陕西省西安市临潼区2023-2024学年高二下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市临潼区2023-2024学年高二下学期期末数学试题（原卷版+解析版），文件包含陕西省西安市临潼区2023-2024学年高二下学期期末数学试题原卷版docx、陕西省西安市临潼区2023-2024学年高二下学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ）
A. 3B. 8C. 12D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理进行求解,
【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为.
故选：B.
2. 设随机变量的分布列为，，则（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率和为1列式求解即可.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，，
则有，解可得.
故选：A.
3. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.
【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.
对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
故C正确，D错误.
故选：C.
4. 的展开式中项的系数为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】先写出通项公式，令，得到的系数.
【详解】由通项公式，
时，，所以展开式中项的系数为.
故选：D.
5. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）
A. 70B. 140C. 252D. 504
【答案】B
【解析】
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意选法有，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意的选法有，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.
故选：B.
6. 某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（ ）（参考数据：）
A. 120B. 90C. 80D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可.
【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，，
由于等级的概率之和为，
所以，
又因为，
即，
故为A等级，为等级，为等级，为等级，
结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90.
故选：B.
7. 一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A. X表示取出的最小号码
B. 若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C. 取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D. 若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出四个选项中X的分布列或X的分布列类型，根据超几何分布的概念及计算公式，进行判断.
【详解】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，
则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：
，，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是：
，，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
，，，
，，，
，
X的分布列为：
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，
，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
，，
，，
，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布；
故选：C
8. 在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得，故B正确；
对于C，因为，，
又，所以，故C错误；
对于D，，，故D正确.
故选：ABD.
10. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题得，C选项正确.
根据条件概率得：，A选项正确.
，B选项错误.
对于D，，故D正确.
故选：ACD
11. 已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 是等差数列
C. 若，则为递减数列
D. 若，则为递增数列
【答案】AC
【解析】
【分析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，A选项由定义证明是等比数列；B选项通过举反例时，证明不是等差数列；C选项，由得到，从而为递减数列；D选项通过举反例，此时数列不是单调数列.
【详解】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，
A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确；
B选项，设，当满足是等比数列，
此时，，不是等差数列，B错误；
C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确；
D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列：
定义法：（常数），
等比中项法：，
通项公式法：
前项和特征法：
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解.
【详解】随机变量，
则.
故答案：3.
13. 已知直线与交于，两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积.
【详解】的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为.
面积为.
故答案为：.
14. 在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有___________种选法.
【答案】36
【解析】
【分析】根据排列组合，即可结合分步乘法计数原理求解.
【详解】方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则共有种.
故答案为：36.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为．

完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
附：．
【答案】列联表见解析，没有
【解析】
【分析】根据扇形统计图先补全联表，再计算，根据边界值比较判断相关性.
【详解】根据扇形统计图易得，选择物理类学生为人，
其中男生人，女生，
选择历史类100人，其中男生人，女生人
所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”
16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
因，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.
17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
参考数据：，，.
【答案】（1），相关程度较高
（2），9.3亿元
【解析】
【分析】（1）通过计算相关系数来进行判断.
（2）先计算回归直线方程，并由此作出预测.
【小问1详解】
由表中数据可知，，，
，，，
则，
故相关程度较高；
【小问2详解】
，，
则，，
故，
令，解得，
故研发投入至少9.3亿元.
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）对求导并因式分解，对分成四种情况，讨论函数的单调性.（2）先将函数解析式转化为，当时，，符合题意.当时，由分离常数得到，构造函数，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.
【详解】解：（1），
①当时，，令得，
可得函数的增区间为，减区间为．
②当时，由，当时，；
当时，，故，
此时函数在上单调递增，增区间为，没有减区间．
③当时，令得或，
此时函数的增区间为，，减区间为．
④当时，令得：或，
此时函数的增区间为，，减区间为．
（2）由
①当时，，符合题意；
②当时，若，有，得
令，有，
故函数为增函数，，故，
由上知实数的取值范围为．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
19. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2概率；
（2）一份保单毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值
【解析】
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【小问1详解】
设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
【小问2详解】
（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.X
1
2
3
4
5
6
7
P
8
1
6
3
5
7
4
9
2
男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
480
420
900
历史类
40
60
100
合计
520
480
1000
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数