陕西省西安市第七十中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷满分：120分 考试时长：90分钟 班级： 姓名：______
一、单选题（共35分）
1. 若函数可导，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.
【详解】．
故选：C.
2. 若函数的导数满足，则（ ）
A. eB. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
求导得，令，可求出的值，从而得的解析式，再代入，即可得解.
【详解】∵，
∴，
令，可得，
解得，
因此，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，求导公式，考查了运算能力，属于中档题.
3. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ）
A. 72种B. 48种C. 54种D. 8种
【答案】B
【解析】
【分析】因为每对师徒必须相邻，所以，三对师徒进行捆绑，则有，捆绑后再次进行排列，则有种组合拍列，所以，每对师徒相邻的站法共有种
【详解】由题意得每对师徒相邻的站法共有
故选：B
【点睛】本题考查排列组合中的相邻问题，属于简单题
4. 对任意的x∈R,函数不存在极值点的充要条件是( )
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】，对任意的x∈R,函数不存在极值点,只需
，选A.
5. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）
A. 60个B. 48个C. 36个D. 24个
【答案】C
【解析】
【分析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，由此计算出正确答案.
【详解】先排个位，然后排万位，再排其它位置，
所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.
故选：C
6. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
7. 已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，求导得，再根据在上的最大值为，分，，讨论求解.
【详解】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
二、多选题（共15分）
8. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.
【详解】对于选项A，定义域为关于原点对称，且，故为奇函数，
又，所以在上单调递增，故满足；
对于选项B，定义域为关于原点对称，，故为奇函数，
又，且不恒为0，所以在上单调递增，故满足；
对于选项C，定义域为关于原点对称，，故为偶函数，不满足；
对于选项D，定义域为关于原点对称，，为奇函数，
又，所以在上单调递增，故满足．
故选：ABD．
10. （多选）已知，，且，则下列式子中不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据选项构造函数和，利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.
【详解】设，则．当时，，单调递增．又，所以，即，所以，A不正确，B正确．设，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴C，D均不正确．
故选：ACD
三、填空题（共20分）
11. 已知函数，若，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】对分段函数求导，由已知分区间求参数的值.
【详解】，故，
∴或，解得或．
故答案为：或
12. 将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是______.
【答案】
【解析】
【分析】分两类，第一个盒放两个球共种放法和第一个盒放1个球有种放法，根据分类计数原理求和即可．
【详解】将甲球放入第一个盒后分两类：
一类是除甲球外，第一个盒还放其他球，共种放法；
另一类是第一个盒中只有甲球，则其他4个球放入另外三个盒中，有种放法，
故总的放法有种.
故答案为：.
13. 已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为 ．
【答案】﹣37
【解析】
【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数m的值，即可求出函数的最小值．
解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5
因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．
答案为：﹣37
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
14. 已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得的取值范围.
【详解】解：由题可知，，即，
得上恒成立，
设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
∴，
∴，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共50分）
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合基本初等函数的求导公式以及导数的复合函数求导法则即可求出结果.
（2）结合基本初等函数的求导公式、导数的乘法法则以及导数的复合函数求导法则即可求出结果.
【小问1详解】
设，则，
则，
故.
【小问2详解】
∵，
∴
16. 有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的面试顺序.
（1）若女生甲不在第一个面试，女生乙不在最后一个面试，求不同的安排方法种数；
（2）若3名男生的面试顺序不同时相邻，求不同的安排方法种数.
【答案】（1）种；（2）种.
【解析】
【分析】（1）根据正难则反原理先求总数，再减去不符合条件的情况数，或者利用直接特殊位置法，对女生甲进行分类讨论；
（2）由于条件为3名男生面试顺序不同时相邻，只要拿所以排列数减去3人全部相邻情况数，即可得解.
【详解】（1）方法一考虑任何限制，6人的面试顺序的不同安排方法种数为，
女生甲在第一个面试或女生乙在最后一个面试的不同安排方法种数均为，
女生甲在第一个面试且女生乙在最后一个面试的不同安排方法种数为，
则符合条件的安排方法种数为.
方法二按女生甲分类，甲在最后一个面试的不同安排方法种数为.
若甲不在最后一个面试，
则甲只能在除首尾之外的四个面试顺序中选择一个.
又乙不在最后一个面试，所以乙再在剩余的四个面试顺序中选择一个，
此时面试的不同安排方法种数为.
则符合条件的安排方法种数为.
（2）不考虑任何限制，6人的面试顺序的不同安排方法种数为.
3名男生全相邻时，将3名男生看成一个整体，与3名女生一起看作4个对象，
共有种不同的安排方法，
所以3名男生的面试顺序不同时相邻时，
不同的安排方法种数为.
17. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为已知函数在处的切线为，即切点为，
所以，解之得，，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得，
当，，在为增函数，
且时，，时，，
当，，在为减函数，
且时，，当时，，
若方程（m为常数）有两个根，则.
故实数m的范围为.
.
18. 边长为6cm的正方形铁皮，四个角各截取边长为的一个小正方形，折起四边，焊接成一个无盖长方体，求长方体体积的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】据题意先设小正方形边长为，计算出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.
【详解】设减去正方形边长为,铁盒体积为，
，
∵，∴
当时，，则在为增函数，
当时，，则在为减函数.
∴
即长方体体积的最大值为.
19 已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x>1时，x2＋lnx【答案】（1）a＝4；（2）见解析.；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）由f′(2)=0即可求出a＝4．
（2）由题可得f(x)的定义域为x>0．求出f′(x)=x－，当a≤0时f′(x) >0恒成立．故f(x)在(0，＋∞)单调递增；当a>0时，令f′(x)>0解得即为f(x)的单调增区间，令f′(x)<0解得即为f(x)的单调减区间．
（3）构造函数g(x)＝x3－x2－lnx，利用导数得出g(x)在(1，＋∞)上单调递增．易得g(x) >0恒成立，进而可得到结论．
【详解】(1)解：f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，
所以2－＝0，所以a＝4.
(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
令f′(x)>0，得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
(3)证明：设g(x)＝x3－x2－lnx，
则g′(x)＝2x2－x－，
因为当x>1时，g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0.
所以当x>1时，x2＋lnx【点睛】本题主要考查导数的零点与与原函数极值点的关系，利用导数求原函数的单调区间以及利用导数求函数最值进而证明函数恒成立问题．属于较难题．