2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2x3）2＝4x6B．a2+a2＝a4
C．2x+3x＝5x2D．（x+2）2＝x2+4
3．（2分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，2cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
4．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）D．x+1＝x（1+）
5．（2分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab
6．（2分）多项式mx2﹣4m与多项式x2﹣4x+4的公因式是（ ）
A．x+2B．x﹣2C．x2﹣9D．（x﹣2）2
7．（2分）如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，则CD＝（ ）
A．4B．1C．2D．3
8．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ ）
A．80°B．60°C．40°D．30°
9．（2分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为b，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x＝bB．x≥aC．x＝b或x＞aD．x＝b或x≥a
10．（2分）已知，△ABC是等边三角形．点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，则∠FBD的度数是（ ）
A．30°或60°B．20°或40°C．15°或30°D．20°或30°
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
12．（3分）计算：（am+bm）÷m＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为 ．
14．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，工人测量A'B'的长度即可知道工件内槽宽AB的长度，理由是 ．
15．（3分）等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是 ．
16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则a2+b2＝ ．
17．（3分）如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，则OC＝ ，PD＝ ．
18．（3分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 （用含a，b的式子表示）．
三、解答题（共56分，其中19题8分；20题10分；21题5分；22题6分；23题7分，24题，25题每题6分；26题8分）
19．（8分）分解因式：
（1）a2+ab+2a；
（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．
20．（10分）计算：
（1）（2x+3y）（2x﹣y）；
（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．
21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
22．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P的坐标 ；
（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．
24．（6分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．
（1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
求证：AE+AC＝BC．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的＜l1，l2＞伴随图形．
例如：点P（2，1）的＜x轴，y轴＞伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣5，﹣2）的＜x轴，y轴＞伴随图形点Q′的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，4），直线m经过点（1，1）．直线n经过点（﹣1，﹣1）
①当t＝3，且直线m与y轴平行时，直线n与x轴平行时，求点A的＜n，m＞伴随图形点A'的坐标；
②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞伴随图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，每题2分，共20分）
1．（2分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2x3）2＝4x6B．a2+a2＝a4
C．2x+3x＝5x2D．（x+2）2＝x2+4
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，合并同类项法则，完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、原式＝4x6，原计算正确，故此选项符合题意；
B、原式＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝5x，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式＝x2+4x+4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解本题的关键．
3．（2分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，1cm，2cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【分析】利用三角形的三边关系定理进行分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+1＝2，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）D．x+1＝x（1+）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x（x﹣1）＝x2﹣x，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．（x+1）2＝x2+2x+1，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x+1＝x（1+），等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．
5．（2分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab
【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）＝a2+ab
【解答】解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，
∴可得a（a+b）＝a2+ab
故选：D．
【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．
6．（2分）多项式mx2﹣4m与多项式x2﹣4x+4的公因式是（ ）
A．x+2B．x﹣2C．x2﹣9D．（x﹣2）2
【分析】用提取公因式法和公式法分解因式，再根据公因式定义求得结果．
【解答】解：∵mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴mx2﹣4m与多项式x2﹣4x+4的公因式是（x﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查因式分解与公因式的定义，关键是熟练掌握因式分解的方法．
7．（2分）如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，则CD＝（ ）
A．4B．1C．2D．3
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠1＝∠CAD，结合题意利用AAS证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴∠2+∠CAD＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠CAD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴BC＝CD，
∵BC＝3，
∴CD＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
8．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ ）
A．80°B．60°C．40°D．30°
【分析】根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，然后根据AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，证得DE＝EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．
∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，
∴DE＝EC．
∴∠EDC＝∠C＝20°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE＝EC是本题的关键．
9．（2分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为b，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x＝bB．x≥aC．x＝b或x＞aD．x＝b或x≥a
【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【解答】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为b，
∴BD＝b，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝b，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当b＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝b或x≥a，
故选：D．
【点评】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．
10．（2分）已知，△ABC是等边三角形．点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，则∠FBD的度数是（ ）
A．30°或60°B．20°或40°C．15°或30°D．20°或30°
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD＝∠CBE，设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠DBF＝60°﹣x，分三种情况：①若FD＝FB，则∠FBD＝∠FDB＞∠A，证出∠FBD＜60°，得出FD＝FB的情况不存在；②若DB＝DF，则∠FBD＝∠BFD＝2x，得出方程60°﹣x＝2x，解方程即可得出结果；③若BD＝BF，则∠BDF＝∠BFD＝2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠BCD＝∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE，
设∠BCD＝∠CBE＝x，
∴∠DBF＝60°﹣x，
若△BFD是等腰三角形，分三种情况：
①若FD＝FB，则∠FBD＝∠FDB＞∠A，
∴∠FBD＝∠FDB＞60°，
但∠FBD＜∠ABC，
∴∠FBD＜60°，
∴FD＝FB的情况不存在；
②若DB＝DF，则∠FBD＝∠BFD＝2x，
∴60°﹣x＝2x，
解得：x＝20°，
∴∠FBD＝40°；
③若BD＝BF，如图所示：
则∠BDF＝∠BFD＝2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD＝180°，
∴60°﹣x+2x+2x＝180°，
解得：x＝40°，
∴∠FBD＝20°；
综上所述：∠FBD的度数是40°或20°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60＝6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
12．（3分）计算：（am+bm）÷m＝ a+b ．
【分析】利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（am+bm）÷m
＝am÷m+bm÷m
＝a+b，
故答案为：a+b．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为 60° ．
【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根据旋转的性质得CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′＝60°，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，
14．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，工人测量A'B'的长度即可知道工件内槽宽AB的长度，理由是 根据SAS证明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根据测量两点之间的距离，根据全等的条件之一SAS证得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
15．（3分）等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是 22 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18
∴腰的不应为4，而应为9
∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22
故填：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则a2+b2＝ 2 ．
【分析】利用完全平方公式变形，将a+b与ab代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（3分）如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，则OC＝ 10 ，PD＝ 5 ．
【分析】求出∠COP＝∠CPO＝∠BOP，即可得出PC＝OC，根据角平分线的性质得出PD＝PE，求出PE，即可求出PD．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，
∴PC＝OC，
∵PC＝10，
∴OC＝PC＝10，
过P作PE⊥OA于点E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OB，∠AOB＝30°
∴∠ECP＝∠AOB＝30°
在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，
∴PD＝PE＝5，
故答案为：10，5．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
18．（3分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 a+b （用含a，b的式子表示）．
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共56分，其中19题8分；20题10分；21题5分；22题6分；23题7分，24题，25题每题6分；26题8分）
19．（8分）分解因式：
（1）a2+ab+2a；
（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．
【分析】（1）直接提取公因式a分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a2+ab+2a
＝a（a+b+2）；
（2）（2m+n）2﹣（m+n）2
＝[（2m+n）+（m+n）][（2m+n）﹣（m+n）]
＝（2m+n+m+n）（2m+n﹣m﹣n）
＝m（3m+2n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握公因式的确定是解题关键．
20．（10分）计算：
（1）（2x+3y）（2x﹣y）；
（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答；
（2）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（2x+3y）（2x﹣y）
＝4x2﹣2xy+6xy﹣3y2
＝4x2+4xy﹣3y2；
（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2
＝4x2y3÷4x2y2﹣8x3y2z÷4x2y2
＝y﹣2xz．
【点评】本题考查了整式的除法，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1
＝﹣x2+x+2，
当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
22．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论．
【分析】结论：AE＝EC．只要证明△ADE≌△CFE即可；
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE＝EC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P的坐标 （﹣5，0） ；
（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．
【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0），
故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）；
（2）符合条件的△AOP如图所示：
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．
24．（6分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．
（1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 （x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
【分析】（1）根据题意用含x的式子表示其余三个数，表达规律即可；
（2）根据整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化简，即可证明．
【解答】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为x，则其余三个数从小到大依次是：x+1，x+7，x+8，
∴规律用含x的式子可表示为（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；
故答案为：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；
（2）证明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）
＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）
＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x
＝7．
【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．
求证：AE+AC＝BC．
【分析】在CB上截取CF，使CF＝CA，连接EF，根据全等三角形的性质推出AE＝FE，根据FB＝FE，得到AE＝FB，得出AE+AC＝FB+FC＝BC．
【解答】证明：如图，在CB上截取CF，使CF＝CA，连接EF，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠FCE，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE（SAS），
∴∠EAC＝∠EFC，AE＝FE，
∵∠EAC＝2∠EBC，
∴∠EFC＝2∠EBC，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴BF＝EF＝AE，
∴BC＝BF+CF＝AE+AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的＜l1，l2＞伴随图形．
例如：点P（2，1）的＜x轴，y轴＞伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣5，﹣2）的＜x轴，y轴＞伴随图形点Q′的坐标为 （5，2） ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，4），直线m经过点（1，1）．直线n经过点（﹣1，﹣1）
①当t＝3，且直线m与y轴平行时，直线n与x轴平行时，求点A的＜n，m＞伴随图形点A'的坐标；
②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞伴随图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据根据伴随图形的定义即可得出结论；
（2）①t＝3时，A点坐标为（3，1），直线m为x＝1，直线n为y＝﹣1，此时点A先关于直线x＝1对称的点坐标为（﹣1.1），再关于直线y＝﹣1对称的点坐标为（﹣1，﹣3），进而得到点的伴随图形点A'坐标；
②由题意得，直线m为y＝x，A、B、C三点的＜x轴，m＞伴随图形点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣4）、（﹣4，t），由题意可得|t|＜2或|t﹣4|＜2，解出t的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知（﹣5．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣5，2）；
（﹣5，2）沿y轴翻折得点坐标为（5.2），
∴点Q（3，﹣2）的＜x轴，y轴＞双反图形点Q'的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（5.2）；
（2）①当t＝3时，A点坐标为（3，1），
∵直线m经过点（1，1），且直线m与y轴平行，
∴直线m为x＝1，
∴（3，1）沿x＝1轴翻折得点坐标为（﹣1，1），
∵直线n经过点（﹣1，﹣1），且直线n与x轴平行，
∴直线n为y＝﹣1，
∴（﹣1，1）沿直线y＝﹣1翻折得点坐标为（﹣1，﹣3），
∴点A的＜n，m＞伴随图形点A'的坐标为（﹣1，﹣3）；
②∵直线m经过原点，且经过点（1，1），
∴直线m为y＝x，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣4，﹣1）、（t，﹣4），
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣4）、（﹣4，t），
由题意可知：|t|＜2或|t﹣4|＜2，
解得：﹣2＜t＜2或2＜t＜6，
∴t的取值范围为﹣2＜t＜6，且t≠2．
【点评】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．
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