∠CBF+∠FBD=90°，
∴∠GBC=∠FBD，
在△GBC和△FBD中，
BG=BF∠GBC=∠FBDBC=BD，
∴△GBC≌△FBDSAS，
∴∠D=∠BCG=45°，DF=GC，
∴∠ACG=45°=∠D，
在△AGC和△EFD中，
GC=DF∠ACG=∠DAC=DE，
∴△AGC≌△EFDSAS，
∴AG=EF，
∴AB=AG+BG=EF+BF，
∴AB=BF+EF．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆·期末）在△ABC中，∠ACB和∠CAB的角平分线CE、AD相交于点G．
(1)若∠B=50°，求∠AGC的度数；
(2)延长CE至点N，过点N作BC的平行线NM交AB于点M，若EG=EM，求证：AC=AE+EN．
【答案】(1)∠AGC=115°；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；
（2）在AC上截取AH=AE，连接HG，证明△AHG≌△AEGSSS，△HCG≌△ENMAAS，再根据性质即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠B=50°，
∴∠BAC+∠ACB=180°−∠B=130°，
∵∠ACB和∠CAB的角平分线CE、AD相交于点G，
∴∠GAC=12∠BAC，∠ACG=12∠ACB，
∴∠GAC+∠ACG=12（∠BAC+∠ACB）=65°，
∴∠AGC=180°−∠GAC+∠ACG=115°；
（2）证明：如图，在AC上截取AH=AE，连接HG，
∵AD平分∠HAE，
∴AG垂直平分HE，
∴HG=EG，
∵EM=EG，
∴HG=EM，
又∵AG=AG，
∴△AHG≌△AEGSSS，
∴∠AHG=∠AEG，
∴∠CHG=∠NEM，
又∵MN∥BC，
∴∠N=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠ACE=∠N，
∴△HCG≌△ENMAAS，
∴HC=EN，
∵AC=AH+HC，
∴AC=AE+EN．
【题型7 全等三角形的动态问题】
【例7】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．

(1)用含t的代数式表示PC的长度．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】(1)6−2t
(2)是，理由见解析
(3)当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】此题主要考查了动点问题和全等三角形的判定，
（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：PB=2t，
则PC=6−2t；
（2）解：△CQP≌△BPD，理由如下：
当t=1时，由题意得：a=2，PB=CQ=2，
∴PC=6−2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵PC=BD∠C=∠BCQ=PB，
∴△CQP≌△BPD(SAS)；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t= 32，
∴32 a=4，a= 83，
∴当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等．
【变式7-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP(SAS)，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v=4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP(SAS)，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=125⋅
综上，v的值为2或125．
故选：D．
【变式7-2】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，延长BC到点E，使CE=1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 ．
【答案】2或7
【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点P的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．根据由点P的运动情况可知，△PBC和△DCE全等分以下两种情况：①当点P在AB上运动时，②当点P在CD上运动时，利用三角形全等的性质建立关于t等式求解，即可解题．
【详解】解：由点P的运动情况可知，△PBC和△DCE全等分以下两种情况：
①当点P在AB上运动时，
∵四边形ABCD为正方形，AB=3cm，
∴ BC=CD=AB=3cm，∠B=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
要△PBC和△DCE全等，
即PB=CE，
∵ CE=1cm，
∴ 3−t=1，解得t=2；
②当点P在CD上运动时，
要△PBC和△DCE全等，
即PC=CE，
∵ CE=1cm，
∴ t−6=1，解得t=7；
综上所述，t的值为2或7．
故答案为：2或7．
【变式7-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，AD为高线，AC=18．点E为AC上一点，CE=12AE，连接BE，交AD于点O，若△BDO≌△ADC．

(1)猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
(2)若动点Q从点A出发沿射线AE以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒．
①当点Q在线段AE上时，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP与△FCQ全等时，请直接写出t的值．
【答案】(1)BO⊥AC，证明见解析
(2)①存在t的值，理由见解析，t=32；②t的值为92或94
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得∠OBD=∠CAD，由余角的性质可得∠AEO=∠ODB=90°，即可求解；
（2）①由全等三角形的性质可得BO=AC=18，由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：BO⊥AC，理由如下：
在△ABC中，AD为高，
∴∠ODB=90°，
又∵△BDO≌△ADC，
∴∠OBD=∠CAD，
∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE，
∴∠AEO=∠ODB=90°，
∴BO⊥AC；
（2）解：①存在t的值，使得△BOQ的面积为27，理由如下：
∵△BDO≌△ADC，AC=18，
∴BO=AC=18，
∵CE=12AE，
∴AE=12，CE=6，

由（1）可知，∠BEC=90°，
∴BE⊥AC，
∵Q在线段AE上，
∴SΔBOQ=12BO×QE=12×18×(12−6t)=27，
解得：t=32；
②∵△BDO≌△ADC，
∴∠BOD=∠ACD，
a、当点F在线段BC延长线上时，如图3，

∵∠BOD=∠ACD，
∴∠AOP=∠QCF，
∵AO=CF，
∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQSAS，
此时，2t=18−6t，
解得：t=94；
b、当点F在线段BC上时，如图4，
∵∠BOD=∠ACD，
∴∠AOP=∠FCQ，
∵AO=CF，
∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQSAS，
此时，2t=6t−18，
解得：t=92；
综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为92或94．
【题型8 全等三角形的应用】
【例8】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【答案】理由见解析.
【分析】使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后人在BD的延长线上移动至F，使F、O、E三点正好在一条直线上，记下F点，这时量出DF长，即为房间深度CE．通过证△EAO≌△FBO，可得BF＝AE，则BF－BD＝AE－AC，即DF＝CE．
【详解】解：如图,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F,O,E三点正好在一条直线上,记下F点,这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB,
∴△EAO≌△FBO,
得BF=AE,
则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.
【点睛】本题考核知识点：全等三角形判定的应用. 解题关键点：构造全等三角形.
【变式8-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
【答案】合理，37米
【分析】本题考查全等三角形的应用，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，由该全等三角形的性质AB＝DE，故可求解．
【详解】解：合理，理由如下：
根据题意，得AC=DC．
在△ABC和△DEC中，
∠A=∠DAC=DC∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△DECASA．
∴AB=DE．
又∵小刚走完DE用了74步，一步大约0.5米，
∴AB=DE=74×0.5=37（米）．
∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为37米．
【变式8-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=10m，在乘坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC=5m，当船头从A处摆动到A'处时发现船头处在最高位置处，此时，A'B⊥AB．求点A'到地面的距离．
【答案】5m
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，过点A'作A'F⊥BD于点F，利用AAS证明△ACB≌△BFA'，由全等三角形的性质可得出BF=AC=5m，进而可求出FD的值，FD即点A'到地面的距离．
【详解】解：如图，过点A'作A'F⊥BD于点F，
∵A'B⊥AB，AC⊥BD，
∴∠FBA'+∠FBA=∠CAB+∠FBA，
∴∠FBA'=∠CAB，
∴∠BFA'=∠ACB∠FBA'=∠CABBA'=BA，
∴△ACB≌△BFA'AAS，
∴BF=AC=5m，
∴FD=BD−BF=10−5=5m，
∴FD即点A'到地面的距离为5m．
【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设A,B两点分别为茗阳阁底座的两端（其中A,B两点均在地面上）．因为A,B两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO,DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作BD⊥AB，在点D处用测角仪确定∠1=∠2，射线DC交直线AB于点C，最后测量BC的长即可得线段AB的长．
(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
（1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙方案作出的也是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以也是可行的；
（2）选甲方案，使用工具操作容易；乙方案使用工具操作相对不容易，A，B间可视性未知．
【详解】（1）甲方案：
在△ABO与△CDO中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△ABO≌△CDOSAS，
∴AB=CD，
乙方案
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
在△DBA与△DBC中，
∠DBA=∠DBCDB=DB∠1=∠2，
∴△DBA≌△DBCASA，
∴AB=CB．
（2）选甲种方案，理由：使用工具简单，只需要测量长度的刻度尺，容易操作；乙种方案使用工具需要测量长度的刻度尺和测量角度的测角仪，不容易操作，A，B间是否具备可视性．