初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件一等奖第二课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件一等奖第二课时教案，共5页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 利用两边及其夹角判定三角形相似
教学目标
1.通过探索活动，理解并掌握相似三角形的判定定理：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并能借此解决实际问题.
2.培养学生细心观察、积极思考、动手操作的能力，发展类比的数学思想、主动探索的意识，增强合情推理及语言表达能力.
教学重难点
重点：探索并掌握相似三角形的判定定理：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”.
难点：相似三角形的判定定理在实际问题中的灵活运用.
教学过程
知识回顾
1.什么叫做相似三角形？什么叫做相似三角形的相似比？
2.相似三角形的性质.
3.相似三角形的判定定理1.
导入新课
问题情境：如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，使CD=AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE.如果测得DE=20 m，那么AB=2×20=40（m）.你知道这是为什么吗？

目的：从生活中的实际问题入手，激发学生的求知欲和好奇心，激起学生探究的兴趣.
探究新知
一、预习新知
师：两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流.
生：两边成比例的两个三角形不一定相似.
师：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
生：增加的条件可以是“一个角相等”，也可以是“另两边成比例”.
师：我们先来考虑增加一角相等的情况.
活动（一），以四人为一组，合作探究、交流展示：
1.画△ABC与△A'B'C'，使∠A＝∠A'＝60°，.
设法比较∠B与∠B'（或∠C与∠C'）的大小.
说说：△ABC和△A'B'C'相似吗？
2. 画△ABC与△A'B'C'，使∠A＝∠A'＝45°，＝3.
再次比较∠B与∠B'（或∠C与∠C'）的大小.
说说：△ABC和△A'B'C'相似吗？
3. 画△ABC与△A'B'C'，使∠A＝∠A'，＝k.
再一次比较∠B与∠B'（或∠C与∠C'）的大小.
说说：△ABC和△A'B'C'相似吗？
4.归纳总结:你发现了什么结论？
由学生归纳总结，教师板书：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
即：在△ABC和△A'B'C'中，
如果∠A＝∠A'，＝k，
那么△ABC∽△A'B'C'.
二、合作探究
活动（二），合作探究、交流发言：
1.回顾三角形全等的判定方法，说说：
两边对应相等且其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？
2.类比三角形全等的判定方法，探究：
如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？

师：由此你能得到什么结论？
学生归纳总结：两边成比例且其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似.
目的：给学生一个自主探究、获得新知的平台，增强学生的自信心，将学习空间还给学生，让学生在相互合作交流的过程中发现知识、掌握知识.
巩固练习
如图，（1）若 ________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝________，则△ABC∽△AEF.
答案：（1） （2）∠B
典型例题
【例1】如图，已知AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.
【问题探索】已知线段的乘积式→转化为线段间的比例式→相似三角形的判定定理2.
【证明】∵ AD·AC＝AE·AB，∴ ＝.
在△ADE∽△ABC中，∵ ＝，∠A＝∠A，∴ △ADE∽△ABC.
【总结】已知线段间的乘积式，要判定三角形相似的常用方法是将乘积式转化为比例式，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来证明．
【例2】如图，在△ABC 中，CD是边AB上的高，且 .求证：∠ACB=90°．
【问题探索】要证明∠ACB=90°，可以先证明∠ACD+ ∠BCD= 90°，再利用三角形相似得到∠ACD= ∠B，这样问题就解决了.
【证明】∵ CD是边AB上的高,∴∠ADC= ∠BDC=90°.
又，∴ △ACD∽△CBD.∴ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD = 90°.
【总结】此题是先利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到∠ACD= ∠B，然后根据等量代换得到∠ACB=90°．
课堂练习
1.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需要再添加一个条件，下列各项中不正确的是( )
A.∠ABD＝∠CB.∠ADB＝∠ABC
C.＝D.＝
2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC的值为( )
A．1∶4 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶2
3. 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，BC＝15，A′C′＝8，则当B′C′＝ 时，△ABC∽△A′B′C′.
4.已知：如图，P为△ABC的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD.
求证：△ADC∽△CDP.
参考答案
1.C
2.D
3.10
4.证明：∵ AD为△ABC的中线，∴ BD＝DC.
又 BD2＝PD·AD，∴ ＝.∴ ＝.
∵ ∠ADC＝∠CDP，∴△ADC∽△CDP.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.相似三角形的判定定理2.
2.相似三角形的判定定理2的运用.
布置作业
习题4.6第2题、第3题
板书设计
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第2课时 利用两边及其夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.