新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.15 函数的图象（2份打包，原卷版+解析版）

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1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x轴及上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)
eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
【题型1 函数图象的识别】
【方法点拨】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
【例1】（2022春•纳雍县期末）函数f（x）＝|x|•22﹣|x|在区间[﹣2，2]上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的变化趋势，排除D，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，f（x）＝|x|•22﹣|x|，其定义域为R，
f（﹣x）＝|x|•22﹣|x|＝f（x），f（x）为偶函数，排除AB，
当x→+∞时，f（x）→0，排除D，
故选：C．
【变式1-1】（2022春•慈溪市月考）函数（e是自然对数的底数）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断即可．
【解答过程】解：f（﹣x）＝（﹣x）3•x3•f（x），则f（x）是偶函数，排除B，D，
当x→+∞，f（x）→0，排除C，
故选：A．
【变式1-2】（2022•龙岩模拟）已知函数，则函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用分段函数的解析式，判断函数的图象，即可得到结果．
【解答过程】解：函数，
当x＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x＝﹣1，排除选项B，C；
当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A；
故选：D．
【变式1-3】（2022春•丽江期末）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断即可．
【解答过程】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，
当x＞0时，f（x）＞0，
当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，
故选：D．
【题型2 已知函数图象判断解析式】
【方法点拨】
研究已知函数图象的特征和变化趋势，得出所给图象的一些函数性质，进而判断符合条件的函数解析式.
【例2】（2022•乳山市开学）已知函数f（x）在区间[﹣π，π]上的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝xsinx+csxB．f（x）＝xsinx﹣csx
C．f（x）＝sinx﹣xcsxD．f（x）＝sinx+xcsx
【解题思路】判断函数的奇偶性，可判断AB的可能性；取特殊值可说明C不符合题意；结合f（x）＝sinx+xcsx的奇偶性可判断D．
【解答过程】解：对于A，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）+cs（﹣x）＝f（x），可知f（x）＝xsinx+csx为偶函数，不符合题意，故A错误；
对于B，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）﹣cs（﹣x）＝f（x），可知f（x）＝xsinx﹣csx为偶函数，不符合题意，故B错误；
对于C，当x＝π时，f（π）＝sinπ﹣πcsπ＝π，与题中图象不符，故C错误，
对于D，f（x）＝sinx+xcsx为奇函数，其函数值变化符合图象，故f（x）的解析式可能为f（x）＝sinx+xcsx．
故选：D．
【变式2-1】（2022春•密云区期末）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）B．f（x）
C．f（x）＝xlnx﹣x+1D．f（x）＝xlnx+x﹣1
【解题思路】根据题意，用排除法分析，求出f（e）的值，排除A，由f（）的值排除B．D，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，
对于A，f（x）x+1，有f（e）e+1＜0，排除A，
对于B，f（x）x﹣1，f（）＝﹣e1＜0，排除B，
对于D，f（x）＝xlnx+x﹣1，f（）1＜0，排除D，
故选：C．
【变式2-2】（2020•许昌一模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x|B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）lg2|x|
C．f（x）＝（4x+4﹣x）lg|x|D．f（x）＝（4x+4﹣x）lg2|x|
【解题思路】根据函数图象特点，结合奇偶性，定义域，取值范围，利用排除法进行判断即可．
【解答过程】解：函数定义域为{x|x≠0}，排除A，
函数关于y轴对称，则函数为偶函数，排除B，
C选项中，当0＜x＜1时，f（x）＞0，不满足条件．排除C，
故选：D．
【变式2-3】（2022春•霍林郭勒市期末）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝x+sinxB．f（x）＝x2sinx
C．f（x）＝x2+sinxD．f（x）＝xsinx
【解题思路】利用函数的单调性，奇偶性，即可得出答案．
【解答过程】解：若f（x）＝x+sinx，则f'（x）＝1+csx≥0，
所以f（x）＝x+sinx在R上单调递增，故A错误；
因为f（﹣x）＝x2﹣sinx≠f（x）且f（﹣x）＝x2﹣sinx≠﹣f（x）
所以f（x）非奇非偶，故C错误；
因为f（x）＝xsinx，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx，
所以f（x）＝f（﹣x），即f（x）为偶函数，故D错误．
因为f（x）＝x2sinx，f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx，
所以f（x）为奇函数，
故选：B．
【题型3 借助动点探究函数图象】
【方法点拨】
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象．
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而做出选择.
【例3】（2021秋•东莞市期末）如图，质点M在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为M0（，），角速度为2，则点M到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】利用角速度先求出d＝0时，t的值，然后利用单调性进行判断即可．
【解答过程】解：∵∠xM0，
∴由2t，得t，此时d＝0，排除C，D，
当0＜t时，d越来越小，单调递减，排除B，
故选：A．
【变式3-1】（2021春•苏州期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动．设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S＝f（x）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连结PR，利用线面垂直的性质定理和判定定理证明BD⊥平面PQR，则BD⊥PR，然后求出f（x）的解析式，由解析式确定函数的图象，即可得到答案．
【解答过程】解：如图，作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连结PR，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BD，即BD⊥PQ，
又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，由题意可知，PQ∥AB，QR∥CD，
设AB＝BD＝CD＝1，则AC，，解得，
，所以，
则，
所以．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•河北月考）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，分步求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式，据此分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，当0＜t≤2时，St2；
当2＜t≤4时，St2（2t﹣4）2t2+8t﹣8；
观察图象可知：S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•南宁月考）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，，点D是边BC上的一个动点（点D与点B不重合）过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由 tan∠B，设DE＝4m，BE＝3m，则BD＝5m＝x，然后将AE与DE都用含有x的代数式表示，再计算出△AEF的面积即可得到y与x的函数关系，由此对照图形即可．
【解答过程】解：∵DE⊥AB，垂足为E，
∴tan∠B，设DE＝4m，BE＝3m，则BD＝5m＝x，
∴m，DE，BE，
∴AE＝6，
∴y＝S△AEF（6）•，化简得：yx2x，
又∵0＜x≤8
∴该函数图象是在区间0＜x≤8的抛物线的一部分．
故选：A．
【题型4 利用函数图象研究函数性质】
【方法点拨】
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
【例4】（2021秋•昌平区期末）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
【解题思路】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．
【解答过程】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），
又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），
则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），
故选：A．
【变式4-1】（2021秋•绍兴期末）函数f（x）的图象为如图所示的折线段ABC，设g（x），则函数g（x）的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】运用一次函数的解析式的求法，可得f（x），分别讨论0＜x≤1，1＜x≤3时，f（x）和g（x）的单调性，即可得到所求最大值．
【解答过程】解：由图象可得A（0，1），B（1，3），C（3，1），
即有f（x），
当0＜x≤1时，g（x）0，
x＝1时，取得最大值0；
当1＜x≤3时，g（x）递增，
当x＝3时，取得最大值1．
综上可得，g（x）的最大值为1．
故选：B．
【变式4-2】（2022春•钦州期末）已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，则下列描述中正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．函数f（x）的图象关于点（1，0）对称
C．函数f（x）有最小值，无最大值
D．函数f（x）的图象是两条射线
【解题思路】画出函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的图象，数形结合，可得答案．
【解答过程】解：函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的图象如下图所示：
由图可得：
函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，故B正确，
故选：B．
【变式4-3】（2021秋•吉阳区校级期中）一个偶函数定义在[﹣7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是﹣7
【解题思路】根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出在[﹣7，7]上的图象，如图所示，根据函数的图象，确定函数的单调性和最值情况，就可以确定选项．
【解答过程】解：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出在[﹣7，7]上的图象，如图所示，
可知：
这个函数有三个单调增区间；
这个函数有三个单调减区间；
这个函数在其定义域内有最大值是7；
这个函数在其定义域内最小值不是﹣7．
故选：C．
【题型5 利用函数图象解不等式】
【方法点拨】
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，
从而利用数形结合求解．
【例5】（2020秋•南山区校级期中）已知f（x）函数是定义在（﹣3，0）∪（0，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）⋅x＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，3）B．（﹣3，﹣1）∪（1，3）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣3，﹣1）∪（0，1）
【解题思路】结合已知图象及奇函数的对称性即可求解．
【解答过程】解：因为f（x）函数是定义在（﹣3，0）∪（0，3）上的奇函数，则不等式f（﹣x）可转化为﹣xf（x）＞0，
即xf（x）＜0，
所以或，
结合图象可知，0＜x＜1或﹣1＜x＜0，
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•皇姑区校级月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域是[﹣3，3]，且它们在[0，3]的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．（1，2）B．（0，1）∪（2，3）
C．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，3）D．（﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，3）
【解题思路】由函数的奇偶性及其图象得：当x∈（﹣2，﹣1）时，g（x）＞0，f（x）＜0，满足，当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f（x）＞0，满足，x∈（2，3）时，g（x）＞0，f（x）＜0，满足，由此能求出不等式的解集．
【解答过程】解：∵y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域是[﹣3，3]，
且它们在[0，3]的图象如图所示，
∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g（x）＞0，f（x）＜0，满足，
当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f（x）＞0，满足，
x∈（2，3）时，g（x）＞0，f（x）＜0，满足，
∴不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，3）．
故选：C．
【变式5-2】（2021秋•承德期中）已知当x≥0时，偶函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式f（2x）＜0的解集为（ ）
A．（2，4）∪（﹣4，﹣2）B．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
C．（﹣4，4）D．（1，2）
【解题思路】由已知中函数的图象，结合偶函数的性质，可将不等式f（2x）＜0化为：|2x|∈（2，4），解得答案．
【解答过程】解：由偶函数的图象关于y轴对称，及已知中函数y＝f（x）的部分图象可得：
若f（2x）＜0，
则|2x|∈（2，4），
即x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2），
故选：B．
【变式5-3】（2021秋•榆社县校级月考）设偶函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，且x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，5]B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．[﹣5，﹣3）∪（0，3）D．（0，3）
【解题思路】由题意首先求得x＞0时不等式的解集，然后结合偶函数的对称性即可求得不等式的解集
【解答过程】解：观察函数图象可得当x＞0时，不等式f（x）＜0的解集为：（0，3），
不等式xf（x）＜0的解集是（0，3），
f（x）＞0的解集为：（3，5]，
偶函数的图象关于y轴对称，则当x＜0时，f（x）＞0的解集为：[﹣5，﹣3），
不等式f（x）＜0的解集为：[﹣5，﹣3），
综上可得，则不等式xf（x）＜0的解集是[﹣5，﹣3）∪（0，3），
故选：C．
【题型6 利用函数图象研究函数零点（方程的根）个数问题】
【方法点拨】
对于有关函数零点（方程的根）个数问题，可以通过函数图象来研究函数零点（方程的根），函数y=f(x)的零点（方程f(x)＝0的根）就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标，据此通过函数图象，数形结合求解即可．
【例6】（2022春•昌图县校级期末）已知函数则函数y＝f（f（x））﹣3的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】数形结合，把零点问题转化为对应方程的根或函数图象的交点即可求解．
【解答过程】解：作出f（x）的图象，如图所示：
则f（x）的值域为R，求y＝f（f（x））﹣3的零点，即求f（f（x））﹣3＝0，即f（f（x））＝3，对应方程的根，
设m＝f（x），则m∈R，则f（f（x））＝3等价于f（m）＝3，
如图所示：
f（m）＝3有3个交点，则m有三个解，
当m≤1时，有3﹣m2﹣2m＝3，解得m＝0或m＝﹣2，
当m＞1时，有m2＝3，解得m＝4或m＝1（舍），
故m的值分别为﹣2，0，4，则m＝f（x）对应解如下图：
m＝f（x）对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：y＝f（f（x））﹣3的零点个数为5个．
故选：D．
【变式6-1】（2021秋•西岗区校级月考）已知函数，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）
C．D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【解题思路】方程u2+u+t＝0的两根为u1，u2，则f（x）＝u1，f（x）＝u2共有三根，可得u1，u2的范围，进而得t的取值范围．
【解答过程】解：作出f（x）的图象，如图所示：
设u＝f（x），方程u2+u+t＝0的两根为u1，u2，f（x）＝u1，f（x）＝u2共有三根，
所以u1≥1，u2＜1，
所以12+1+t≤0且Δ＝1﹣4t＞0，解得t≤﹣2．
故选：A．
【变式6-2】（2022春•淮安期末）已知函数，函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．0＜b≤1B．C．x1+x2＝﹣4D．x3⋅x4＝1
【解题思路】作出函数f（x）图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论．
【解答过程】解：函数F（x）＝f（x）﹣b的四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
就是函数y＝f（x）与y＝b两个图象四个交点的横坐标，
作出函数y＝f（x）的图象，
根据图象可知0＜b≤1，故A正确；
令|lg3x|＝1，解得或x＝3，根据图象可知，故B错误；
根据二次函数的性质和图象，可知，∴x1+x2＝﹣4，故C正确；
又|lg3x3|＝|lg3x4|，且lg3x3＜0，lg3x4＞0，
∴﹣lg3x3＝lg3x4，即lg3x3+lg3x4＝lg3（x3⋅x4）＝0，
∴x3⋅x4＝1，故D正确．
故选：B．
【变式6-3】（2022•靖远县开学）已知函数f（x）若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+4＝0有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）∪[，﹣4）B．[，﹣4）
C．（4，]∪（5，+∞）D．（4，]
【解题思路】作出f（x）的图象，设f（x）＝t，由题意可得t2+mt+4＝0有两个不相等的实数根t1，t2，假设t1＜t2，结合图象可得要使方程[f（x）]2+mf（x）+4＝0有6个不同的实数根，则有方程t2+mt+4＝0在[1，3]上有两个不等实根或方程t2+mt+4＝0在（0，1）和（3，+∞）上分别有一个实根，将问题转化为二次函数根的分布情况求解即可．
【解答过程】解：作出f（x）的图象，如图所示：
设f（x）＝t，因为关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+4＝0有6个不同的实数根，
所以方程t2+mt+4＝0有两个不相等的实数根．
所以Δ＝m2﹣16＞0⇒m＞4或m＜﹣4．
设方程t2+mt+4＝0两个不等实根分别为t1，t2，假设t1＜t2，
要使方程[f（x）]2+mf（x）+4＝0有6个不同的实数根，
由f（x）的图象可得1≤t1＜t2≤3，或0＜t1＜1且t2＞3．
即方程t2+mt+4＝0在[1，3]上有两个不等实根或方程t2+mt+4＝0在（0，1）和（3，+∞）上分别有一个实根．
当方程t2+mt+4＝0在[1，3]上有两个不等实根时：，解得m＜﹣4；
当方程t2+mt+4＝0在（0，1）和（3，+∞）上分别有一个实根时：，解得m＜﹣5．
综上所述，m的取值范围为：（﹣∞，﹣5）∪[，﹣4）．
故选：A．