高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.2 常用逻辑用语精品课后测评

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1．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解.
【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确；
对②，“”为任意，即为全称量词，所以命题“”是全称量词命题，故②正确；
对③，命题“”的否定为“”；故③错误；
对④，，故该命题为真命题，故④正确，
所以正确的有个.
故选：D.
2．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．，
C．有一个实数，使D．有些平行四边形是菱形
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论.
【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，
例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；
对于B，易知“，”是全称量词命题，
且由可得，所以是真命题，即B正确；
对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意；
对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；
故选：B
3．下列结论中不正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是平行四边形”是存在量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题，．则，．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①，“所有的四边形都是平行四边形”，是全称量词命题，故①错误；
对于②，“”，是存在量词命题，故②错误；
对于③，命题，则，故③错误.
故选：D.
4（多选题）．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． ，
B．，为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．是无理数
【答案】AC
【分析】判断命题是否为全称量词命题，关键在于有无“，所有的，全部的，任意的”这些量词连接，判断命题真假需要具体分析，说明全称量词命题为真需要推理，为假时只需举个反例推翻；说明存在量词命题为真只需举个例子，为假时需要推理.
【详解】对于A项，因，恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确；
对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；
对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确；
对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．
故选：AC.
5（多选题）．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．B．
C．至少有一个无理数，使得是有理数D．有的有理数没有倒数
【答案】CD
【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假．
【详解】对于A，命题是全称量词命题，故A错误；
对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误；
对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确；
对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确．
故选：CD．
6．命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)．
【答案】 存在量词命题 真
【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举列子可说明是真命题.
【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题．
故答案为：存在量词命题；真.
7．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．
【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)答案见详解.
【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可．
【详解】（1）全称量词命题．表示为，．
（2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点．
（3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上．
题型二 全称/存在量词命题的否定与真假判断
1．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定得，命题：.
故选：D.
2．已知全集为，集合为非空集合，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用集合之间的运算求解即可.
【详解】集合为非空集合，满足，
故.所以.
故选：A
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即命题“”的否定为“”.
故选：B.
4．下列结论中错误的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
②命题“，”是存在量词命题；
③命题“，”的否定为“，”；
④命题“是的必要条件”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①正确；
对于②：命题“，”是全称量词命题；故②错误；
对于③：命题，，则，，故③错误；
对于④：当时，得不到，“”不是“”的必要条件；④错误；
即错误的有3个.
故选：D.
5．已知命题 ，则 为 .
【答案】
【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果.
【详解】由题意知，.
故答案为：
6．命题“，使得”的否定为 .
【答案】，
【分析】根据特称命题的否定为全称命题分析判断.
【详解】，使得的否定为全称量词命题，即，.
故答案为：，.
7．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1)，；
(2)有一个素数是偶数；
(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
【答案】(1)“，”，假命题；(2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题；
(3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题。
【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性.
【详解】（1）命题的否定为“，”，
因为，可得命题的否定是假命题．
（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，
由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．
（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，
若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，
那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)，方程必有实根；
(2)，使得.
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解.
【详解】（1），方程未必有实根，
由于，方程必有实根，是真命题，
因此为假命题，
（2），使得.
由于，所以恒成立，所以为真命题
题型三 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数问题
1．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围.
【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题，
因为，，
所以，又因为，所以，
故选：C.
2．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围.
【详解】因为“，”为假命题，
所以“，”是真命题，
即方程有实数根，则，解得，
即实数的取值范围是．
故选：A．
3．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果.
【详解】若“”为真命题，则A错误，
又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误，
则集合可以是.
故选：C
4．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
5（多选题）．已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
6．若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由“，使得成立”为假命题，
可得“，使得成立”为真命题，
设，则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
7．已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得命题和命题都是真命题时，实数的取值范围，列出不等式组，即可求解.
【详解】由命题“，”，可得，
因为命题为真命题，所以；
又由命题“，”，可得，解得或，
因为命题和命题都是真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
8．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则转化对于，即可.
（2）若为真命题，即，不等式成立，则转化为对于，即可.
【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，
则对于，即可.
由于,，则
（2）若为真命题，即，不等式成立，
则对于，即可.
由于，，，解得
p、q有且只有一个是真命题，则或，解得.
9．已知命题：“，使等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程在上有解，
令，只需在值域内，
当时，，当时，，
所以值域为，的取值集合为；
（2）由题意，，显然不为空集.
①当，即时，，， ；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，.， ；
综上可得或.
10．已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若命题为真命题，求实数的值．
【答案】(1)4；(2)0.
【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案；
（2）根据两个方程有公共解可求实数的值．
【详解】（1）因为，所以，解得；
（2）因为命题为真命题，
所以方程组有公共解，解得，
当时，经检验知，符合题意.
1．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)；
(2)p：有些三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可．
【详解】（1）易知原命题的否定为：，
显然，故为假命题；
（2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等，
因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题；
（3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直，
显然原命题是真命题，则是假命题；
（4）易知原命题的否定为：．
显然当时，，则命题为假命题．
2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意命题“，”为真命题，则对恒成立，即可求出的取范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，
即对恒成立，所以，
因为，所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是.
故选：C
3（多选题）．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在，使得，即，
当时，即时，的最小值为，故；
所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
4．（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A.
（2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值.
【答案】（1）且；（2）
【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解；
（2）分离参数即可求解.
【详解】（1）方程有两个不同的实数解，
则当为唯一解，不合题意舍去；
所以且，解得且，故集合且
（2）命题“， ”为真命题，
则对恒成立，即，故实数a的最小值为2.
5．已知集合，，且．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解.
【详解】（1）由于是真命题，所以．
而，所以，解得，故的取值范围为．
（2）因为，所以，解得．
由为真命题，得，当时，或，解得．
因为，所以当时，；所以当时，．故的取值范围为．