专题08 二次函数中的定值与定点问题-初中数学9年级上册同步压轴题（教师版含解析）

专题08 二次函数中的定值与定点问题

类型一、定值问题

例1．已知抛物线与x轴交于和B两点．

(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；

(2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有．

①求该抛物线的函数解析式；

②若直线与抛物线交于P，Q两点(P，Q都不与A，B重合)，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．

例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为，直线()分别交抛物线于点，(点在点的左边)，直线分别交轴、轴于点，，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且．

(1)求抛物线及直线的函数表达式；

(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；

(3)求的值．

【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点为A，B(点B在点A的右侧)，且，与y轴交点为C．

(1)求该抛物线所对应的函数表达式；

(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；

(3)设直线()与抛物线交于P，Q两点(点Ｑ在点P的右侧)，与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立．

【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，

(1)直接写出点B的坐标(_____，_____)和直线BC的解析式_______；

(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；

(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值．

【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(m，n)．

(1)若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．

(2)如图(1)，在(1)的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧)，MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图(2)，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．

【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点(在左边)，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)为抛物线上一动点，，求点的坐标；

(3)如图2，交抛物线于两点(不与重合)，直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．

【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为(6，0)，点M为抛物线上的一个动点．

(1)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：

①求二次函数的表达式；

②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；

(2)过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．

类型二、定点问题

例．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点(点在点的左侧)，点关于轴的对称点为．

(1)当时，求，两点的坐标；

(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A(﹣2，0)和B两点，点C(6，4)在抛物线上．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；

(3)如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．

【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；

(3)如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点．