新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.7 函数的周期性与对称性（2份打包，原卷版+解析版）

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1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
2．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数的周期性及应用】
根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有
将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若T是函数的周期，则kT（k
∈Z且k≠0）也是函数的周期.
【例1】（2021秋•宿州期末）已知函数f（x）＝csπx，则下列正确的是（ ）
A．f（x）是周期为1的奇函数
B．f（x）是周期为2的偶函数
C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数
【变式1-1】（2022春•船山区校级期中）函数是（ ）
A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数D．周期为2π的奇函数
【变式1-2】（2022春•云岩区校级期中）下列函数中，周期为π的奇函数是（ ）
A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝cs2x
【变式1-3】（2021秋•五华区校级月考）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝sin2xC．y＝2|csx|D．y＝cs
【题型2 函数的对称性】
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题；
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
【例2】（2022•福州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．f（﹣3）＝1B．f（0）＝0C．f（3）＝2D．f（5）＝﹣1
【变式2-1】（2022春•惠州月考）定义在R上的函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）＝2．若f（x）的图象关于直线x＝4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．f（﹣2）＝1B．f（0）＝0C．f（4）＝2D．f（6）＝﹣1
【变式2-2】（2022•辽宁三模）函数y＝f（2x﹣1）是R上的奇函数，函数y＝f（x）图像与函数y＝g（x）关于y＝﹣x对称，则g（x）+g（﹣x）＝（ ）
A．0B．﹣1C．2D．1
【变式2-3】（2022•辽宁模拟）已知函数y＝f（2x+1）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝f（x+1）关于点（1，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．f（1）＝0B．f（1﹣x）＝f（1+x）
C．f（x）的周期为2D．
【题型3 周期性与奇偶性结合】
【例3】（2022•郫都区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝16x，则f（）+f（1）＝（ ）
A．﹣8B．﹣4C．12D．20
【变式3-1】（2021秋•金安区校级期末）若f（x）是R上周期为3的偶函数，且当时，f（x）＝lg4x，则（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【变式3-2】（2020•深圳模拟）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝2+|x+1|B．f（x）＝3﹣|x+1|C．f（x）＝2﹣xD．f（x）＝x+4
【变式3-3】（2022•道里区校级四模）已知f（x）为定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（ ）
A．e3+eB．﹣e3﹣eC．e3﹣eD．﹣e3+e
【题型4 对称性与周期性结合】
【例4】（2021•房山区二模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（﹣1）＝2，则f（2017）＝（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣4
【变式4-1】（2021秋•泸县月考）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图像关于直线x＝1对称，当x∈[﹣1，0）时，，则f（2020）+f（2021）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式4-2】（2021•西城区校级模拟）若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则下列表述错误的是（ ）
A．f（x）的值域为R
B．f（x）为周期函数，且4为其一个周期
C．f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数y＝f（x+1）的图象与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称
【变式4-3】（2021•西城区校级模拟）若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则下列表述错误的是（ ）
A．f（x）的值域为R
B．f（x）为周期函数，且4为其一个周期
C．f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数y＝f（x+1）的图象与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称
【题型5 函数性质的综合应用】
对于所给题目条件，得到函数解析式，判断函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，进行转化求解即可.
【例5】（2021秋•湛江月考）定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝3x﹣1，则f（2000）+f（2001）+f（2002）+…+f（2021）＝（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【变式5-1】（2021秋•广州期中）已知函数，有以下结论：
①f（x）的图象关于原点对称；
②f（x）的图象关于y轴对称；
③f（x）在R上单调递增；
④f（x）的值域为[﹣1，1）．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②B．①④C．②④D．①③④
【变式5-2】（2021秋•枣强县校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x＝1对称，且当x∈（2，3]时，f（x）＝﹣（x﹣2）（x﹣4），则f（sin），f（sin1），f（cs2）的大小关系为（ ）
A．f（cs2）＞f（sin1）＞f（sin）
B．f（cs2）＞f（sin）＞f（sin1）
C．f（sin）＞f（cs2）＞f（sin1）
D．f（sin1）＞f（sin）＞f（cs2）
【变式5-3】（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数B．f（x）周期为2
C．D．f（x﹣2）是奇函数
【题型6 抽象函数性质的综合应用】
【方法点拨】
抽象函数问题可以全面考查函数的概念与性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、
图象集于一身，解决这类问题一般采用赋值法解决.
【例6】（2022•抚顺一模）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）＝f（x）﹣f（2），若y＝f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，且对任意的，x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2021秋•武昌区校级期中）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）＝﹣1．
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集．
【变式6-2】（2021秋•天心区校级期中）已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且．
（1）求f（0），f（3）的值；
（2）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【变式6-3】（2021秋•东城区校级期中）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①∀x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x＞0），且f（2）＝1．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）求不等式f（3x﹣2）+f（x）≥4的解集．