专题01 平面直角坐标系与函数概念（知识串讲+12大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的特征：
第一象限（+，+）；
第二象限（—，+）；
第三象限（一，一）；
第四象限（+，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0；
若点P在y轴上，则a=0；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）．
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
⑤点P到点M的距离：PM=
⑥线段PM的中点坐标：（）
（二）函数及自变量的取值范围
（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法．
（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
（6）函数自变量取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
（三）函数图像的分析与判断
分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：（2022下·河北邯郸·七年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）

A．3,3B．3,2C．0,3D．1,3
【答案】D
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案．
【详解】解：∵表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，
∴可得平面直角坐标系如图所示：

∴棋子“炮”的点的坐标为：1,3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
【变式1】（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）若正整数x，y满足，x2−y2=64，则这样的正整数对x,y有（ ）对
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由平方差公式可知x2−y2=x+yx−y，x+y与x−y同为奇数或偶数，将64分为两个偶数的积，分别解方程组即可．
【详解】解：∵x2−y2=x+yx−y，64=32×2=16×4，
∴x+y=32x−y=2或x+y=16x−y=4，
解得x=17y=15或x=10y=6，
∴满足条件的正整数对x,y的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用、解二元一次方程组，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同是解题的关键．
【变式2】（2023下·四川泸州·七年级统考期末）如图是某校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个主要位置恰好落在整格点，若实验楼的坐标为−1,3，校门的坐标为−6,0．则图书馆的坐标是（ ）

A．−3,−3B．−2,−3C．0,−3D．1,−3
【答案】B
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系即可解答．
【详解】解：由实验楼的坐标为−1,3，校门的坐标为−6,0，可建立如图所示坐标系：

则图书馆的坐标是−2,−3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置并建立直角坐标系是解题关键．
【变式3】（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°）B．（75°，4）C．（4，90°）D．（4，60°）
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°，进而得出∠DOC的度数，利用A，B两点坐标得出2，4代表圆环上数字，角度是与CO边的夹角，根据∠DOC的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
【详解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，
∴∠AOB=120°，
∵OD为∠BOA的平分线，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，
∵A点可表示为（2，30°），B点可表示为（3，150°），
∴D点可表示为：（4，90°）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，B点所表示的意义是解决问题的关键．
考点2：求点的坐标
典例2：（2023上·四川达州·八年级校考期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点1,−3上，“相”位于点3,−3上，则“炮”位于点（ ）

A．−1,1B．−1,2C．−2,0D．−2,2
【答案】C
【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系，根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．
【点睛】根据“帅”位于点1,−3上，“相”位于点3,−3上可建立如图的直角坐标系，
，
∴“炮”位于点−2,0，
故选：C．
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为4,3，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是（ ）

A．−4,3B．−4,2
C．−4,2或−4,3D．4,2或−4,2或−4,3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，根据对称性分情况讨论即可，掌握数形结合的思路是解题的关键．
【详解】解： 当△ABD1≌△ABC时，△ABD和△ABC关于y轴对称，如下图所示：

∴点D1的坐标是−4,3，
当△ABD2≌△BAC，过D2作D2G⊥AB，过C点作CH⊥AB，如上图所示，
△ABD2边AB上的高D2G与△BAC的边AB上高CH相等，
∴D2G=CH=4，AG=BH=1，
∴OG=2，
∴点D2的坐标是−4，2，
当△ABD3≌△BAC过D3作D3G⊥AB，如上图所示，
△ABD3边AB上的高D3G与△BAC的边AB上高CH相等，
∴D3G=CH=4，AG=BH=1，
∴OG=2，
∴点D3的坐标是4，2，
综上所述，点D的坐标是D1−4,3，D2−4，2或D34，2，
故选：D．
【变式2】（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系xOy中，如果右眼B的坐标是−3，3，那么这只“大白”的左眼A的坐标是（ ）
A．−2，3B．−3，4C．−4，3D．−3，2
【答案】C
【分析】根据右眼B的坐标是−3，3，向左平移一格即可得出点A的坐标．
【详解】解：∵ B的坐标是−3，3，左移1个单位得到点A的坐标
∴A−4，3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便．
【变式3】（2022上·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是0,2，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ）

A．2,1B．3,1C．1,3D．1,2
【答案】B
【分析】如图，作辅助线；证明△OBC≌△ECD，得到DE=OC，CE=OB；求出OC、OB的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E；

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，而∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=∠OCB+∠DCE，
∴∠OBC=∠DCE；
在△OBC与△ECD中，
∠OBC=∠ECD∠BOC=∠CEDBC=CD，
∴△OBC≌△ECD(AAS)，
∴DE=OC，CE=OB；
由题意得：BC2=OB2+OC2，而OB=2，BC=5，
∴OC=1，DE=1，CE=2，
∴点D的坐标为(3,1)．
故选：B．
【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以坐标与图形的关系、全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
考点3：判断点所在的象限
典例3：（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．点P−1,2023在第四象限
B．点M在第二象限，且到x轴和y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为−4,3
C．平面直角坐标系中，点Px,y位于坐标轴上，那么xy=0
D．已知点P−5,6，Q−3,6，则直线PQ∥y轴
【答案】C
【分析】本题考查了点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形，熟练掌握点的坐标特征是解题关键．根据点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形的特点逐项判断即可得．
【详解】解：A、点P−1,2023在第二象限，则此项错误，不符合题意；
B、点M在第二象限，且到x轴和y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为−3,4，则此项错误，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点Px,y位于坐标轴上，那么xy=0，则此项正确，符合题意；
D、已知点P−5,6，Q−3,6，则直线PQ∥x轴，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则点a,bc在（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】直接根据函数图象，可以判断开口方向，对称轴的位置和抛物线与y轴交点位置，
记忆方法：开口向下，a0，b的符号结合对称轴位置即可判定，c的符号可直接读取．
【详解】由题可知，抛物线开口向下；
∴a0，结合a0；
∵抛物线交y轴负半轴；
∴c0，
解得：x>−6且x≠1，
故答案为：x>−6且x≠1．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负．
【变式3】（2022·湖北襄阳·统考一模）函数y=1−x+1x+2自变量x的取值范围是 ．
【答案】−20②，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：{1−x≥0①x+2>0②
由①得：x≤1,
由②得：x>−2,
所以不等式组的解集为：−24时，4x=20时，
解得：x=5，符合题意，
∴综上所述：x=−17或x=5．
故答案为：−17或5．
【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型．根据取值范围确定自变量的值是解题的关键．
【变式3】（2022上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）函数y=2x2+4(x≤3)3x(x>3)，当函数自变量 x=−1时， y = ；当y=6时， x = ．
【答案】 6 1或−1/−1或1
【分析】根据函数自变量的范围，将x=−1代入2x2+4，根据y=6，分别解方程6=2x2+4,6=3x，结合自变量的取值范围即可求解．
【详解】解：当函数自变量 x=−1时，∵−13，6=3x解得：x=2，舍去
∴x=1或x=−1，
故答案为：40，1或−1．
【点睛】本题考查了求函数自变量的值或函数值，根据平方根的定义解方程，注意自变量的取值范围是解题的关键．
考点11：实际问题与函数图像
典例11：（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）金鱼公园是白银市的主要城市公园，是白银市市民和外来游客健身、休闲、娱乐的主要场所．周末小斌在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回bb