专题03 一元二次方程及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（23·24九年级上·陕西西安·阶段练习）一元二次方程2x2+x−34=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】根据Δ=b2−4ac进行判别即可；
【详解】解：Δ=b2−4ac=12−4×2×−34=1+6=7>0，
∴一元二次方程2x2+x−34=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握相关知识是解题的关键．
2．（22·23上·上海·期中）下列方程中是一元二次方程的为( )
A．x2−xy=2B．5xx+1=x5x−1+2
C．3x2−x+1=0D．1x2−2x+1=0
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义：ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二方程．
【详解】解：A．x2−xy=2，含有x,y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．5xx+1=x5x−1+2方程整理得：5x=−x+2，是一元一次方程，不符合题意；
C．3x2−x+1=0是一元二次方程，符合题意；
D．1x2−2x+1=0是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
3．（21·22九年级上·山东济南·期末）已知关于x的方程x2−2x−1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：x2-2x-1=0，
∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，
∵Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4．（22·23九年级上·北京西城·阶段练习）方程x2−2x+3=0的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断．
【详解】解：一元二次方程x2−2x+3=0，
∵Δ=(−2)2−4×1×3=4−12=−8337，
故所求长方形的长宽符合题意，
故答案为：337cm，237cm．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
28．（22·23九年级上·全国·单元测试）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ，应邀请 个球队．
【答案】 12x(x−1)=21 7
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数是12x(x−1)，即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
12xx−1=21，
解得x1=7，x2=−6（舍去）
故答案为：12x(x−1)=21，7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到等量关系式．
29．（22·23九年级上·浙江宁波·阶段练习）设f(x)＝x2+bx+8（b≠0），g(x)＝x2+cx+d，已知方程f(x)＝0有两个不等的实根x1、x2；方程g(x)＝0有两个根x1+1x2、x2+1x1，若g(1)＝f(1)，则g(1)的值为 ．
【答案】−8
【分析】根据韦达定理，将两个一元二次方程根与系数的关系分别表示出来，再利用g(1)＝f(1)进行求解即可．
【详解】解：根据韦达定理：在x2+bx+8=0中，x1+x2=−b,x1x2=8，
在x2+cx+d=0中，有两个根x1+1x2、x2+1x1，
所以x1+1x2+x2+1x1=−c，(x1+1x2)(x2+1x1)=d
∴化简为x1+x2+1x2+1x1=x1+x2+x1+x2x2x1=(−b)+(−b)8=−9b8，即−c=−9b8
(x1+1x2)(x2+1x1)=x1x2+1x1x2+1+1=8+18+1+1=818，即d=818，
∴ g(x)＝x2+cx+d=x2+9b8x+818，
∵ g(1)＝f(1)
∴ 12+9b8×1+818=1+b+8
解得b=−17
∴ g(1)＝f(1)=1−17+8=−8
故答案为：−8
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练应用韦达定理是解题的关键．
30．（22·23上·宜宾·期中）已知x2+2x−3=0的解是1，−3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0的解为 ．
【答案】x1=−1，x2=−3
【分析】利用换元法，解一元二次方程即可．
【详解】解：令2x+3=y，
则：方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0转化为： y2+2y−3=0，
∵x2+2x−3=0的解是1，−3，
∴y2+2y−3=0的解为：y1=1,y2=−3，
即：2x+3=1或2x+3=−3，
解得：x1=−1，x2=−3；
故答案为：x1=−1，x2=−3．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键．
31．（20·21八年级上·上海浦东新·期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程 ．
【答案】xx−12=120
【分析】先根据题意可得每个人都要与x−1个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．
【详解】由题意，可列方程为xx−12=120，
故答案为：xx−12=120．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
32．（21·22上·乌鲁木齐·阶段练习）某玩具厂2020年1月份生产玩具1000个，后来生产效率逐月提高，第一季度生产玩具3630个，设2、3月份每月平均增长率为x，列方程为 ．
【答案】10001+(1+x)+(1+x)2=3630
【分析】设2、3月份平均每月增产的百分率为x，1月份生产玩具1000个，二月份是：1000(1+x)，三月份是：1000(1+x)(1+x)，由此列方程．
【详解】解：设2、3月份平均每月增产的百分率为x,依题意．得
1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3630，
即10001+(1+x)+(1+x)2=3630
故答案为：10001+(1+x)+(1+x)2=3630．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解此类题目时常常要先解出前一个月份的产量，再列出所求月份的产量的方程，令其等于已知的条件即可．
33．（22·23九年级上·湖北鄂州·期中）如果关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥−1且k≠0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围即可得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有实数根，
∴k≠0Δ=4+4k≥0 ，
解得：k≥−1且k≠0；
故答案为：k≥−1且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，列出关于k的不等式组是解题的关键．
34．（21·22八年级下·安徽合肥·期末）已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ．
【答案】 x1=−4，x2=−1 x1=0，x2=−3，
【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2=−2或x+2=1，然后解两个一元一次方程即可；
（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，
∴x+2=−2或x+2=1，
∴x1=−4，x2=−1，
故答案为：x1=−4，x2=−1；
（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，
得：a−2+k2+2022=0a1+k2+2022=0，
解得：k=12，a=−26963，
代入a(x+3k) +2022=0得−26963x+322+2022=0，
即x+322=94，
∴x+32=32或x+32=−32，
∴x1=0，x2=−3，
故答案为：x1=0，x2=−3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．
35．（22·23八年级下·重庆北碚·期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可．
【详解】解：解不等式3x+82≤x+6得：x≤4，
解不等式3x+a>4x−5得：x4x−5的解集为x≤4，
∴a+5>4，解得a>−1，
∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，
∴Δ=32−4a−1≥0，a−1≠0，
解得a≤134且a≠1，
综上所述，−10，即b2−4ac>0，
∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
38．（23·24九年级上·江苏苏州·期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两实数根，且x12+x22＝5，求m的值是多少？
【答案】m＝﹣4．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x21+x22转换为x1+x22−2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m+6，
∵x21+x22＝x1+x22−2x1x2＝5，
∴（m+1）2﹣2（m+6）＝5，
解得：m1=4，m2=−4，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝（m+1）2﹣4（m+6）≥0，
∴当m＝4时，
△＝25﹣40＝﹣15＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m＝﹣4．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
39．（22·23八年级上·上海闵行·期中）已知：a、b是实数，且满足a−32+b+2=0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0的根．
【答案】x1=13，x2=1
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵a−32+b+2=0，a−32≥0，b+2=≥0，
∴a−32=0，b+2=0，
∴a=32，b=−2，
∴原一元二次方程即为32x2−2x+12=0，整理得：3x2−4x+1=0，
∴3x−1x−1=0，
解得x1=13，x2=1．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解一元二次方程，正确求出a、b的值是解题的关键．
40．（22·23九年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在解一元二次方程x2−2x+■=0时，发现常数项被污染．
(1)若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程x2−2x=0；
(2)老师告诉嘉淇这个方程有两个实数根，求被污染的常数项的最大值．
【答案】(1)x1=2，x2=0
(2)1
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用根的判别式，列式计算即可．
【详解】（1）解：x2−2x=0，
左边因式分解得，x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得，x1=2，x2=0．
（2）解：设这个常数项为c，依题意得，
Δ=−22−4c≥0 ，
解得c≤1 ，
∴被污染常数项的最大值为1．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δa，∠BCA=60°，过B作BD⊥AC于D，可得CD=12BC=12a，BD=BC2−CD2=32a，D在线段AC上，利用勾股定理可得a2+b2−ab=c2，由Δ=22c2−4×3a2b−a，再证明Δ≥0即可．
【详解】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+52x+4=0；
（2）证明：ax2+2cx+b=0，
∴Δ=2c2−4ab=2c2−4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2−4ab=2a2+b2−4ab=2a−b2≥0
∴Δ≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）当x=−1时，有a−2c+b=0，即a+b=2c，
∵四边形ACDE的周长是62，
∴2a+2b+2c=62，即2a+b+2c=62，
∴32c=62，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=22，
∵a+b2=a2+b2+2ab，
∴222=4+2ab
∴ab=2，
∴S△ABC=12ab=1．
（4）如图，∵2b>a，∠BCA=60°，过B作BD⊥AC于D，
∴CD=12BC=12a，BD=BC2−CD2=32a，D在线段AC上，

∵AD2+BD2=AD2，
∴32a2+b−12a2=c2，
∴a2+b2−ab=c2，
∵3ax2+22cx+2b−a=0，
∴Δ=22c2−4×3a2b−a
=8c2−83ab+43a2
=8a2+b2−ab−83ab+43a2
=24+23a2−24+43ab+2×4b2
=23+12a2−23+1a⋅2b+2b2
=23+1a−2b2≥0，
∴关于x的一元二次方程3ax2+22cx+2b−a=0必有实数根．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
53．（23·24九年级上·广东汕头·期中）已知x1是关于x的一元二次方程12mx2+2x+m2=0的一个根，且x1=a+2−8−a+−a2（其中a为实数），求m的值及方程的另一个根．
【答案】m的值为1或−2，方程的另一根为：−2或22
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a=0，x1=−2，再代入方程求解m的值，再分情况解一元二次方程即可.
【详解】解：由已知得：−a2≥0，∴a2≤0，
又∵a2≥0，∴a2=0，
∴a=0
∴x1=2−8 =2−22=−2
把x1=−2代入原方程得：12m×−22+2×−2+m2=0
整理得：m2+m−2=0，
解这个方程得：m1=1，m2=−2，
当m1=1时，原方程化为：12x2+2x+1=0，
解得：x1=x2=−2，
当m2=−2时，原方程化为：12×−2x2+2x+−22=0，
∴x2−2x−4=0，
解得：x1=−2，x2=22，
∴m的值为1或−2，方程的另一根为：−2或22．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式有意义的条件，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键.
54．（23·24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知实数m，n满足m2+3m−1=0，n2+3n−1=0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2+3x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=−3，mn=−1，所以nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=9+2−1=−11．
（1）材料理解：一元二次方程2x2−10x+3=0两个根为x1，x2，则：x1+x2= ，x1x2= ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足3m2−3m−1=0，3n2−3n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足5s2−12s+5=0，5t2−12t+5=0，且st≠1，求2st−s+2t的值．
【答案】（1）5，32；（2）−13；（3）195．
【分析】（1）根据材料1解答即可；
（2）由题可知m，n是方程3x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出m+n=1，mn=−13，将所求式子变形为mnm+n，再整体代入求值即可；
（3）等式5t2−12t+5=0两边同时除以t2，得：即5×1t2−12×1t+5=0，即说明实数s和1t可看作方程5x2−12x+5=0的两根，即得出s+1t=125，s×1t=1，将所求式子变形为2s+1t−s×1t，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程2x2−10x+3=0两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−102=5，x1x2=32．
故答案为：5，32；
（2）由题知m，n是方程3x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=−−33=1，mn=−13=−13，
所以m2n+mn2=mnm+n=−13×1=−13；
（3）∵要求2st−s+2t的值，
∴t≠0，
∴等式5t2−12t+5=0两边同时除以t2，得：5−12t+5t2=0，即5×1t2−12×1t+5=0，
∴实数s和1t可看作方程5x2−12x+5=0的两根，
∴s+1t=−−125=125，s×1t=55=1，
∴2st−s+2t=2s−s×1t+2t=2s+1t−s×1t=2×125−1=195．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=−ba和x1⋅x2=ca是解题关键．
55．（23·24九年级上·广东中山·期中）阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题：
解方程xx−2=3．
解：原方程可变形，得x−1+1x−1−1=3，
(x−1)2−12=3，
(x−1)2=4，
方程两边同时开平方，得x−1=±2，解得x1=3,x2=−1．
我们叫这种解法为“和差数法”．
应用：用“和差数法”解方程；x+1x+5=12．
【答案】x1=1,x2=−7
【分析】将方程x+1x+5=12变形成x+3−2x+3+2=12，再进一步转化成可用直接开平方法解答的形式即可．
【详解】解：原方程变形成x+3−2x+3+2=12，
∴ x+32−22=12，
∴ x+32=16，
方程两边同时开平方，得x+3=±4，
解得x1=1,x2=−7．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程中的因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．