专题03 一元二次方程及其应用（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：（23·24上·天津·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．(x+2)(x+3)=x2−1
C．x2−2x−1=0D．x2−2x=3
【变式1】（23·24上·白银·期中）若a是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．a+1x2+5x−1=0B．a2−1x2−2x+3=0
C．a2+1x2+2x+1=0D．a−1x2+3x+1=0
【变式2】（23·24上·宜宾·阶段练习）若(m+2)xm2−2+5x+3=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． 2 B． -2C． 1D．-1
【变式3】（23·24上·郑州·阶段练习）关于x的方程m−1x2+2x−3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．m>23B．m≠1C．任意实数D．m≠−1
【变式4】（13·14上·苏州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2xy+y2=0B．x(x+3)=x2−1
C．x2−2x=3D．x+1x=0
【变式5】（23·24上·珠海·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x=x2−1B．x+y=6
C．x2+2x+1=0D．1x2+1x−1=0
考点2：一元二次方程——一般式
典例2：（23·24上·武汉·期中）在一元二次方程x2−5x=2中，二次项系数为1时，常数项是（ ）
A．−5B．5C．2D．−2
【变式1】（23·24上·武汉·期中）一元二次方程−3x+5x2=6化为一般形式ax2+bx+c=0a≠0后，a，b，c的值可以是（ ）
A．a=−5，b=−3，c=6B．a=−3，b=5，c=−6
C．a=−3，b=5，c=6D．a=5，b=−3，c=−6
【变式2】（23·24上·常州·期中）一元二次方程2x2−xx−4=5的一般形式是（ ）
A．x2−4x+5=0B．x2+4x+5=0C．x2+4x−5=0D．3x2−4x+5=0
【变式3】（23·24上·新乡·阶段练习）方程x+2x−3=0化为一般形式后，常数项为（ ）
A．1B．−1C．−6D．−5
【变式4】（23·24上·葫芦岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程xk−1+k2−1x+1=8x−k没有一次项，则k的值为（ ）
A．±1B．±3C．－1D．3
【变式5】（23·24上·岳阳·阶段练习）若一元二次方程m−2x2+3m2+15x+m2−4=0的常数项是0，则m的值为（ ）
A．2B．±2C．−2D．−10
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：（23·24上·佛山·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx=6的一个根为x=2，则代数式4a+2b的值是（ ）
A．3B．6C．10D．12
【变式1】（23·24上·奉贤·期中）如果关于x的方程a−1x2−2x+a2−1=0有一个根是0，那么a的值是（ ）
A．1或−1B．1C．−1D．0
【变式2】（23·24上·泉州·期中）已知x=2是关于x的方程x2−6x+m=0的一个根，则m的值为（ ）
A．8B．−8C．16D．−16
【变式3】（23·24上·六盘水·阶段练习）已知代数式−ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程−ax2+bx+2=0的解是（ ）
A．x1=0,x2=1B．x1=−1,x2=2
C．x1=−2,x2=2D．x1=−1,x2=−2
【变式4】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数a是一元二次方程x2−2023x+1=0的根，求代数式a2−2022a−a2+12023的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式5】（23·24上·珠海·期中）已知m是关于x的一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则2024−m2+m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
考点4：一元二次方程——解的估算
典例4：（23·24上·太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程x2−x=1.4的一个近似解是（ ）．
A．0.11B．1.6C．1.7D．1.8
【变式1】（22·23上·潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（）
A．11.3
【变式2】（22·23下·株洲·自主招生）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A．3【变式3】（22·23下·茂名·期末）根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 a≠0的一个解x的范围是（ ）
A．x<3.24B．3.24C．3.25【变式4】（22·23上·佛山·阶段练习）根据下表确定方程x2−bx−5=0的解的取值范围是（ ）
A．−2C．−3【变式5】（22·23上·镇江·期中）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是3，十分位是1B．解的整数部分是3，十分位是2
C．解的整数部分是3，十分位是3D．解的整数部分是3，十分位是4
考点5：解一元二次方程
典例5：（23·24上·深圳·期中）解方程：
(1)x2−2x=4
(2)2x(x−1)=x−1
【变式1】（23·24上·无锡·期中）解下列方程
(1)x2−4x−2=0；
(2)2x−52+x−5=0．
【变式2】（23·24上·平凉·阶段练习）解方程：
(1)2x−3=3x3−x
(2)x2−x−1=0．
【变式3】（23·24上·梅州·阶段练习）用适当的方法解方程：
(1)2x2−5x+2=0
(2)x2−4x+1=0
【变式4】（23·24上·临沂·阶段练习）解方程：
(1)2x2−7x+3=0；
(2)x2+x−12=0；
(3)x2−2x=5；
(4)x−22=2x−4．
【变式5】（23·24上·巴中·期中）解方程．
(1)4x−22−36=0
(2)x−1x+2=−1
考点6：根的判别式
典例6：（23·24上·广州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2m−1x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m的值使得x1x2+x1+x2=0成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（23·24上·厦门·阶段练习）已知：关于x的方程4x2−4mx+2m−1=0
(1)求证：无论m为何值时，方程都有实数根；
(2)若x=1是方程的一个根，求方程另一个根．
【变式2】（23·24上·门头沟·期中）已知关于x的一元二次方程x2−m−4x+3−m=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【变式3】（23·24上·广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−k+1x+k−3=0．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形ABCD的对角线长为AC=23，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
【变式4】（23·24上·新余·阶段练习）已知关于x的方程x−1x−2−p2=0
(1)求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根
(2)若p=1，设方程的两个实数根分别为x1，x2，求x12−2x1+x2的值
【变式5】（23·24上·驻马店·阶段练习）已知函数y=x2+2mx+2m−1（m为常数）．
(1)若该函数图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围；
(2)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点；
(3)已知该函数恒过一定点（和m无关），直接写出该定点．
考点7：根与系数的关系
典例7：（23·24上·广州·期中）关于x的一元二次方程x2−6x+6=0两个实数根的倒数和为（）
A．2B．−2C．1D．−1
【变式1】（22·23上·咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是（ ）
A．方程x2−3x+2=0是倍根方程
B．若x−2mx+n=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0
C．若pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程
D．若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且5a+b=0，则方程ax2+bx+c=0的一个根为54
【变式2】（23·24上·厦门·期中）一元二次方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大
【变式3】（23·24上·西安·期中）已知x=−1是方程x2+bx−5=0的一个根，则另一根是（ ）
A．x=5B．x=15C．x=−5D．x=−15
【变式4】（22·23·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2−3x+2=0的两个根为x1、x2，则1x1+1x2的值为（ ）
A．－3B．−23C．1D．32
【变式5】（23·24上·长治·阶段练习）若m，n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则2m2+7m+n的值是（）
A．9B．−9C．15D．−15
考点8：一元二次方程实际应用
典例8：（23·24上·临沂·阶段练习）2019年年底以来，新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制，而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延，若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．设每位发病者平均每天传染x人，依题意可得（ ）
A．2x−12=50B．x+22=50C．x−22=50D．2x+12=50
【变式1】（22·23上·深圳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【变式2】（23·24上·西城·期中）城市生活垃圾产生量大、堆存量高等问题已成为无法忽视的“城市病”．近年来，各地区、各部门不断加大城市生活垃圾无害化处理工作力度，我国城市生活垃圾无害化处理能力快速提升．城市生活垃圾无害化处理方式主要包括填埋、焚烧和堆肥等．数据显示，2021年中国城市生活垃圾无害化量达2.48亿吨，分析师预测，到2023年底，中国城市生活垃圾无害化量将进一步增长至2.66亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2.481+x=2.66B．2.481+2x=2.66
C．2.481+x2=2.66D．2.481−x2=2.66
【变式3】（23·24上·重庆·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为x，列方程为（ ）
A．xx+2=99B．xx−2=99C．xx+1=99D．xx−1=99
【变式4】（23·24上·南阳·阶段练习）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块矩形试验茶园．如图所示，茶园一面靠墙，墙长18m，另外三面用35m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．

(1)如果围成的菜园面积为144m2，求这个茶园的长和宽．
(2)如何设计长宽可以使围成茶园面积最大？请你设计一种方案？
【变式5】（23·24上·广州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=5cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．

(1)几秒后，△PQB的面积等于4cm2？
(2)四边形APQC的面积能否是714cm2？
【变式6】（22·23上·阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【变式7】（22·23下·北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖124a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖18a米．若最终每天实际总成本比计划多24+112a万元，求a的值．
【变式8】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
x
…
−2
−1
0
1
2
3
…
−ax2+bx
…
−4
−2
0
0
−2
−4
…
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2−x
−0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x−15
−2
−0.59
0.84
2.29
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
−0.06
−0.02
0.03
0.07
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
−0.02
0.01
0.03
x
−3
−2
−1
…
4
5
6
x2−bx−5=0
13
5
−1
…
−1
5
13
x
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
x2+px+q
−2.75
−1
−0.59
−0.16
0.29
0.76
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元