2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
4．（2分）下列数轴上，正确表示不等式3x﹣1＞2x的解集的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与B，C重合），只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件不可以是（ ）
A．∠BAD＝∠CADB．AD＝BCC．BD＝CDD．AD⊥BC
6．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．（2分）如图，点D在BC上，AC＝AE，且∠1＝∠2＝∠3＝30°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．70°C．74°D．75°
8．（2分）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三点A，B，C满足dAC＝dAB﹣dBC，下列四个结论中，不正确的结论是（ ）
A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）用来证明“若2＜3，则2c＜3c”是假命题的c的值可以是 .（举出一个即可）
10．（2分）如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧线相交于点C，连接AC，BC，则∠BAC的度数为 ．
11．（2分）已知点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
12．（2分）如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则小长方形的面积为 ．
13．（2分）如图所示，CE是△ABC的外角∠BCD的角平分线，且CE交AB的延长线于点E，若∠A＝40°，∠E＝18°，则∠ABC的度数为 ．
14．（2分）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 ．
15．（2分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝40°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 ．
16．（2分）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．每次填满表后，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m．
（1）下表所示为符合题意的一种填表方式，则此表的m值等于 ；
（2）在所有的填表可能中，m的最大值为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．解方程组：．
19．解不等式组：．
20．如图，AB＝CD＝4，AD＝3，∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，求DE的长．
21．如图，点M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点．请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
22．如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B在格点上．
（1）已知四边形ABCD关于x轴对称（其中A，B的对称点分别是D，C），补全图形并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
23．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AD＝CD，∠B＝3∠A．
（1）试求∠A的度数；
（2）求证：AB＝3BD．
24．已知关于x，y的二元一次方程x+y＝m，和都是该方程的解．
（1）求a的值；
（2）也是该方程的一个解，求b的值．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BCE的形状，并说明理由．
26．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
27．如图，四边形ABCD中点B，D在直线l上，点A，C在直线l异侧，AD＝AC，∠BAC＝∠BDC．过点A作AH⊥BD于点H．
（1）求证：∠BAH＝∠DAC；
（2）求证：BD＝BC+2BH；
（3）保持点A和点D位置不变，以直线l为x轴，过点A作直线l的垂线为y轴，若点A坐标为（0，4），点D坐标为（6，0）．若运动点B时，点C一直保持在直线l的下方，则点B的横坐标b的取值范围是 ．
28．平面直角坐标系xOy中，过点T（t，0）作垂直于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于y轴对称得到点P1，再将点P1关于直线l对称得到点P2，若P2在y轴和l关于y轴的对称直线l'之间（可以在y轴或者直线l'上），我们就称点P为近t对称点．
（1）在点（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，近1对称点是 ；
（2）点A（a，0）是近2对称点，求a的取值范围；
（3）该坐标系所在平面上一条平行于x轴的线段长为5个单位，若该线段上所有点都是近t对称点，直接写出该线段中点横坐标m的取值范围 ；
（4）若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近（t+1）对称点，求t的取值范围．
2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义解决此题．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键．
2．（2分）下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将各个选项中的x、y的值代入2x+y验证结果是否为7即可．
【解答】解：A．把代入2x+y得，2×（﹣1）+5＝3≠7，因此选项A不符合题意；
B．把代入2x+y得，2×1+5＝7，因此选项B符合题意；
C．把代入2x+y得，2×3+4＝10≠7，因此选项C不符合题意；
D．把代入2x+y得，2×4+3＝11≠7，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的解，理解“解”的定义是正确解答的前提，将x、y的值代入是常用的方法．
3．（2分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
【分析】首先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4．（2分）下列数轴上，正确表示不等式3x﹣1＞2x的解集的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式3x﹣1＞2x的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．
【解答】解：解不等式3x﹣1＞2x得，x＞1，
将x＞1在数轴上表示为：
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与B，C重合），只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件不可以是（ ）
A．∠BAD＝∠CADB．AD＝BCC．BD＝CDD．AD⊥BC
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴当添加∠BAD＝∠CAD时，根据“ASA”可判断△ABD≌△ACD，所以A选项不符合题意；
当添加AD＝BC，不能判断△ABD≌△ACD，所以B选项符合题意；
当添加BD＝CD时，根据“SAS”可判断△ABD≌△ACD，所以C选项不符合题意；
当添加AD⊥BC时，∠ADB＝∠ADC＝90°，根据“AAS”或“HL”可判断△ABD≌△ACD，所以D选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．
6．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【分析】由多边形的内角和定理，即可计算．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6，
故选：A．
【点评】本题考查多边形内角和定理，关键是掌握：多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）．
7．（2分）如图，点D在BC上，AC＝AE，且∠1＝∠2＝∠3＝30°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．70°C．74°D．75°
【分析】根据角的和差推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ADE+∠3＝∠1+∠B，∠1＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠1＝30°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ADB+∠ADE+∠3＝180°，∠3＝30°，
∴∠ADE＝75°，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
8．（2分）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三点A，B，C满足dAC＝dAB﹣dBC，下列四个结论中，不正确的结论是（ ）
A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
【分析】不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，讨论x1，y1的值即可判定．
【解答】解：不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则dAC＝1，dCB＝|x1|+|y1|，dAB＝|x1﹣1|+|y1|，
由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，
当x1＝0，y1≠0时1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；
当x1＝0，y1＝1时，此时△ABC为等腰三角形，故D正确；
当x1＞0时，无解，故A错；
当x1＜0时，此时∠BCA为钝角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故C正确．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）用来证明“若2＜3，则2c＜3c”是假命题的c的值可以是 ﹣2（答案不唯一） .（举出一个即可）
【分析】找到一个满足条件但不满足结论的c的值即可．
【解答】解：根据不等式的性质知：当c＜0时，原命题是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．
10．（2分）如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧线相交于点C，连接AC，BC，则∠BAC的度数为 60° ．
【分析】根据题意得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧线相交于点C，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记“等边三角形的内角均为60°”是解题的关键．
11．（2分）已知点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出a，b的值即可．
【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
则a+b＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
12．（2分）如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则小长方形的面积为 4 ．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入xy中即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝4×1＝4，
∴小长方形的面积为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．（2分）如图所示，CE是△ABC的外角∠BCD的角平分线，且CE交AB的延长线于点E，若∠A＝40°，∠E＝18°，则∠ABC的度数为 76° ．
【分析】由三角形的外角性质可求得∠DCE＝58°，再由角平分线的定义求得∠BCD＝116°，再次利用三角形的外角性质即可求∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠E＝18°，∠DCE是△ACE的外角，
∴∠DCE＝∠A+∠E＝58°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE＝116°，
∵∠BCD是△ABC的外角，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠A＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
14．（2分）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 m＜﹣5 ．
【分析】由图形得：x＞3m+8，根据x＝m﹣2是该不等式的一个解得出m﹣2＞3m+8，据此进一步求解即可．
【解答】解：由图形得：x＞3m+8，
因为x＝m﹣2是x＞3m+8的一个解，
所以m﹣2＞3m+8，
所以m＜﹣5，
故答案为：m＜﹣5．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15．（2分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝40°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 40°或140° ．
【分析】由“HL”可证Rt△DPN≌Rt△DQH，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解；如图，过点D作DH⊥OA于H，DN⊥OB于N，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，
∴DH＝DN，
当点Q在点H的右侧时，
在Rt△DPN和Rt△DQH中，
，
∴Rt△DPN≌Rt△DQH（HL），
∴∠DPO＝∠DQO＝40°，
当点Q'在点H左侧时，同理可求∠DQ'H＝40°，
∴∠DQ'O＝140°，
综上所述：∠DQO的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2分）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．每次填满表后，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m．
（1）下表所示为符合题意的一种填表方式，则此表的m值等于 8 ；
（2）在所有的填表可能中，m的最大值为 10 ．
【分析】（1）根据表中数据即可求出答案；
（2）依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定M的最大值．
【解答】解：（1）根据表中数据可知第三行中五个数之和最小为8．
故答案为：8；
（2）若5个1分布在同一列，则m＝5；
若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2m≤5×1+5×3＝20，故m≤10；
若5个1分布在三列中，则由题意知这两三中出现的最大数至多为3，故3m≤5×1+5×2+5×3＝30，故m≤10；
若5个1分布在四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾．
综上所述，m≤10．
另一方面，如下表的例子说明m可以取到10．故m的最大值为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了有理数的加法，涉及分类讨论的思想，以及合情推理的问题，属于竞赛题型．
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】首先去分母，然后去括号，移项合并，系数化为1，即可求得答案．注意系数化1时，因为系数是﹣1，所以不等号的方向要发生改变，在数轴上表示时：注意此题为空心点，方向向左．
【解答】解：去分母得：x﹣5+2＞2（x﹣3），
去括号得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移项合并得：﹣x＞﹣3，
系数化1，得：x＜3．
∴原不等式的解集为：x＜3．
在数轴上为：
【点评】此题考查了一元一次不等式的解法．注意解不等式依据不等式的基本性质，特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．去分母的过程中注意不能漏乘没有分母的项．用数轴表示不等式的解集时：注意时实心点还是空心点，方向是向右还是向左．
18．解方程组：．
【分析】原式利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②×3得：10x＝30，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≤2，
由②得x＜3.5，
则不等式组的解集为x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．如图，AB＝CD＝4，AD＝3，∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，求DE的长．
【分析】由∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，AB＝CD，根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△DCE，则AC＝DE＝AD+CD＝3+4＝7．
【解答】解：在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS），
∴AC＝DE，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝7，
∴DE＝7，
∴DE的长是7．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DCE是解题的关键．
21．如图，点M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点．请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】连接MN，分别作线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线，交点即为点P．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作图方法及性质是解答本题的关键．
22．如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B在格点上．
（1）已知四边形ABCD关于x轴对称（其中A，B的对称点分别是D，C），补全图形并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点C，D即可；
（2）连接AC交x轴于点P，连接PB即可，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，点P即为所求．
∵A（﹣2，4），C（4，﹣1），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，可得x＝，
∴P（，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
23．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AD＝CD，∠B＝3∠A．
（1）试求∠A的度数；
（2）求证：AB＝3BD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，即可得出∠ACBD＝2∠A，然后利用三角形内角和定理即可求得∠A＝30°；
（2）作DE⊥AC于E，利用角平分线的性质即可得出ED＝BD，然后含30°角的直角三角形的性质得出AD＝2DE＝2BD，即可证得AB＝3BD．
【解答】（1）解：∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠ACBD＝2∠A，
∵∠B＝3∠A，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°；
（2）证明：作DE⊥AC于E，
∵∠B＝3∠A＝90°，CD是∠ACB的角平分线，
∴DE＝DB，
∴∠A＝30°，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DB，
∴AB＝3BD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．已知关于x，y的二元一次方程x+y＝m，和都是该方程的解．
（1）求a的值；
（2）也是该方程的一个解，求b的值．
【分析】（1）根据解得定义，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，进而求出a＝8；
（2）将a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的两个解，进而确定m的值，代入求出b的值即可．
【解答】解：（1）∵和都是关于x，y的二元一次方程x+y＝m的解．
∴1+a+8＝m，2a+1＝m，
解得a＝8；
（2）当a＝8时，二元一次方程的解为和，
∴m＝x+y＝17，
又∵也是x+y＝17的解，
∴b+b＝17，
即b＝．
【点评】本题考查二元一次方程（组）的解，理解解的定义是正确解答的前提．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BCE的形状，并说明理由．
【分析】（1）先证明∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA，得∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠DBA）＝45°，则∠AEB＝135°；
（2）先证明△AEB≌△AEC，BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝135°，再求得∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，则△BCE是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD，
∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠DBA）＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝135°，
∴∠AEB的度数是135°．
（2）△BCE是等腰直角三角形，
理由：由（1）得∠AEB＝135°，
在△AEB和△AEC中，
，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝135°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEB≌△AEC是解题的关键．
26．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
【分析】（1）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；
（2）解方程组用含有k的代数式表示出x和y，结合1＜k≤12即可求出k的值，进而求得方程组的解．
【解答】解：（1），
①+②得，3x﹣y＝k+3，
∵方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
（2），
①×2+②得5x＝2k+3，
①﹣②×2得5y＝k﹣6，
解得x＝，y＝
∵方程组的解x、y均为正整数，且1＜k≤12，
∴k＝11，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出k的值是解此题的关键．
27．如图，四边形ABCD中点B，D在直线l上，点A，C在直线l异侧，AD＝AC，∠BAC＝∠BDC．过点A作AH⊥BD于点H．
（1）求证：∠BAH＝∠DAC；
（2）求证：BD＝BC+2BH；
（3）保持点A和点D位置不变，以直线l为x轴，过点A作直线l的垂线为y轴，若点A坐标为（0，4），点D坐标为（6，0）．若运动点B时，点C一直保持在直线l的下方，则点B的横坐标b的取值范围是 ﹣6＜b＜0 ．
【分析】（1）如图1中，过点A作AJ⊥CD于点J，设AC交BD于点K．利用等角的余角相等证明∠BAH＝∠CAJ，可得结论；
（2）如图1中，在HD上取一点L，使得HL＝HB．利用全等三角形的性质证明BC＝LD，可得结论；
（3）判断出两种特殊位置的b的值，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，过点A作AJ⊥CD于点J，设AC交BD于点K．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AKB＝∠CKD，
∴∠ABH＝∠ACJ，
∵AH⊥BD，AJ⊥CD，
∴∠AHB＝∠AJC＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，∠ACJ+∠CAJ＝90°，
∴∠BAH＝∠CAJ，
∵AC＝AD，AJ⊥CD，
∴∠CAJ＝∠DAJ，
∴∠BAH＝∠CAD；
（2）证明：如图1中，在HD上取一点L，使得HL＝HB．
∵AH⊥BL，BH＝HL，
∴AB＝AL，
∴∠BAH＝∠LAH，
∵∠BAH＝∠CAD，
∴∠BAL＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠LAD，
∵AB＝AL，AC＝AD，
∴△BAC≌△LAD（SAS），
∴BC＝DL，
∵BD＝BL+DL，
∴BD＝2BH+BC；
（3）解：
∵A（0，4），D（6，0），
∴OA＝4，OD＝6，
当点C落在x轴的负半轴上时，此时B，C重合，B（﹣6，0），
当C，D重合时，B（0，0），
观察图象可知点B的横坐标b的取值范围是﹣6＜b＜0．
故答案为：﹣6＜b＜0．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
28．平面直角坐标系xOy中，过点T（t，0）作垂直于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于y轴对称得到点P1，再将点P1关于直线l对称得到点P2，若P2在y轴和l关于y轴的对称直线l'之间（可以在y轴或者直线l'上），我们就称点P为近t对称点．
（1）在点（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，近1对称点是 （﹣2，0）和（﹣，0） ；
（2）点A（a，0）是近2对称点，求a的取值范围；
（3）该坐标系所在平面上一条平行于x轴的线段长为5个单位，若该线段上所有点都是近t对称点，直接写出该线段中点横坐标m的取值范围 t＞0时，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0时，﹣2t≤m≤﹣3t﹣ ；
（4）若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近（t+1）对称点，求t的取值范围．
【分析】（1）设P（x，y），根据题意求出P2（2t+x，y），再分两种情况讨论：当t＞0时，﹣3t≤x≤﹣2t，当t＜0时，﹣2t≤x≤﹣t，由此可知当t＝1时，当﹣3≤x≤﹣2时，点P是近1对称点，结合所给的点的横坐标进行判断即可；
（2）利用（1）的结论直接写出结果即可；
（3）线段的左端点横坐标为m﹣，线段的右端点横坐标为m+，由（1）可知，当t＞0时，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；当t＜0时，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
（4）设三角形近t对称点经过变换后，B横坐标为a，C的横坐标为a+4，三角形近t+1对称点经过变换后，B'横坐标为a+2，C'的横坐标为a+6，可得BC'＝6，再结合题意，当t＜0时，﹣（t+1）≥6，解得t≤﹣7，当t＞0时，﹣t≤﹣6，解得t≥6．
【解答】解：（1）设P（x，y），
∵点P1与P点关于y轴对称，
∴点P1（﹣x，y），
∵直线x＝t，
∴点P2关于x＝t对称的点P2（2t+x，y），
∴直线x＝t关于y轴对称的直线为x＝﹣t，
∵P2在y轴和l关于y轴的对称直线l'之间，
∴当t＞0时，﹣t≤2t+x≤0，解得﹣3t≤x≤﹣2t，
当t＜0时，0≤2t+x≤t，解得﹣2t≤x≤﹣t，
∵t＝1，
∴﹣3≤x≤﹣2时，点P是近1对称点，
∴点（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，（﹣2，0）和（﹣，0）是近1对称点，
故答案为：（﹣2，0）和（﹣，0）；
（2）∵点A（a，0）是近2对称点，
由（1）可得﹣6≤a≤﹣4；
（3）∵线段长为5，线段中点横坐标m，
∴线段的左端点横坐标为m﹣，线段的右端点横坐标为m+，
由（1）可知，当t＞0时，m﹣+2t≥﹣t，2t+m+≤0，
∴﹣3t≤m≤﹣2t﹣；
当t＜0时，2t+m﹣≥0，2t+m+≤﹣t，
∴﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
综上所述：t＞0时，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0时，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
故答案为：t＞0时，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0时，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
（4）∵等腰直角三角形的底边为4，
设三角形近t对称点经过变换后，B横坐标为a，C的横坐标为a+4，
三角形近t+1对称点经过变换后，B'横坐标为a+2，C'的横坐标为a+6，
∴BC'＝6，
∵等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近（t+1）对称点，
∴如图1，当t＜0时，﹣（t+1）≥6，解得t≤﹣7，
如图2，当t＞0时，﹣t≤﹣6，解得t≥6，
综上所述：t≤﹣7或t≥6时，底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近（t+1）对称点．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，弄清定义，根据定义探索出对应点的横坐标的一般规律，数形结合，分类讨论是解题的关键．
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