专题02 一次函数及其应用（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

这是一份专题02 一次函数及其应用（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题02一次函数及其应用知识串讲+10大考点全国通用原卷版docx、专题02一次函数及其应用知识串讲+10大考点全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母与的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，AB=10，点P在线段AB上（点P不与点A，B重合），以BP为边作正方形BCDP．设BP=x，AP=y，正方形BCDP的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系图
【答案】A
【分析】根据AB=10可得y=−x+10，则y与x成一次函数，再根据正方形的面积公式可得S=x2，则S与x满足的函数关系是二次函数关系．
【详解】解：由题意得：y=−x+10、S=x2 ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【分析】根据正比例函数定义即可得答案．
【详解】A．根据正方形的周长公式可得C=4a，这是一个正比例函数；
B．根据速度=路程÷时间可得v=st，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度=总长−减去的长度可得y=40−x，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得V=m3，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键．
【变式2】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数y=(m+1)xm2−m+3x，下列说法错误的是( )
A．当m=−1时，该函数为正比例函数B．当m2−m=1时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，m=2或m=−1D．当该函数为二次函数时，m=2
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】A、当m=−1时，该函数y=3x为正比例函数，故不符合题意；
B、当m2−m=1时，m=1±52，即m+4≠0，该函数为一次函数，故不符合题意；
C、当m=−1时，该函数y=3x为正比例函数，故符合题意；
D、当该函数为二次函数时，m=2，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【变式3】（2022下·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知函数y=m−2xm2−3+n+2，（m ，n是常数）是正比例函数，m+n的值为（ ）
A． −4或0B． ±2C．0D． −4
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．
【详解】∵函数y=m−2xm2−3+n+2，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴m2−3=1①m−2≠0②n+2=0③，
解得，m=±2m≠2n=−2，
∴m=−2n=−2，
∴m+n=−4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
考点2：正比例函数图像性质
典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数y=kx(k≠0)中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数y=x2−x+k−1的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质以及二次函数图象与x轴交点问题．由在正比例函数y=kx(k≠0)中，y的值随x值的增大而减小，可得k0，即可得答案．
【详解】解：∵在正比例函数y=kx(k≠0)中，y的值随x值的增大而减小，
∴k0，
∴关于x的一元二次方程x2−x+k−1=0根有两个不相等的实数根，即二次函数y=x2−x+k−1的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知y与x−1成正比例，且当x=3时，y=4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点−1,m在这个函数图像上，求m的值．
【答案】(1)y=2x−2
(2)m=−4
【分析】（1）根据y与x−1 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将x=3 ，y=4代入求解即可；
（2）将−1,m代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值．
【详解】（1）解：由 y与x−1 成正比例可设：y=kx−1k≠0 ；
将x=3 ，y=4代入得：3−1k=4，
解得：k=2
∴ y与x的函数解析式为：y=2x−1=2x−2；
（2）解：将点−1,m 代入y=2x−2中得：
m=2×−1−2
解得：m=−4．
【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键．
【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）已知y是x的正比例函数，当x=3时，函数y的值等于−6．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中作出函数图像，若点P−1,m的图像上，求m的值．
【答案】(1)y=−2x
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将点P−1,m代入（1）中解析式中求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵当x=3时，函数y的值等于−6，
∴3k=−6，则k=−2，
∴正比例函数的解析式为y=−2x；
（2）解：在直角平面坐标系中作出函数图像，如图，
∵P−1,m在函数图像上，
∴m=−2×−1=2．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、画正比例函数图像、正比例函数图像上点的坐标特征，正确求得正比例函数的解析式是解答的关键．
【变式3】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）平面直角坐标系内有两点A(−2，1)、B(3，1)，如果正比例函数y=kx的图象与线段AB有交点，那么k的取值范围是( )
A．−2≤k≤3B． k≤−2或k≥3
C．−12≤k≤13D． k≤−12或k≥13
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
如图，由题意知，根据A(−2，1)、B(3，1)，确定此时的k值，然后根据正比例函数y=kx的图象越靠近y轴，k的值越大，进行作答即可．
【详解】解：如图，

将A(−2，1)、B(3，1)分别代入y=kx，
解得，k=−12，k=13，
由题意知，正比例函数y=kx的图象越靠近y轴，k的值越大，
∴正比例函数y=kx的图象与线段AB有交点，则k≤−12或k≥13；
故选：D．
考点3：一次函数定义
典例3：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①y=kx+b；②y=2x；③y=−3x；④y=13x+3；⑤y=x2−2x+1．是一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，解答即可．
【详解】①y=kx+b，当k=0时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
②y=2x，④y=13x+3，是一次函数，故此选项符合题意；
③y=−3x，⑤y=x2−2x+1，不是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．−2C．±2D．±2
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，
∴m2−3=1，且m−2≠0，解得m=−2，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0，准确列式是解决问题的关键．
【变式2】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数y=−2x+1中，当−1≤x≤3时，则函数y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤5B．−5≤y≤3C．−3≤y≤5D．−3≤y≤3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握由k的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．
【详解】解：对于一次函数y=−2x+1，
∵k=−20，y=0，y0时，x0.5时，y