专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝1x−1C．y＝x−1D．y＝1x−1
【答案】D
【分析】根据分式的概念，二次根式的概念进行判别即可．
【详解】解：A、自变量x取任意实数，故A选项错误，不符合题意；
B、x﹣1≠0，解得x≠1，故B选项错误，不符合题意；
C、x﹣1≥0，解得x≥1，故C选项错误，不符合题意；
D、x﹣1＞0，解得x＞1，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念、二次根式的概念，解题的关键是掌握分式的概念、二次根式的概念．
2．（2022下·全国·九年级专题练习）如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由题意依据函数的定义对各个函数图形进行分析判断即可得出答案.
【详解】解：由对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应可知，
①、②、③表示y是x的函数，④不构成函数关系，共有3个.
故选：C．
【点睛】本题考查函数的识别，注意掌握在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3．（2022下·辽宁大连·八年级统考期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（ ）
A．πB．rC．CD．r，C
【答案】D
【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，来解答．
【详解】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，可知自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．
4．（2022上·江西抚州·八年级统考期末）2021年10月16日神舟十三号飞船在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留183天后于2022年4月16日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ）
A．内蒙古中部B．酒泉卫星发射中心东北方向800km处
C．东经130°25'~98°10'D．北纬54°35'~38°20'
【答案】B
【分析】根据位置的表示法，直接判断即可．
【详解】ACD描述的并非具体位置，B点描述的是具体位置，
故选B．
【点睛】本题考查了用语言描述具体位置，描述的位置必须具体．
5．（2022下·福建泉州·八年级校联考期中）函数y=1x的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≥1D．x≤1
【答案】A
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：函数y=1x的自变量x的取值范围是x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
6．（2022上·四川成都·八年级校考期中）若点P在第二象限，点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是3，点P的坐标是（ ）
A．−7,3B．7,−3C．−3,7D．3,−7
【答案】C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】∵点P在第二象限，
∴xP0，
∵点P到x轴的距离是7，
∴yP=7，
∴yP=7，
∵点P到y轴的距离是3，
∴xP=3，
∴xP=−3，
∴点P的坐标是−3,7．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
7．（2022上·河南郑州·八年级郑州四中校考开学考试）下列四个命题中，正确的个数有( )
①数轴上的点和有理数是一一对应的：②估计33的值在4和5之间；③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5；④在平面直角坐标系中点(2，-3)关于x轴对称的点的坐标是(2，3)：
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用实数的性质、勾股定理、对称点的坐标及无理数的估算分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①数轴上的点和实数是一一对应的，故错误，是假命题；
②5＜33＜6，估计33的值在5和6之间，故错误，是假命题；
③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或7，故错误，是假命题；
④在平面直角坐标系中点（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3），故正确，是真命题；
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、无理数的估算、勾股定理、关于对称轴的点的坐标，难度不大．
8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的定义：“在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量”．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：A、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、对于每一个x的值，不都是有唯一一个y值与其对应，有时有多个y值相对应，所以y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．（2022下·广东东莞·七年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A−3,2，AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为（ ）
A．1,2B．−3,6或−3,−2C．−7,2D．1,2或−7,2
【答案】D
【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB=4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．
【详解】解：∵AB∥x轴，点A−3,2，
∴A、B两点纵坐标都为2，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B−7,2，
当B点在A点右边时，B1,2．
∴点B的坐标为1,2或−7,2．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行于x轴的直线上的点纵坐标相等的特征，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．正确理解和掌握平行于x轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
10．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将动点P的运动过程划分为AD、DC、CB、BA共4个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【详解】解：动点P运动过程中：
①当0≤s≤1时，动点P在线段AD上运动，此时y＝2保持不变；
②当1＜s≤2时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当2＜s≤3时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；
④当3＜s≤4时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
结合函数图象，只有A选项符合要求．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
11．（2022下·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期中）平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，1），若AB⊥y轴，且B点在A点右侧，当AB=5时，B点坐标是（ ）
A．(8,1)B．(−2,1)C．(3,−4)D．(3,6)
【答案】A
【分析】根据AB//x，得出A点的纵坐标与B点的纵坐标相同，再根据AB=5，B点在A点右侧，得出B(8,1)．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴A点的纵坐标与B点的纵坐标相同是1，
∵AB=5，B点在A点右侧，
∴B(8,1)，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同．
12．（2022上·八年级课时练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中正确的是（ ）
A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为1000米
C．到达学校共用时间为10分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米
【答案】D
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示离家距离来判断即可．
【详解】A：修车时，离家距离不变，即时长为5分钟，故错误，不符合题意；
B：学校距离家有2000米，故错误，不符合题意；
C：横轴上总共用了20分钟，故错误，不符合题意；
D：发生故障时，离家距离不变，离家有1000米，故正确，符合题意．
【点睛】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像的意义，理解问题过程是解题关键．
13．（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，△ADP的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分点P在边AD、CD、BC、AB上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出y与x的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：①点P在边AD上时，A、D、P共线，不能构成三角形，y=0；
②点P在边CD上时，点P到AD的距离为(x−4)，
y=12×4×(x−4)=2x−8；
③点P在边BC上时，点P到AD的距离不变，为4，
y=12×4×4=8；
④点P在边AB上时，点P到AD的距离为4×4−x=16−x，
y=12×4×(16−x)=32−2x；
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积y与x的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2022上·甘肃白银·八年级统考期末）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离ykm与行驶时间th的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h；②乙车用了5h到达B城；③甲车出发4h时，乙车追上甲车
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】求出正比函数的解析式，k值的绝对值表示车的速度；横轴上两个时间点的差表示乙走完全程所用时间，求出一次函数的解析式，确定它与正比例函数的交点坐标，横坐标即为二车相遇时间．
【详解】设甲的解析式为y=kx，
∴6k=300,
解得k=50，
∴y甲=50x，
∴甲车的速度为50km/h，
∴①正确；
∵乙晚出发2小时，
∴乙车用了5-2=3（h）到达B城，
∴②错误；
设y乙=mx+b，
∴2m+b=05m+b=300，
∴m=100b=−200，
∴y乙=100x-200，
∵y=50xy=100x−200，
∴x=4y=200，
即甲行驶4小时，乙追上甲，
∴③正确；
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像，交点坐标的确定，解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法，准确求交点的坐标是解题的关键．
15．（2022下·广东汕头·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点Px,y，我们把点P′−y−k,x−k叫做点P的伴随点．若点A1a,b的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A2022．则点A2022的坐标为( )
A．a,bB．−b−k,a−kC．−a,−b−2kD．b+k,−a−k
【答案】B
【分析】根据题意计算点的坐标，发现规律求解即可．
【详解】解：∵A1a,b，
根据题意可得A2−b−k,a−k，
则有−a−k−k=−a；−b−k−k=−b−2k，
∴A3−a,−b−2k；
∵−−b−2k−k=b+k；−a−k=−a−k，
∴A4b+k,−a−k；
∵−−a−k−k=a，b+k−k=b，
∴A5a,b；
…
经过计算可得，点A四个一个循环，
∴2022÷4=505余2，
∴A2022与A2的坐标相同，
∴A2022−b−k,a−k，
故选：B．
【点睛】题目主要考查点坐标的规律探索，理解题意，找准点的规律是解题关键．
16．（2022上·福建宁德·八年级校考阶段练习）若某点A位于x轴上方，距x轴5个单位长，且位于y轴的左边，距y轴10个单位长，则点A 的坐标是（ ）
A．(5，−10)B．(−5，10)C．(−10，5)D．(10，−5)
【答案】C
【分析】应先判断出点所在的象限，进而利用这个点横纵坐标的绝对值求解．
【详解】解：根据题意，则
∵点A位于x轴上方，且位于y轴的左边，
∴点A在第二象限，
∵点A距x轴5个单位长，距y轴10个单位长，
∴点A的坐标为(−10，5)；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点在第二象限时坐标的特点，注意到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
17．（2023下·江西宜春·七年级校联考期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线B−A−D−C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AC等于（ ）

A．5B．34C．8D．23
【答案】B
【分析】根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3，当S=15时，点P到达点D处，即可求解．
【详解】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；
过点A作AE⊥CD交CD于点E，如图所示：

∵ AB∥CD，∠B=90°，
∴ ∠BCD=180°−∠B=90°，
∴ ∠B=∠BCD=∠AEC=90°，
∴则四边形ABCE为长方形，
∴ AB=CE，
∵AC=AD，
∴DE=CE =12 CD，
∴ AB=12CD，
∴ CD=2AB=6，
当S=15时，点P到达点D处，则S =12 CD⋅BC =12 ×6× BC=3×BC=15，
则BC=5，
由勾股定理得AD=AC=32+52=34，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出CD=2AB=6，是解题的关键．
18．（2022下·广西河池·七年级统考期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2 ，1）B．（－1，－1）
C．（﹣2，0）D．（2，0）
【答案】B
【分析】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，则物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；第三次相遇点为（2，0）；由此得出规律，即可求解．
【详解】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×1=12 ，物体甲运动的路程为12×13=4，物体乙运动的路程为12×23=8 ，此时在BC边相遇，即第一次相遇点为（-1，1）；
第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×2=24 ，物体甲运动的路程为24×13=8，物体乙运动的路程为24×23=16，在DE边相遇，即第二次相遇点为（-1，-1）；
第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×3=36 ，物体甲运动的路程为36×13=12，物体乙运动的路程为36×23=24，在A点相遇，即第三次相遇点为（2，0）；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2021÷3=673⋯⋯2 ，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第二次相遇地点，即点（-1，-1）
故选：B
【点睛】本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点．
19．（2023下·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边AB与x轴重合，点A2,0，D−2,3，若固定点A，B，将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，点D的坐标为（ ）
A．5,4B．5,3C．4,5D．4,3
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，则可得DE=3，OE=2，由勾股定理求出AD的长，由四边形ABCD是菱形，可得AB=BC=CD=AD=5，在图2中再根据勾股定理求出OC的长即可．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图1所示，
∵D−2,3，
∴DE=3，OE=2，
∴AE=4，
∴AD=42+32=5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴OB=3．
将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，如图2所示，
∵BC=5，OB=3，
∴OC=52−32=4．
∴此时点D的坐标为5,4，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（2022·河南新乡·河南师大附中校考三模）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF=y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（ ）
A．35B．1255C．42D．532
【答案】B
【分析】如图1，连接AF，由对称的性质可得AF=CF，所以y=EF+CF=EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC=5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
【详解】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF=CF，
∴y=EF+CF=EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x=0时，y=6，
设BE=a，则CE=4a，
∴y=a+5a=6，
∴a=1，
∴BC=5，
由图2知：BD=6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=12BD=3，
由勾股定理得：CG=4，
∴S△ECG=45S△BCG=12⋅CG⋅EH，
∴45×12×3×4=12×4×EH，
∴EH=125，
∴CH=CE2−EH2=42−1252=165，
∴AH=AC−CH=8−165=245，
∴AE=AH2+EH2=2452+1252=1255，
即图像最低点的纵坐标是1255．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
21．（2022·浙江舟山·统考一模）函数y=x1−x的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【分析】根据分式中分母不等于0的性质可求解即可．
【详解】解：函数y=x1−x中，分母1−x≠0
即：x≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟悉相关性质是解题得关键．
22．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点P3,m到x轴的距离为4，则点P的坐标为 ．
【答案】3,4或3,−4
【分析】根据点P到x轴的距离，可确定纵坐标为4或−4，从而可得答案．
【详解】∵点P3,m到x轴的距离为4，
∴m=3或−3，
∴点P的坐标为3,4或3,−4，
故答案为：3,4或3,−4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系，解题的关键是明确到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
23．（2022上·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）在来南宁旅游的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在如图的正方形网格中，她以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示石门森林公园的点坐标为−2,3，那么表示广西民族博物馆的点坐标为 ．
【答案】1,−2
【分析】建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度，进而可确定表示广西民族博物馆的点的坐标．
【详解】解析：解：如图：
由图知，每个小方格表示单位长度1，青门山表示原点，则表示广西民族博物馆的点坐标为1,−2，
故答案为：1,−2．
【点睛】此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度．
24．（2022下·河南许昌·七年级统考期中）若点M(−1,b+2)在坐标轴上，则b的值为 ．
【答案】﹣2
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案．
【详解】解：由点M（﹣1，b+2）在坐标轴上，得
b+2＝0．
解得b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标等于零，y轴上点的横坐标为零．
25．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P(m−1,1)关于y轴的对称点是Q(2,n)，则m+n= ．
【答案】0
【分析】本题考查了点坐标与轴对称变化，根据关于y轴对称的点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数即可得，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标变换规律是解题关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点P(m−1,1)关于y轴的对称点是Q(2,n)，
∴m−1=−2,n=1，
∴m=−1,n=1，
∴m+n=−1+1=0，
故答案为：0．
26．（2022下·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，有A0,1，B−1,0，C2,0三点，若D点与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标 ．
【答案】(3,1)或(1,−1)或(−3,1)
【分析】根据题意把A0,1，B−1,0，C2,0在平面直角坐标系中表示出来，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：将点A0,1，B−1,0，C2,0在平面直角坐标系表示为如图所示：
则四边形ABCD1、四边形ABD2C和四边形ACBD3为平行四边形，
则点D的坐标为(3,1)或(1,−1)或(−3,1)，
故答案为：(3,1)或(1,−1)或(−3,1)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及根据已知求点的坐标，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2022下·辽宁锦州·七年级统考期中）等腰三角形顶角的度数y是随着底角的度数x的变化而变化的，则y与x的关系式是 ．
【答案】y＝180°﹣2x
【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据内角和定理，y+2x=180°，可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵y+2x=180°，
∴y=180°-2x．
故答案为：y=180°-2x．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理及列函数关系式，关键就是利用内角和得到关系式．
28．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A′OB′，其中点A′与点A对应，点B′与点B对应．如果A−4，0，B−1，2．请回答：

（1）点B′的坐标为 ．
（2）点A经过的路径AA′的长度为 π．（友情提示：已经有π）
【答案】 2，1 2
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可得到点B′的坐标；
（2）由旋转的性质可得OA=OA′=4，∠AOA′=90°，再由弧长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意画出图如图所示：
，
∵A−4，0，B−1，2，
∴A′的坐标为0，4，B′的坐标为2，1，
故答案为：2，1；
（2）由旋转的性质可得：OA=OA′=4，∠AOA′=90°，
∴点A经过的路径AA′的长度=90π×4180=2π，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、利用弧长公式进行计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
29．（2022上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，点A为反比例函数y=−4xx0，若点A的横坐标为m，对点B的坐标为 （用含m，n的代数式表示）．
【答案】−4nm，−mn
【分析】作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，证明△AOC∽△OBD，可得ODAC=BDOC=OBOA，根据tan∠ABO=1n可得ODAC=BDOC=OBOA=n，由点A的横坐标为m，得A的坐标为m，−4m，根据ODAC=BDOC=OBOA=n，得OD=−4nm，BD=−mn，即可得点B的坐标为−4nm，−mn．
【详解】解：如图，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠CAO+∠AOC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴ODAC=BDOC=OBOA
∵tan∠ABO=1n，
∴ODAC=BDOC=OBOA=n，
∵点A为反比例函数y=−4xx0−a+1>0 ，{−b+2>0b>0，
解得﹣12，
故P32,0不是△ABC的友好点．
故答案为：P1−3,0，P2−1,0；
②由题意得：△ABC的友好点分别是点(−3,0),(−1,0),(1,0),(3,0),
m≤1m+4≥−1，
解得：−5≤m≤1，
当m=−3或m=−1时，有三个友好点，
∴m≠−3且m≠−1，
故m的取值范围是−5≤m≤1且m≠−3且m≠−1，
故答案为：−5≤m≤1且m≠−3且m≠−1．
54．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
(1)当P12.5,0时，
①如果点P1的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________；
②如果点Mx,y是点P1的k倍关联点，且满足x=2.5，5≤y≤67，那么整数k的最大值为______；
(2)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，A2b−1,0，B2b+1,0．若P2−1,0，且在△ABC的边上存在点P2的4倍关联点Q，求b的取值范围．
【答案】(1)①12.5,0 或−7.5,0；②6
(2)−3≤b≤−2或0≤b≤2
【分析】（1）①根据P1的4倍关联点M在x轴上，利用关联的定义求解即可；
②根据点M(x，y) 是点P1的k倍关联点，且满足x=2.5，5≤y≤67，列出不等式，即可求解；
（2）先说明点Q在以P2(−1,0)为圆心，2为半径的圆上，以点C在x轴下方为例分析，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：①∵点P1的坐标为2.5,0，
∴ 点P1到原点的距离为2.5，
∴a=2.5，
∴4a=10，
∵点P1的4倍关联点M在x轴上，
∴点M的横坐标为2.5+10=12.5或2.5−10=−7.5，
∴点M的坐标是12.5,0 或−7.5,0，
故答案为：12.5,0 或−7.5,0．
②∵点Mx，y是点P1的k倍关联点，且x=2.5，a=2.5，
∴MP1=2.5k，
∴k=25MP1=252.5−2.52+y−02=25y2，
∵5≤y≤67，
∴k=25y，
∴2≤k≤1275
∵6