高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题，共17页。试卷主要包含了平面的概念，平面的画法，平面的表示法，平面的几个特点等内容，欢迎下载使用。

一．平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即 表示平面，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.
3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4.平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的
二．点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系
平面的基本性质及作用
1.三个基本事实内容
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1
推论2
推论3
四．空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
五．直线与平面的位置关系
六．平面与平面的位置关系
知识简用
题型一 空间几何三种语言的相互转化
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【例1-2】（2021·高一课时练习）画图表示下列语句（其中P，M表示点l，m表示直线，，表示平面）：
(1)，，；
(2)，，；
(3)；；
(4)，，．
题型二 点、线共面
【例2-1】（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
题型三 点共线
【例3-1】（2022广东）如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
题型四 线共点
【例4】（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
题型五 两条直线的位置关系
【例5-1】（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【例5-2】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
题型六 直线与平面的位置关系
【例6-1】（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．直线在平面内D．相切
题型七 平面与平面的位置关系
【例7-1】（2022云南）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【例7-2】（2022黑龙江）若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
【例7-3】（2022湖北）如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上

点A在直线l外

点A在平面α内

点A在平面α外

直线l在平面α内

直线l在平面α外

直线l，m相交于点A

平面α，β相交于直线l

基本事实
内容
图形
符号
作用
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；
二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（学案）
知识自测
一．平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.
3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4.平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的
二．点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系
平面的基本性质及作用
1.三个基本事实内容
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
四．空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
五．直线与平面的位置关系
六．平面与平面的位置关系
知识简用
题型一 空间几何三种语言的相互转化
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【答案】答案见解析
【解析】
(1)如图(1)所示．
(2)如图(2)所示．
(3)如图(3)所示．
(4)如图(4)所示．
【例1-2】（2021·高一课时练习）画图表示下列语句（其中P，M表示点l，m表示直线，，表示平面）：
(1)，，；
(2)，，；
(3)；；
(4)，，．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)如图所示，
(2)如图所示，
(3)如图所示，
(4)如图所示，
题型二 点、线共面
【例2-1】（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接EF，，．
由E，F分别是AB，的中点，可得．
又，所以，故E，C，，F四点共面．
题型三 点共线
【例3-1】（2022广东）如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
【答案】见解析
【解析】证明：若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，
又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD.
【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
【答案】见解析
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
题型四 线共点
【例4】（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接PQ．
由，，得，且．
又，
∴，且，
∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面与平面的交线上，即，
∴直线，BP，CQ相交于一点．
题型五 两条直线的位置关系
【例5-1】（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.
故选: C.
【例5-2】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接、、、，如下图所示：
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
，，则，
所以，，因为，故.
因此，异面直线与所成角的大小是.
故选：B.
题型六 直线与平面的位置关系
【例6-1】（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．直线在平面内D．相切
【答案】AC
【解析】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，
如图2所示，与平行，，而.
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.故选：AC
题型七 平面与平面的位置关系
【例7-1】（2022云南）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【答案】C
【解析】如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
【例7-2】（2022黑龙江）若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．
【例7-3】（2022湖北）如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．
【答案】见解析
【解析】证明：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，
则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，
又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交．文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
作用
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；
二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示