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陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷（原卷版+解析版），文件包含陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷原卷版docx、陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ）
A. 4种B. 8种C. 12种D. 16种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理进行求解.
【详解】共有种不同的选法.
故选：B
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程直接求解即可
【详解】由，得，
所以，
即双曲线的渐近线方程为.
故选：A
3. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：B
4. 已知两个变量与的对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. 29B. 30C. 31D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本中心点在回归方程上即可.
【详解】由表格数据得，
因为样本中心点在回归方程上，
所以，
解得.
故选：A.
5. 的展开式中含有项的系数为（ ）
A. 10B. -10C. 20D. -20
【答案】B
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数
【详解】的二项展开式的通项公式为，
令，所以，
故的展开式中含有项的系数为-10.
故选：B
6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用全概率公式计算概率即可.
【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故选：C.
7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 332B. 360C. 432D. 488
【答案】C
【解析】
【分析】将两名女生绑定，再将男生全排，再利用插空法求解.
【详解】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，
则不同的排法种数为.
故选：C
8. 已知是抛物线准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设直线再根据直线和抛物线相切计算判别式为0，计算即可.
【详解】易知，当直线与相切时，设的方程为，
与联立，可得，
则，解得，故直线的斜率的最大值为1.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值但没有最大值
B. 对于任意的，恒有
C. 仅有一个零点
D. 有两个极值点
【答案】BC
【解析】
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于恒成立，故当时，，
令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选：BC
10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列可能为常数列
B. 数列可能为等比数列
C. 若，则
D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D.
【详解】A.当时，，得或（舍），
此时为常数列，故A正确；
B.，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列，
，数列单调递减，，
当时，，当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可.
【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用线面角的正弦值求法将两个向量代入即可得出答案
【详解】设l与所成角为，设向量与的夹角为，
，所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可.
【详解】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，
易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
故答案为：；.
14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.
【答案】-1
【解析】
【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可.
【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，
，解得，所以，
得到切点，点到直线即的距离，
解得或3.
当时，过点和，过点和，
又，，所以与相交，不符合题意；
当时，令，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即恒成立，
所以与不相交，符合题意.
综上，.
故答案为：-1.
关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上对应点关于直线对称且切线与平行时，最小.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得，采用裂项相消法求出.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
【小问2详解】
，
所以
16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表：
把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意.
（1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？
（2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望.
附：．
【答案】（1）列联表见解析，不能
（2）分布列见解析，期望
【解析】
【分析】（1）根据给定的数据完善列联表，计算的观测值并回答得结论.
（2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望即可.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可认为成立，
即不能推断消费者对新产品的满意度与年龄有关.
【小问2详解】
依题意，90分以上的有8人，其中青年人数为3，则的所有可能值是，
，
，
所以的分布列为：
期望.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（）.
【解析】
【分析】（1）分类a>0,a≤0两种情况求导函数讨论函数的单调性；
（2）根据函数的最值，结合函数零点存在定理即可求参.
【小问1详解】
由题意知函数的定义域为.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由题可知a为非负数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以，
则，
又因为时，时，恰有两个零点，
所以，解得，
故的取值范围为.
18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.
（1）求甲在通过初赛条件下，第三轮答题没有合格的概率.
（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，计算与,进而求出；
（2）乙得分不低于60分可以获得一等奖的情况分为三种情况，即乙在中只抽到了一题、两题、三题的情况，求解概率.
【小问1详解】
设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，
则，
，
所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为
【小问2详解】
若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率；
若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率
若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率
故乙获得一等奖的概率.
19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”．
（1）若是“反转函数”，求的取值范围．
（2）①证明：为“反转函数”．
②设，证明：．
【答案】（1）
（2）①②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围；
（2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论.
【小问1详解】
当时，由，得，
所以，所，即，
所以，得，
因为在上递减，所以，
所以，
当时，由，得，
所以，所以，得，
所以，
因为在上递增，所以，
所以，
综上，，即的取值范围为；
【小问2详解】
①证明：令，则
，
所以在上递减，
所以当时，，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，
所以为“反转函数”；
②证明：由①知，当时，，即，
所以，
所以对任意时，，
所以，
整理得.
关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题.
1
3
5
7
9
6
18
39
53
年龄
5
2
3
6
9
14
11
20
33
34
30
25
2
1
2
3
满意
不满意
合计
青年
中年
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
青年
70
30
100
中年
60
40
100
合计
130
70
200
0
1
2
3
分值
10
20
20
20
30
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ）
A. 4种B. 8种C. 12种D. 16种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理进行求解.
【详解】共有种不同的选法.
故选：B
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程直接求解即可
【详解】由，得，
所以，
即双曲线的渐近线方程为.
故选：A
3. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：B
4. 已知两个变量与的对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. 29B. 30C. 31D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本中心点在回归方程上即可.
【详解】由表格数据得，
因为样本中心点在回归方程上，
所以，
解得.
故选：A.
5. 的展开式中含有项的系数为（ ）
A. 10B. -10C. 20D. -20
【答案】B
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数
【详解】的二项展开式的通项公式为，
令，所以，
故的展开式中含有项的系数为-10.
故选：B
6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用全概率公式计算概率即可.
【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故选：C.
7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 332B. 360C. 432D. 488
【答案】C
【解析】
【分析】将两名女生绑定，再将男生全排，再利用插空法求解.
【详解】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，
则不同的排法种数为.
故选：C
8. 已知是抛物线准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设直线再根据直线和抛物线相切计算判别式为0，计算即可.
【详解】易知，当直线与相切时，设的方程为，
与联立，可得，
则，解得，故直线的斜率的最大值为1.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值但没有最大值
B. 对于任意的，恒有
C. 仅有一个零点
D. 有两个极值点
【答案】BC
【解析】
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于恒成立，故当时，，
令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选：BC
10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列可能为常数列
B. 数列可能为等比数列
C. 若，则
D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D.
【详解】A.当时，，得或（舍），
此时为常数列，故A正确；
B.，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列，
，数列单调递减，，
当时，，当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可.
【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用线面角的正弦值求法将两个向量代入即可得出答案
【详解】设l与所成角为，设向量与的夹角为，
，所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可.
【详解】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，
易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
故答案为：；.
14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.
【答案】-1
【解析】
【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可.
【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，
，解得，所以，
得到切点，点到直线即的距离，
解得或3.
当时，过点和，过点和，
又，，所以与相交，不符合题意；
当时，令，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即恒成立，
所以与不相交，符合题意.
综上，.
故答案为：-1.
关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上对应点关于直线对称且切线与平行时，最小.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得，采用裂项相消法求出.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
【小问2详解】
，
所以
16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表：
把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意.
（1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？
（2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望.
附：．
【答案】（1）列联表见解析，不能
（2）分布列见解析，期望
【解析】
【分析】（1）根据给定的数据完善列联表，计算的观测值并回答得结论.
（2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望即可.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可认为成立，
即不能推断消费者对新产品的满意度与年龄有关.
【小问2详解】
依题意，90分以上的有8人，其中青年人数为3，则的所有可能值是，
，
，
所以的分布列为：
期望.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（）.
【解析】
【分析】（1）分类a>0,a≤0两种情况求导函数讨论函数的单调性；
（2）根据函数的最值，结合函数零点存在定理即可求参.
【小问1详解】
由题意知函数的定义域为.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由题可知a为非负数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以，
则，
又因为时，时，恰有两个零点，
所以，解得，
故的取值范围为.
18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.
（1）求甲在通过初赛条件下，第三轮答题没有合格的概率.
（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，计算与,进而求出；
（2）乙得分不低于60分可以获得一等奖的情况分为三种情况，即乙在中只抽到了一题、两题、三题的情况，求解概率.
【小问1详解】
设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，
则，
，
所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为
【小问2详解】
若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率；
若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率
若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率
故乙获得一等奖的概率.
19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”．
（1）若是“反转函数”，求的取值范围．
（2）①证明：为“反转函数”．
②设，证明：．
【答案】（1）
（2）①②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围；
（2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论.
【小问1详解】
当时，由，得，
所以，所，即，
所以，得，
因为在上递减，所以，
所以，
当时，由，得，
所以，所以，得，
所以，
因为在上递增，所以，
所以，
综上，，即的取值范围为；
【小问2详解】
①证明：令，则
，
所以在上递减，
所以当时，，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，
所以为“反转函数”；
②证明：由①知，当时，，即，
所以，
所以对任意时，，
所以，
整理得.
关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题.
1
3
5
7
9
6
18
39
53
年龄
5
2
3
6
9
14
11
20
33
34
30
25
2
1
2
3
满意
不满意
合计
青年
中年
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
青年
70
30
100
中年
60
40
100
合计
130
70
200
0
1
2
3
分值
10
20
20
20
30
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