湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列习题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列习题，共22页。

1.2.2 等差数列与一次函数
基础过关练
题组一 等差数列的概念
1.下列数列不是等差数列的是( )

A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16
C.13,23,1,43,53 D.-3,-2,-1,1,2
2.已知数列{an},若对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为1的等差数列
C.是公差为-2的等差数列
D.不是等差数列
3.设{an}是等差数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a= .
5.已知数列{an}中,点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,且a2=2.求证:数列{an}是等差数列.
题组二 等差数列的通项公式
6.已知{an}是首项为-24的等差数列,且从第10项起为正数,则公差d的取值范围是( )
A.83,3 B.83,3
C.83,3 D.83,3
7.在数列{an}中,若an+1=an+2,a1=8,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2 D.an=4n(n+1)
8.(2022湖南雅礼中学期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的所有项中,中间项的值为( )
A.992 B.1 022
C.1 007 D.1 037
9.(2022湖南长沙一中月考)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章,卷第六《均输》中有一问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容,各多少?”其意思为:“今有竹九节,下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,使中间两节也均匀变化,每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第五节容量是 升.(结果用分数表示)
10.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1an-1.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组三 等差中项
11.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
12.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z=( )
A.26 B.29 C.39 D.52
13.(多选)下列命题中,正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则lg2a,lg2b,lg2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
题组四 等差数列的性质
14.(2022河南信阳期末)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则数列{an+bn}的第37项为( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
15.(2022湖南师大附中期中)在等差数列{an}中,a1+3a7+a13=120,则3a9-a13=( )
A.6 B.12
C.24 D.48
16.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
17.(2022江西九江三中期中)已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,求k的值.
18.在等差数列{an}中,公差为d.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
能力提升练
题组一 等差数列的通项公式及其应用
1.(2022湖南邵东一中期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( )

A.161 B.155 C.141 D.139
2.(2022上海黄浦大同中学月考)已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=an+1an,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)
B.(-4,-3)
C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)
D.(-5,-4)
3.(2022广东珠海二中月考)已知数列{an},{bn}均为等差数列,若a1b1=3,a2b2=7,a3b3=13,则a4b4=( )
A.19 B.21
C.23 D.27
4.(多选)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有( )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N+)
C.a2k-1=12-2k(k∈N+)
D.an+an+1=18-3n
5.如果x=[x]+{x},[x]∈Z,0≤{x}<1,就称[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,已知数列{an}满足a1=5,an+1=[an]+2{an},则
a2 019-a2 018=( )
A.2 019-5 B.2 018+5
C.6+5 D.6-5
6.已知数列{an}满足a1=15,且当n>1,n∈N+时,有an-1an=2an-1+11-2an.设bn=1an,n∈N+.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
题组二 等差数列的性质及其应用
7.(2021湖南郴州教学质量监测)为鼓励外出能人返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位:万元,n∈N+),每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍,已知a12+a22=72,则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为( )
A.72万元 B.96万元
C.120万元 D.144万元
8.(2022北京师范大学实验二龙路中学期中)数列{an}满足a1=1,an+1=ank+an(n∈N+),实数k为常数.
①数列{an}有可能是常数列;
②k=1时,数列1an为等差数列;
③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0);
④k>0时,数列{an}单调递减.
则以上说法正确的序号是 .
9.已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn= ;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是 .
题组三 等差数列的综合应用
10.(2021湖南长沙麓山国际实验学校月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,则下列结论中一定成立的是( )
A.a,b,c依次成等差数列
B.a,b,c依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
11.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)判断是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列,并说明理由.
12.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).
(1)证明:数列1an是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+1an≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D
2.A 由题意知an=2n+1,则an+1-an=2,故选A.
3.C 由题意可得公差d=a2-a1=a3-a2>0,所以数列{an}是递增数列,充分性成立;
若数列{an}是递增数列,则必有a14.答案 0
解析 ∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,
∴2a=0,∴a=0.
5.证明 ∵点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,
∴an-an+1+1=0,即an+1-an=1(n∈N+),
又∵a2=2,∴a1=1.
∴数列{an}是公差、首项均为1的等差数列.
6.C 设{an}的公差为d,则an=-24+(n-1)d,n∈N+,
由a9=-24+8d≤0,a10=-24+9d>0,解得837.A 由题意得an+1-an=2,故数列{an}是首项为a1=22,公差为2的等差数列,所以an=22+2(n-1)=2n+2,故an=2(n+1)2.
8.C 由题意可知an-2既是3的倍数,又是5的倍数,所以an-2是15的倍数,即an-2=15(n-1),n∈N+,故an=15n-13,易求得a135=15×135-13=
2 012<2 019,a136=15×136-13=2 027>2 019,
故n=1,2,3,…,135,所以数列{an}共有135项,中间项为第68项,且a68=15×68-13=1 007,故选C.
9.答案 6766
解析 记从下部算起第n节的容量为an,则数列{an}为等差数列,设其公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=4,a6+a7+a8+a9=4a1+26d=3,解得a1=9566,d=-766,∴a5=a1+4d=6766,即从下部算起第五节容量是6766升.
10.解析 (1)证明:∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)],
∴1an+1-1-1an-1=13,即bn+1-bn=13,
又∵a1=2,∴b1=1.
∴{bn}是以1为首项,13为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=13n+23=n+23,∴an-1=3n+2,
∴an=n+5n+2.
11.B 由已知得m+2n=8,2m+n=10,解得m=4,n=2,
所以m和n的等差中项为m+n2=3.
12.C ∵5,x,y,z,21成等差数列,
∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,∴5+21=2y,x+z=2y,
∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39.
13.AC ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2×(2b)=2a+2c,∴2a,2b,2c成等差数列,故A正确;取a=1,b=2,c=3,得lg2a,lg2b,lg2c分别为0,1,lg23,不成等差数列,故B错误;∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴a+2,b+2,c+2成等差数列,故C正确;取a=1,b=2,c=3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,故D错误.故选AC.
14.C ∵{an},{bn}是等差数列,∴{an+bn}是等差数列.∵a1+b1=100,a2+b2=100,∴数列{an+bn}的公差为0,∴a37+b37=100.
15.D 由题意得a1+3a7+a13=5a7=120,所以a7=24,所以3a9-a13=a9+2a9-a13=a9+a5=2a7=2×24=48,故选D.
16.D 由于{an},{bn}为等差数列,
故数列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=1.
17.解析 设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=173.∵a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴d=a9-a79-7=23.∴ak-a9=(k-9)d,即13-7=(k-9)×23,解得k=18.
18.解析 解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
由a2a5=52,a2+a5=17,解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
由d=a5-a25-2得d=3或d=-3.
解法二:(1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,
∴4a13=48,∴a13=12.
(2)由题意得
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34,(a1+d)·(a1+4d)=52,
解得a1=1,d=3或a1=16,d=-3.
∴d=3或d=-3.
能力提升练
1.B 设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到另一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得y-36=12,x-107=y,解得x=155,y=48,故选B.
2.D 依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1,
∴bn=n+an+a-1=1+1n+a-1.
解法一:设函数y=1x+a-1+1,画出图象,如图.
结合题意知,1-a∈(5,6),
∴5<1-a<6,解得-5解法二:若对任意的正整数n都有bn≥b5,
则有(bn)min=b5=1+1a+4,
结合数列{bn}的单调性可知,
b5解得-53.B 设等差数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+b,bn=cn+d,则anbn=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd,令cn=anbn=acn2+(ad+bc)n+bd,则cn+1-cn=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd-acn2-(ad+bc)n-bd=2acn+(ac+ad+bc),易知数列{cn+1-cn}为等差数列,设为{dn}.又∵c1=a1b1=3,c2=a2b2=7,c3=a3b3=13,∴d1=c2-c1=4,d2=c3-c2=6,可得数列{dn}的公差为2,d3=c4-c3=a4b4-a3b3=d2+2=8,∴a4b4=a3b3+8=13+8=21.故选B.
4.BC 由an-an+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;当n=2时,a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC.
5.D ∵a1=5,an+1=[an]+2{an},∴a2=2+25-2=6+25,a3=10+225-4=12+5,a4=14+25-2=18+25,a5=22+225-4=24+5,……,∴a2 018=6×2 017+25,a2 019=6×2 018+5,则a2 019-a2 018=6-5,故选D.
6.解析 (1)证明:当n>1,n∈N+时,
an-1an=2an-1+11-2an⇔1-2anan=2an-1+1an-1⇔1an-2=2+1an-1⇔1an-1an-1=4⇔bn-bn-1=4,
又∵b1=1a1=5,
故{bn}是首项为5、公差为4的等差数列.
(2)由(1)知bn=5+4(n-1)=4n+1,
∴an=1bn=14n+1,n∈N+.
∴a2=19,又∵a1=15,∴a1a2=145.
令an=14n+1=145,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.
7.C 由题意,得五年累计总投入资金为a1+a2+a3+a4+a5+5×3a1=5a3+15a1=5(a3+3a1)=10(a1+a2),
又∵10(a1+a2)=10a12+2a1a2+a22≤10×2(a12+a22)=120,当且仅当a1=a2时等号成立,
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.故选C.
8.答案 ①②④
解析 当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,原式整理得1an+1-1an=1,所以数列1an为等差数列,故②正确;若a3>a1,则a3=a2a2+k=11+k+k2>1,解得-1由k>0得1an+1>1an>0,故an+19.答案 12n-1;25
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且公差为3×4=12,又因为c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1.而a100=302,b100=399,所以11≤12n-1≤302,11≤12n-1≤399,解得1≤n≤25.25,故{cn}的项数为25.
10.C 由已知得2tanB=1tanA+1tanC,
所以2csBsinB=csAsinA+csCsinC,
利用正弦定理及余弦定理得2·a2+c2-b22abc=b2+c2-a22abc+a2+b2-c22abc,整理得2b2=a2+c2,
即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或a,b,c或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说△ABC是等边三角形,故选C.
11.解析 (1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,所以λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.
理由如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在实数λ,使得数列{an}为等差数列,
则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,所以λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,
a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.
12.解析 (1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得1an-1an-1=3(n≥2,n∈N+).
因为1a1=1,所以数列1an是以1为首项、3为公差的等差数列.
(2)由(1)可得1an=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=13n-2(n∈N+).
(3)因为λan+1an≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,即λ3n-2+3n-2≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以只需λ≤(3n-2)23n-3对任意的n≥2,n∈N+恒成立即可.
令f(n)=(3n-2)23n-3(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可.
因为f(n+1)-f(n)=(3n+1)23n-(3n-2)23n-3=9n2-9n-13n(n-1)=3-13n(n-1),
所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)所以f(n)min=f(2).
又因为f(2)=163,所以λ≤163.
所以实数λ的取值范围为-∞,163.