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初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件公开课第三课时教案设计
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这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件公开课第三课时教案设计，共6页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第3课时 利用三边判定三角形相似
教学目标
1.掌握相似三角形的判定定理3，并会用相似三角形的判定定理3来判断、证明及计算.
2.通过探索相似三角形的判定定理3,发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力.
教学重难点
重点：掌握相似三角形的判定定理3.
难点：能熟练运用相似三角形的判定定理3．
教学过程
知识回顾
通过前面的学习，你已经知道三角形相似的判定方法有哪些吗？
1.三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似.（定义）
2.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
3.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
导入新课
如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是需要一一验证所有的对应角和对应边的关系呢？
可否用类似于判定三角形全等的方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
设计意图：通过类比三角形全等的方法，激发学生的求知欲和好奇心，激起学生探究活动的兴趣.
探究新知
一、预习新知
以四人为一组，合作探究、交流展示：
1.画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k.
设法比较∠A与∠A′的大小.
师：△ABC和△A'B'C'相似吗？（教师找一组学生代表回答）
生：相似
师：你的理由是什么？
生：∠A=∠A′，,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，知△ABC∽△A'B'C'.
师：其他组同学的结论与这个结论相同吗？
生：相同
然后改变k值的大小，再试一试，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值.
师：这样的情况下两个三角形相似吗？
生：相似
师：我们能得到什么结论？
生：三边成比例的两个三角形相似
由此得到相似三角形的判定定理3.
设计意图：在一个开放的环境下，学生动手操作、自主探索，小组之间互相竞争、气氛热烈,同时培养了学生的合作与交流精神.
二、合作探究
如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？你有哪些判断方法？
让学生独立思考，然后小组合作交流.
教师找学生代表回答.
生：相似.
判断方法：
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.两角分别相等的两个三角形相似.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4.定义法.
设计意图：巩固对本节知识的理解，并让学生系统的掌握相似三角形的判定定理1，2，以及本节判定定理3的内容.
巩固练习
已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，证明△ABC与△DEF相似.
证明：因为＝＝，
所以△ABC与△DEF相似.
典型例题
【例1】如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据上述条件，你认为∠B＝∠AED吗？请说明理由.
【问题探索】要证明∠B＝∠AED，只需证明△ABC∽△AED即可.根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.
【解】∠B＝∠AED.
理由如下：
由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，
AC＝AE＋CE＝6＋3＝9.
所以＝＝3，＝＝3，＝＝3，
所以＝＝，故△ABC∽△AED，
所以∠B＝∠AED.
【总结】证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到.当给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例的两个三角形相似”来判定.[来源:学+
【例2】已知小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与左图中的△ABC相似的是？
② ③ ④
【问题探索】图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断图中的三角形与左图中的△ABC是否相似.
【解】由左图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.[来源:学§科§网Z§X§X§
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，；
图②中，三角形的三边长分别为1，，；
图③中，三角形的三边长分别为，，3；
图④中，三角形的三边长分别为2，，.
因为＝＝＝，
所以图②中的三角形与左图中的△ABC相似.
【总结】（1）各个三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.
课堂练习
1.下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )
A B C D
2.△ABC的三边长分别为，，2，△A'B'C'的其中两边长为1，，要使△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长为( )
A. B．
C. D．
3.如图，一名学生做劳技作品，他把△ABC各边中点连接得到的△DEF涂色，试问涂色的三角形与原三角形相似吗？为什么？
参考答案
1.B
2.A
3.解：相似．理由如下：
∵ F，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ FE是△ABC的中位线，
∴ FE＝CB，即＝.
同理可得＝，＝.∴ ＝＝，
∴ △DEF∽△ABC，因此涂色的三角形与原三角形相似．
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.相似三角形的判定定理3.
2.相似三角形的判定定理3的运用.
布置作业
习题4.7第1题、第2题
板书设计
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
第3课时 利用三边判定三角形相似
教学目标
1.掌握相似三角形的判定定理3，并会用相似三角形的判定定理3来判断、证明及计算.
2.通过探索相似三角形的判定定理3,发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力.
教学重难点
重点：掌握相似三角形的判定定理3.
难点：能熟练运用相似三角形的判定定理3．
教学过程
知识回顾
通过前面的学习，你已经知道三角形相似的判定方法有哪些吗？
1.三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似.（定义）
2.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
3.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
导入新课
如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是需要一一验证所有的对应角和对应边的关系呢？
可否用类似于判定三角形全等的方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
设计意图：通过类比三角形全等的方法，激发学生的求知欲和好奇心，激起学生探究活动的兴趣.
探究新知
一、预习新知
以四人为一组，合作探究、交流展示：
1.画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k.
设法比较∠A与∠A′的大小.
师：△ABC和△A'B'C'相似吗？（教师找一组学生代表回答）
生：相似
师：你的理由是什么？
生：∠A=∠A′，,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，知△ABC∽△A'B'C'.
师：其他组同学的结论与这个结论相同吗？
生：相同
然后改变k值的大小，再试一试，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值.
师：这样的情况下两个三角形相似吗？
生：相似
师：我们能得到什么结论？
生：三边成比例的两个三角形相似
由此得到相似三角形的判定定理3.
设计意图：在一个开放的环境下，学生动手操作、自主探索，小组之间互相竞争、气氛热烈,同时培养了学生的合作与交流精神.
二、合作探究
如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？你有哪些判断方法？
让学生独立思考，然后小组合作交流.
教师找学生代表回答.
生：相似.
判断方法：
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.两角分别相等的两个三角形相似.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4.定义法.
设计意图：巩固对本节知识的理解，并让学生系统的掌握相似三角形的判定定理1，2，以及本节判定定理3的内容.
巩固练习
已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，证明△ABC与△DEF相似.
证明：因为＝＝，
所以△ABC与△DEF相似.
典型例题
【例1】如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据上述条件，你认为∠B＝∠AED吗？请说明理由.
【问题探索】要证明∠B＝∠AED，只需证明△ABC∽△AED即可.根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.
【解】∠B＝∠AED.
理由如下：
由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，
AC＝AE＋CE＝6＋3＝9.
所以＝＝3，＝＝3，＝＝3，
所以＝＝，故△ABC∽△AED，
所以∠B＝∠AED.
【总结】证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到.当给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例的两个三角形相似”来判定.[来源:学+
【例2】已知小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与左图中的△ABC相似的是？
② ③ ④
【问题探索】图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断图中的三角形与左图中的△ABC是否相似.
【解】由左图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.[来源:学§科§网Z§X§X§
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，；
图②中，三角形的三边长分别为1，，；
图③中，三角形的三边长分别为，，3；
图④中，三角形的三边长分别为2，，.
因为＝＝＝，
所以图②中的三角形与左图中的△ABC相似.
【总结】（1）各个三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.
课堂练习
1.下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )
A B C D
2.△ABC的三边长分别为，，2，△A'B'C'的其中两边长为1，，要使△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长为( )
A. B．
C. D．
3.如图，一名学生做劳技作品，他把△ABC各边中点连接得到的△DEF涂色，试问涂色的三角形与原三角形相似吗？为什么？
参考答案
1.B
2.A
3.解：相似．理由如下：
∵ F，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ FE是△ABC的中位线，
∴ FE＝CB，即＝.
同理可得＝，＝.∴ ＝＝，
∴ △DEF∽△ABC，因此涂色的三角形与原三角形相似．
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.相似三角形的判定定理3.
2.相似三角形的判定定理3的运用.
布置作业
习题4.7第1题、第2题
板书设计
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
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