2022-2023学年北京市海淀实验中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀实验中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
3．（3分）以厘米为单位，下列各组数中，以它们为边能构成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
4．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
6．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4．则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
8．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）在如图所示的若干个正方形拼成的图形中，与三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
10．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
二、填空题（本大题共30分，每小题3分）
11．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝ °．
12．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段 即可．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ ．
14．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6．则△BCE的周长是 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1，则所得的新图形图形与原图形关于 对称．
16．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为 ．
17．（3分）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝129°，则∠2的度数为 ．
18．（3分）如图，△ABC中∠A＝32°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交EC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，则∠EBD ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此时∠CDB＝82°，则∠C＝ 度．
19．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为 ．
20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，﹣1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，符合条件的点P有 个．
三、解答题（本大题共40分，23、26每题4分，27每题8分，其它每小题4分）
21．（4分）已知：如图，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠B＝∠C．
22．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
23．（6分）《淮南子•天文调》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆：日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆，取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．尺规作图，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：∵在△ABC中，BA＝ ，且D是CA的中点．
∴ .（等腰三角形三线合一）
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
24．（6分）如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
（1）尺规作图补全图形；
（2）判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
26．（4分）已知：三点A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），点P为y轴上一动点．
（1）在图中找到点P，使得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时点P的坐标应为 ；
（2）当∠APB＝40°时，∠OAP+∠PBC的度数为 ．
27．（8分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
2022-2023学年北京市海淀实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．（3分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，
故选：D．
【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．
2．（3分）点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）以厘米为单位，下列各组数中，以它们为边能构成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、3+5＝8，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、8+8＜18，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、+1＞，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、3+8＜40，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
4．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠F，然后根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC＝∠F，
∵∠F＝110°，
∴∠BAC＝110°，
又∵∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，准确确定对应角并求出∠BAC的度数是解题的关键．
6．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4．则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ＝PA，求出即可．
【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝4，
∴PQ＝PA＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，做出垂线段从而应用角平分线的性质是解此题的关键．
7．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
8．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．
【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
9．（3分）在如图所示的若干个正方形拼成的图形中，与三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
【分析】根据勾股定理进行计算，可得DG＝BC，FG＝AC，进而得到△ABC和△DFG三边分别对应相等，从而得出这两个三角形全等．
【解答】解：如图所示，BC＝DG＝＝，AC＝FG＝＝，AB＝FD＝3，
在△ABC和△FDG中，
，
∴△ABC≌△FDG（SSS），
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理的运用，三条边分别对应相等的两个三角形全等．
10．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
【分析】根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出m的两个极值，从而可以得到m的取值范围．
【解答】解：如右图所示，
当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，
∴OP＝4，
∴当m＝4；
作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，
当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵四边形OBB″O′是平行四边形，
∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），
由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，
∴m的取值范围是4≤m≤6，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共30分，每小题3分）
11．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝ 60 °．
【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，
∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
12．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段 DE 即可．
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，
故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．
故答案为：DE．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ 6 ．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
14．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6．则△BCE的周长是 22 ．
【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长＝EC+BE+BC得到答案．
【解答】解：因为边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，所以EC＝BE＝6．
又因为BC＝10，所以
△BCE的周长是EC+BE+BC＝6+6+10＝22．
故填22．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．
15．（3分）在平面直角坐标系中，若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1，则所得的新图形图形与原图形关于 y轴 对称．
【分析】首先熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）；关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．横坐标都乘以﹣1，即是横坐标变成相反数，则实际是得出了这个图形关于y轴的对称图形．
【解答】解：根据轴对称的性质，得纵坐标不变，横坐标都乘以﹣1，即是横坐标变成相反数，
则实际是所得图形与原图形关于y轴的对称图形．
故答案为：y轴．
【点评】此题考查了关于y轴对称点的坐标，掌握平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点是解题关键．
16．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为 15 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
17．（3分）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝129°，则∠2的度数为 51° ．
【分析】根据翻折的性质可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，可知∠1+∠2＝180°，又∠1＝129°，继而即可求出答案．
【解答】解：根据翻折的性质可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝129°，
∴∠2＝51°．
故答案为：51°．
【点评】本题考查翻折变换的知识，解答此题的关键是三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，同时注意三角形内角和定理的灵活运用．
18．（3分）如图，△ABC中∠A＝32°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交EC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，则∠EBD ＝ ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此时∠CDB＝82°，则∠C＝ 73 度．
【分析】由折叠的性质得∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，再由三角形外角性质得∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝50°，则∠FBE＝∠ABE＝25°，从而可求得∠FBG的度数，再利用三角形的内角和即可求∠C．
【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，
∵∠GDB是△BDF的外角，
∴∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝82°﹣32°＝50°，
∴∠FBE＝∠ABE＝25°，
∴∠FBG＝3×25°＝75°，
∴∠G＝180°﹣∠F﹣∠FBG＝73°，
即原三角形中的∠C为73°．
故答案为：＝，73．
【点评】此题考查了图形的翻折变换的性质以及三角形内角和定理等知识，由翻折变换的性质得出∠FBE＝∠ABE＝∠ABG是解答此题的关键．
19．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为 10 ．
【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．
【解答】解：延长AB、CD交于点E，如图：
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝2CD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，﹣1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，符合条件的点P有 4 个．
【分析】分三种情况：当AO＝AP时，当OA＝OP时，当PA＝PO时，进行讨论即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交x 轴于点P1，
当OA＝OP时，以点O为圆心，以AO长为半径作圆，交x 轴于点P2，P3，
当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交x 轴于点P4，
综上所述，符合条件的点P有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共40分，23、26每题4分，27每题8分，其它每小题4分）
21．（4分）已知：如图，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠B＝∠C．
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAD，可得结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
22．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
【分析】（1）根据条件确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求作．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（6分）《淮南子•天文调》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆：日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆，取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．尺规作图，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：∵在△ABC中，BA＝ BC ，且D是CA的中点．
∴ BD⊥AC .（等腰三角形三线合一）
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
【分析】（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；
（2）根据等腰三角形三线合一即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）证明：在△ABC中，BA＝BC，且D是CA的中点．
∴BD⊥AC（等腰三角形三线合一），
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
故答案为：BC，BD⊥AC．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行投影，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
24．（6分）如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．
【分析】延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD＝60°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】解：此命题是真命题，
理由如下：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∵CB＝AB，
∴BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°．
【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等边三角形的性质、正确作出辅助性是解题的关键．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
（1）尺规作图补全图形；
（2）判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意画出图形；
（2）过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，由角平分线的性质可得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得结论；
【解答】解：（1）补全图形；
（2）结论：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．（4分）已知：三点A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），点P为y轴上一动点．
（1）在图中找到点P，使得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时点P的坐标应为 （0，） ；
（2）当∠APB＝40°时，∠OAP+∠PBC的度数为 175° ．
【分析】（1）首先由题意可得当AP+BP最小时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值，然后过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与y轴的交点即为所求的点P，再设直线A′B的解析式为：y＝kx+b，利用待定系数法即可求得其解析式，继而求得点P的坐标（也可以利用中点坐标公式可得点P的坐标）；
（2）如图2，作辅助线，构建等腰直角△A'BO和全等三角形，证明△A'AB≌△OEA（SAS）和△OA'B是等腰直角三角形，再利用三角形和四边形的内角和定理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），
∴OA，BC是定长，
∴当点P在线段OC上时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值，
∵OP+PC＝OC＝6，
∵△OAP与△CBP周长的和为：OA+AP+OP+PC+BC+BP＝OA+BC+OC+AP+BP，
∴当AP+BP最小时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值，
过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与y轴的交点即为所求的点P，
∴A′（﹣1，2），
解法一：设直线A′B的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线A′B的解析式为：y＝x+，
当x＝0时，y＝2×0+＝，
∴当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，点P的坐标为：（0，）；
解法二：P是AB的中点，
∴P（，），即P（0，）；
故答案为：（0，）；
（2）如图2，过点B作BD⊥OC于D，
∵CD＝OD＝3，
∴BC＝OB，
∴∠BCO＝∠BOC，
过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，OA'，OB，AB，
∴OA＝OA'，
∴∠OAE＝∠OA'E，
∵AB＝AE＝1，AA'＝OE＝2，∠BAA'＝∠AEO＝90°，
∴△A'AB≌△OEA（SAS），
∴∠BA'A＝∠AOE，A'B＝OA＝OA'，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OA'E+∠AA'B＝90°，
∵A'B＝OA＝OA'，
∴△OA'B是等腰直角三角形，
∴∠BOA'＝45°，
∴∠BOD+∠A'OE＝∠BCD+∠AOE＝45°，
∵∠APB＝40°，
∴∠ABP+∠BAP＝140°，
∴∠OAP+∠PBC＝360°﹣140°﹣45°＝175°，
故答案为：175°．
【点评】此题考查了待定系数求一次函数解析式，图形与坐标的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，三角形和四边形的内角和定理，轴对称的最短路径问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
27．（8分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C 是 △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB 不是 △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定义“△ABC关于点P的等距线段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：
（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；证出△PCD是等边三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分别求出当PC＝BC＝a时、当PC＝BC＝a时，△ABC关于点P的等距点，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接PA，如图1﹣1所示：
∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；
（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，
则PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
即线段DC的长为2或1；
（3）当PC＝BC＝a时，
当P为BC的中点，则PB＝PC，
∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：
则PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＜BC，即PC＜；
当PC＝BC＝a时，PB＝a，PE＝BP＝a，
则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＞BC，
∴PC长的取值范围是＜PC＜．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“△ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“△ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．
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