人教版数学八年级上册 第13章10 课题：最短路径问题教案

课题：最短路径问题

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

如何选择最短路径．

一、情景导入，感受新知

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马”问题．

二、自学互研，生成新知

【自主探究】

阅读教材P85问题1.

这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？

1.

如图，点A、B在直线l的两侧，点C是直线l上的一个点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

解：连接AB，线段AB与l的交点C就是所求．

2.

如图，点A、B在直线l的同侧，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？你能利用轴对称的有关知识找到符合条件的点B′吗？

解：如图所示：过点B做关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l的交点C即为所求．

归纳：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．

②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．

③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．

三、典例剖析，运用新知

【合作探究】

例1：要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？

【分析】本问题就是要在l上的一点C，使AC与CB的和最小，设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小．在连接AB′的线中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．

例2：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往同脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．

【分析】由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．

①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．

②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．

③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．

四、课堂小结，回顾新知

1．本节课研究问题的基本过程是什么？

2．轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题时，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些快收获？

五、检测反馈、落实新知

1．要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1km和3km，张村与李庄的水平距离为3km，则所用水管最短长度为5km．

2．小英、小兰两家分别在公路的两侧(A、B两处)新建了住房，现在他们两家之间要修建一条公路，请你帮助他们设计一个公路修建方案，要达到既省工又省钱的目的．(要使修建的路最短，请在图中画出来．)

解：因为两点之间，线段最短，所以连接A、B两点之间的线段，如图，沿此线段修路既省工又省钱．

3．如图1所示，点A、B、C、D、E中．

(1)点A与点B关于x轴对称，点B与点E关于y轴对称；

(2)如图1，在x轴上找一点P，使PA＋PD最小，试确定P点的位置，保留必要的作图痕迹，在图中标出来；

(3)如图2，图中阴影部分是一条小河，现在河上架一座桥，桥与河两岸上都垂直，要求从A点过桥到E点的路径最短，保留必要的作图痕迹，作图表示出最短路径．

解：(2)如图1所示，P为所求．

(3)如图2所示，最短路径为A－F－H－E.

六、课后作业：巩固新知

(见学生用书)