新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题1.7 基本不等式（2份打包，原卷版+解析版）

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1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab(a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
【题型1 利用基本不等式判断不等关系】
【方法点拨】
将代数式灵活变形，利用基本不等式求解最值的方法，来求出所给代数式的最值或取值范围，以此来判断不等关系是否成立，注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.
【例1】（2022春•赤峰期末）若a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ab＜2B．
C．lg2a+lg2b＜1D．9a+3b≥18
【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2B．a+b＜2C．2b＞2D．2b＜2
【变式1-2】（2021•安徽模拟）设a＞0，b＞0，c＞0，下列不等关系不恒成立的是（ ）
A．c2B．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|
C．若a+4b＝1，则8D．ax2+bx﹣c≥0（x∈R）
【变式1-3】（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【题型2 利用基本不等式求最值】
【方法点拨】
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答
技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例2】（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式2-1】（2022春•信州区期末）已知正数m，n满足m+n＝1，则的最小值为（ ）
A．3B．3+2C．3D．3+2
【变式2-2】（2022春•三明期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【变式2-3】（2022春•恩施州期末）若a＞2，b＞3，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【题型3 利用基本不等式解决恒成立（或存在性）问题】
【方法点拨】
对于恒成立（或存在性）问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化为最值问题，利用基本不等式求出有关代数式的最值，进行转化求解即可.
【例3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}
C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
【变式3-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）
【变式3-2】（2021秋•香坊区校级期中）若x＞0，y＞0，x+y＝1，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m＜3}B．{m|m＜6}C．{m|m＜5}D．{m|m＜9}
【变式3-3】（2021秋•包河区校级期中）若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[，1]B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【题型4 利用基本不等式证明不等式】
【方法点拨】
(1)对于与基本不等式有关的不等式证明问题，对所给条件进行合理转化，利用基本不等式进行证明，其解
答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)证明过程中，若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例4】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：．
【变式4-1】（2021春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
（1）；
（2）．
【变式4-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．
（1）若，求证：a+b≥16；
（2）求证：a+b+1．
【变式4-3】（2020•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：
（1）a+b+c；
（2）（）．
【题型5 利用基本不等式解决实际问题】
【方法点拨】
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再结合基本不等式解决问题(求解)，最后
要回应题意下结论(作答)．
【例5】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
【变式5-1】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
【变式5-2】（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【变式5-3】（2021秋•常州月考）如图，长方形ABCD表示一张6×12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P）到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．
（1）为使锯掉一块三角形废料MAN的面积最小，试确定m，n的值；
（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度（MB，BC，CD，DN的长度之和）的最大值．
【题型6 基本不等式与其他知识综合】
【例6】（2022春•重庆校级期中）直角三角形ABC中角A，B，C对边长分别为a，b，c，∠C＝90°．
（1）若三角形面积为2，求斜边长c最小值；
（2）试比较an+bn与cn（n∈N*）的大小，并说明理由．
【变式6-1】（2021秋•赫山区校级月考）已知向量（1，2），（﹣2，m），（t2+1），k，m∈R，k，t为正实数．
（1）若∥，求m的值；
（2）当m＝1时，若⊥，求k的最小值．
【变式6-2】（2021秋•东海县校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x，ab，5y成等差数列，2，a，b，5成等比数列．
（1）求lgx+lgy的最大值；
（2）求的最小值．
【变式6-3】（2021春•高淳区期末）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？