新高考数学一轮复习考点过关练习 平面向量的线性运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 平面向量的线性运算（含解析），共33页。

1. 向量的线性运算
2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
3、加法运算的推广
(1)加法运算的推广：eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→)).
(2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
4、线性运算重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
(2)若G为△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(n,m＋n)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(m,m＋n)eq \(AC,\s\up6(→))，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
【题型归纳】
题型一：平面向量的加法
1．正方形 SKIPIF 1 < 0 中， 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个三等分点， 那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
2．已知等腰 SKIPIF 1 < 0 的直角边长为1， SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 正方形网格中，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二： 平面向量的减法
4．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三： 平面向量的数乘
7． SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0

题型四：向量的线性运算的几何应用
10．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，己知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．如图， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 上的中线， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点F，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【双基达标】
13．如图所示，向量 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．如图所示，等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．化简 SKIPIF 1 < 0 的结果为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．化简 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．已知点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，若动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 一定经过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
18．在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不是方向相反的向量，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 中点，则向量 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的中线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．若M为△ABC的边AB上一点，且 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
25．在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
27．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．在 SKIPIF 1 < 0 中，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
29．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为相反向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为实数0C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同D． SKIPIF 1 < 0
30．已知非零平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的是（ ）
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （4）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（3）（4）
【高分突破】
单选题
31．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
32．如图，在△ SKIPIF 1 < 0 中，点M是 SKIPIF 1 < 0 上的点且满足 SKIPIF 1 < 0 ，N是 SKIPIF 1 < 0 上的点且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于P点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
33．如图，四边形ABCD是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
34．化简下列各式：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中结果为 SKIPIF 1 < 0 的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
35．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲： SKIPIF 1 < 0 ； 乙： SKIPIF 1 < 0 ；
丙： SKIPIF 1 < 0 ； 丁： SKIPIF 1 < 0 ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
36．如图，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的内部， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点不共线)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
37．如图，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 可以表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
38．在平面直角坐标系中，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
39．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
40．下列说法错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
B．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
41．等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
42．设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为2，则 SKIPIF 1 < 0 面积为_______________．
43．在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
44．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
45．点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积之比是___________.
46．如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．

47．在直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 为原点,O、A、B不共线， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
四、解答题
48．如图所示， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条中线，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别与射线 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如果 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
49．如图，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长等于单位长度1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试着写出向量.
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，并求出它的模.
50．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 与矩形 SKIPIF 1 < 0 全等，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 .
51．已知 SKIPIF 1 < 0 中，过重心G的直线交边 SKIPIF 1 < 0 于P，交边 SKIPIF 1 < 0 于Q，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
52．（1）化简： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）已知向量为 SKIPIF 1 < 0 ，未知向量为 SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 ．
运
算
定义
法则
(或几何意义)
运算律(性质)
加
法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减
法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数
乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；
其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0
设λ，μ∈R，则
λ(μa)＝μ(λa)；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.
【详解】
解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．A
【解析】
【分析】
由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
由向量加减法运算法则，得到所求向量为 SKIPIF 1 < 0 ，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法的三角形法则及平行四边形的性质即可求解.
【详解】
由向量减法的运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解．
【详解】
解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据平面向量的加减运算可得.
【详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案
【详解】
连接AC，BD相交于点O，则 SKIPIF 1 < 0
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行求解
【详解】
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
10．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算即可得出答案.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据已知有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，即可得结果.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
13．C
【解析】
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中化简即可.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
14．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
16．B
【解析】
【分析】
根据向量加法法则即可计算.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
17．D
【解析】
【分析】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，得直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，进而得结论
【详解】
解：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 一定过 SKIPIF 1 < 0 的重心，
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
根据平面向量加减运算法则计算可得.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
19．B
【解析】
【分析】
直接由 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】
由已知必有 SKIPIF 1 < 0 ，则所求的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
20．D
【解析】
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
21．C
【解析】
【分析】
利用向量模的三角不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
22．A
【解析】
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 SKIPIF 1 < 0 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 SKIPIF 1 < 0 ，之后将其合并，得到 SKIPIF 1 < 0 ，下一步应用相反向量，求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
23．A
【解析】
先用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ，再转化为用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 即可得答案.
【详解】
解：根据题意做出图形，如图，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
24．C
【解析】
由非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，推导出“ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”，从而得到“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分必要条件．
【详解】
非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”， SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”，
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分必要条件．
故选：C.．
【点睛】
该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题目．
25．C
【解析】
由平面向量的线性运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】
由题意作出图形，如下图，

所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
26．B
【解析】
由题意分析可知，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形且 SKIPIF 1 < 0 ，然后求解 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形.
且 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
27．A
【解析】
【分析】
利用向量知识可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的运算律运算得到 SKIPIF 1 < 0 是解题关键.
28．A
【解析】
利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
29．D
【解析】
【分析】
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为相反向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 模相等、方向相反，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B错误； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相反，故C错误； SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
30．B
【解析】
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即（1）错；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即（2）正确；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；即（3）正确；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
31．B
【解析】
【分析】
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
根据三点共线有 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，P，M共线，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ①，
由N，P，B共线，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
33．D
【解析】
【分析】
由平面向量的加减法法则进行计算.
【详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
34．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①： SKIPIF 1 < 0 ，
对于②： SKIPIF 1 < 0 ，
对于③： SKIPIF 1 < 0 ，
对于④： SKIPIF 1 < 0 ，
所以结果为 SKIPIF 1 < 0 的个数是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
35．B
【解析】
【分析】
先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】
甲： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故P为△ABC的重心；
乙： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
36．B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为120°，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，数量积.
37．C
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
38．BCD
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
解：设第四个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
对于A选项，当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，B正确；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，C正确；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
39．BD
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 不正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 不正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
选项 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
40．AC
【解析】
【分析】
若 SKIPIF 1 < 0 可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可判断C；取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量的线性运算可得 SKIPIF 1 < 0 可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 不唯一，故选项A错误；
对于B：两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向，故选项B正确；
对于C：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C不正确；
对于D：在 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故选项D正确．
故选：AC．
41．AC
【解析】
【分析】
可画出图形，根据条件可得出 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，从而得出选项A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出选择B错误；
可设 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出选项C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出选项D错误．
【详解】
如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 A正确；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D错误.
故选：AC
42．3
【解析】
【分析】
由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求得答案
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3
43． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，再应用向量数量积的运算律及已知条件求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
44． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分别把向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 用基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }表示出，结合 SKIPIF 1 < 0 得到含有系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的 SKIPIF 1 < 0 的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，进而求得结论．
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
45． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先将已知的向量关系式化为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可知 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为三角形 SKIPIF 1 < 0 的中位线，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别设 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面积之比等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
46． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件找出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出 SKIPIF 1 < 0 ，然后表示为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】
延长 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
47．0
【解析】
根据向量的线性运算求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据对应关系求出 SKIPIF 1 < 0 的值即可．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0．
48．(1)见详解
(2)3
(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， 结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，进而可以表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(3)
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（1）（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
49．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，2.
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 即得解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
50．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.
(1)
SKIPIF 1 < 0 .
(2)
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为矩形 SKIPIF 1 < 0 与矩形 SKIPIF 1 < 0 全等，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
51．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于D，则D为BC中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可建立关系求得；
（3）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根 SKIPIF 1 < 0 结合 SKIPIF 1 < 0 的范围求出.
【详解】
（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于D，则D为BC中点，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 G是重心， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，
则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
52．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可.
（2）联立题设向量的线性关系式，可得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性表达式，进而求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性表达式.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
∴① SKIPIF 1 < 0 +② SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．