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第十三章第四课时最短路径 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 数学人教版八年级上册
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第四课时——最短路径知识点一：最短路径：1. 最短路径基本原理：①两点之间，线段最短．②点到直线的距离最短．③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．2. 基本类型： 类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得的值最小．方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M．解：如图，作点P关于直线l的对称点．连接，与直线l交于点M，则此时最小．证明：∵P与关于直线l对称，∴直线l是的垂直平分线．∴．∴．∴此时有最小值，为的长度．1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）.A． B． C． D．2．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是 ．3．如图，中，，，，D为的中点，P为上一个动点，连接，，则的最小值是 ．4．如图，在中， AB=6，BC=7，AC=4，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.则周长的最小值为( ). A．10 B．11 C．11.5 D．135．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为 cm时，线段CQ+PQ的和为最小．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）A．15 B．17 C．18 D．20类型二：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得的周长最小．方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点与，连接．与OM、ON的交点A与B即为要找到的点．解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点与，连接．与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时的周长最小．证明：∵P与关于OM对称，P与关于ON对称，∴OM是的垂直平分线，是ON的垂直平分线．∴，．∴．∴的周长最小．7．如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）A． B．C． D．8．如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．9．已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 A． B． C． D．10．如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）A． B． C． D．11．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若＝6，则△PMN的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．712．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的角度为 ． 类型三：如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小．方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点．解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ．此时四边形PQMN的周长最下．证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称，∴OA是QD的垂直平分线，OB是PC的垂直平分线．∴，．．∴四边形PQMN的周长最小．13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河上的某一位置P，再马上赶到河上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程最短．14．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 参考答案：1．A【分析】先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．【详解】A、PQ+QM=8+2=10km；B、∵QM+PM= P′ Q , P′ Q2=82-（5-2）2+（5+2）2=104，∴P′Q=km＞10km；C、PM+QR=5+=5+＞10；D、PM+QM=5+＞10．综上所述，A选项铺设的管道最短．故选：A．【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．3．16【分析】作A关于的对称点，连接，线段与线段相交于点P，得，由已知求得，得到为等边三角形，则，则的长度就是的最小值，．【详解】解：如下图，作A关于的对称点，连接，与相交于点P，，，，，为等边三角形，，，的最小值是16，故答案为：16．【点睛】本题考查了轴对称、最短线路问题、等边三角形的性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短．4．A【分析】根据题意知，点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】解：∵直线m垂直平分AB，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是：6+4=10．故选A．【点睛】本题考查了垂直平分线，轴对称——最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．5．3．【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．【详解】如图，连接AQ，∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，∴BD垂直平分AC，∴CQ＝AQ，∴CQ+PQ＝AQ+PQ，∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，此时，P为BC的中点，又∵等边△ABC的周长为18cm，∴BP＝BC＝×6＝3cm，故答案为3．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．C【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．【详解】解：是以为底边的等腰三角形，平分，垂直平分，点与点关于对称，，如图所示，当点与点重合时，，此时的周长最小，，，的周长为30，，周长的最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．D【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.【详解】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.故选D.【点睛】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.8．答案见解析【详解】解：以河为对称轴作M的对称点，过作草地的垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．如图所示：【点睛】解答本题的关键是熟练掌握利用两点之间线段最短的方法，来找最近路线．9．C【分析】设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．【详解】分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．由轴对称性质可得，，，，，，又，，．故选：．【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.10．A【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．11．C【分析】根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解．【详解】解：由轴对称的性质可得：OA垂直平分，OB垂直平分，∴，，∵，＝6，∴；故选C．【点睛】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．12．140°【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N．∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．故答案为140°． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．13．见解析【分析】将通过轴对称转化为几条“直线段”的和即可．【详解】解：如图：作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接交于P、交于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，正确理解最短路径即利用轴对称的性质将几条线段的和化为“直线段”的和的过程是解题的关键．14．有，捷径见解析【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径．【详解】解：如下图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度，连接，则，在中，由三角形三边故选可得：，所以折线的长，即折线就是捷径．【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点．
第四课时——最短路径知识点一：最短路径：1. 最短路径基本原理：①两点之间，线段最短．②点到直线的距离最短．③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．2. 基本类型： 类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得的值最小．方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M．解：如图，作点P关于直线l的对称点．连接，与直线l交于点M，则此时最小．证明：∵P与关于直线l对称，∴直线l是的垂直平分线．∴．∴．∴此时有最小值，为的长度．1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）.A． B． C． D．2．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是 ．3．如图，中，，，，D为的中点，P为上一个动点，连接，，则的最小值是 ．4．如图，在中， AB=6，BC=7，AC=4，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.则周长的最小值为( ). A．10 B．11 C．11.5 D．135．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为 cm时，线段CQ+PQ的和为最小．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）A．15 B．17 C．18 D．20类型二：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得的周长最小．方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点与，连接．与OM、ON的交点A与B即为要找到的点．解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点与，连接．与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时的周长最小．证明：∵P与关于OM对称，P与关于ON对称，∴OM是的垂直平分线，是ON的垂直平分线．∴，．∴．∴的周长最小．7．如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）A． B．C． D．8．如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．9．已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 A． B． C． D．10．如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）A． B． C． D．11．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若＝6，则△PMN的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．712．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的角度为 ． 类型三：如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小．方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点．解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ．此时四边形PQMN的周长最下．证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称，∴OA是QD的垂直平分线，OB是PC的垂直平分线．∴，．．∴四边形PQMN的周长最小．13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河上的某一位置P，再马上赶到河上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程最短．14．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 参考答案：1．A【分析】先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．【详解】A、PQ+QM=8+2=10km；B、∵QM+PM= P′ Q , P′ Q2=82-（5-2）2+（5+2）2=104，∴P′Q=km＞10km；C、PM+QR=5+=5+＞10；D、PM+QM=5+＞10．综上所述，A选项铺设的管道最短．故选：A．【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．3．16【分析】作A关于的对称点，连接，线段与线段相交于点P，得，由已知求得，得到为等边三角形，则，则的长度就是的最小值，．【详解】解：如下图，作A关于的对称点，连接，与相交于点P，，，，，为等边三角形，，，的最小值是16，故答案为：16．【点睛】本题考查了轴对称、最短线路问题、等边三角形的性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短．4．A【分析】根据题意知，点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】解：∵直线m垂直平分AB，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是：6+4=10．故选A．【点睛】本题考查了垂直平分线，轴对称——最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．5．3．【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．【详解】如图，连接AQ，∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，∴BD垂直平分AC，∴CQ＝AQ，∴CQ+PQ＝AQ+PQ，∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，此时，P为BC的中点，又∵等边△ABC的周长为18cm，∴BP＝BC＝×6＝3cm，故答案为3．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．C【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．【详解】解：是以为底边的等腰三角形，平分，垂直平分，点与点关于对称，，如图所示，当点与点重合时，，此时的周长最小，，，的周长为30，，周长的最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．D【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.【详解】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.故选D.【点睛】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.8．答案见解析【详解】解：以河为对称轴作M的对称点，过作草地的垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．如图所示：【点睛】解答本题的关键是熟练掌握利用两点之间线段最短的方法，来找最近路线．9．C【分析】设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．【详解】分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．由轴对称性质可得，，，，，，又，，．故选：．【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.10．A【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．11．C【分析】根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解．【详解】解：由轴对称的性质可得：OA垂直平分，OB垂直平分，∴，，∵，＝6，∴；故选C．【点睛】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．12．140°【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N．∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．故答案为140°． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．13．见解析【分析】将通过轴对称转化为几条“直线段”的和即可．【详解】解：如图：作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接交于P、交于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，正确理解最短路径即利用轴对称的性质将几条线段的和化为“直线段”的和的过程是解题的关键．14．有，捷径见解析【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径．【详解】解：如下图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度，连接，则，在中，由三角形三边故选可得：，所以折线的长，即折线就是捷径．【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点．
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