湘教版数学九上 第2章综合素质评价试卷

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第2章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1． 下列方程是关于x的一元二次方程的是(　　)A．3x2－5y＋4＝0 B．eq \f(3,x2)－2x－1＝0 C．2x3＋3x2－7＝0 D．5x(x－3)＝92．[2022·青海]已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)A．4　 B．－4 C．3 D．－33．用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝54．一元二次方程x2－2x＝0的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2的值为(　　)A．－2　 B．1 C．2 D．05．[2023·泸州]关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是(　　)A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关6．若菱形两条对角线的长度是x2－6x＋8＝0的两个根，则该菱形的边长为(　　)A．eq \r(5) B．4 C．25 D．57．[2023·广州]已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则eq \r((k－1)2)－(eq \r(2－k))2的化简结果是(　　)A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－38．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)9．古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如x2＋bx＝m2(b＞0，m＞0)的方程的图解法：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝eq \f(b,2)，AC＝m，再在斜边AB上截取BD＝eq \f(b,2)，则该方程的一个正实数根等于(　　)A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长10．[2023·宿迁]如图，直线y＝x＋1，y＝x－1与双曲线y＝eq \f(k,x)(k＞0)分别相交于点A，B，C，D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是(　　)A．eq \f(3,4) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(4,5) D．1二、填空题(每题3分，共24分)11．[2024·常德六中月考]把方程3x2＋5x＝2化为一般形式为____________．12．关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的根是________________．13．[2022·长沙]关于x的一元二次方程x2＋2x＋t＝0有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围是________．14．已知t2－3t＋1＝0，则t＋eq \f(1,t)＝________．15．[2023·随州]已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．16．已知a≠b，且a2－13a＋1＝0，b2－13b＋1＝0，那么eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a2＋a,a2＋2a＋1)＝________．17．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．18．[2023·苏州]如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq \r(2)，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝eq \f(1,3)CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝________．(结果保留根号)三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19． 解方程：(1)3x2－1＝4x；　　　　　　　　　　(2)(x＋4)2＝5(x＋4)．20．[2022·南充]已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．21．[2024·湘潭四中模拟]已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．(1)求a的值及方程的另一个根；(2)一个三角形的三边长都是此方程的根，求这个三角形的周长．22．[2023·黄石]关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫作黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：a2＋ma＝1，b2－2mb＝4，且b≠－2a，求ab的值；(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2＋np－1＝q，q2＋nq－1＝p，求pq－n的值．23．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？24．[2024·衡阳二中模拟]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．设移动时间为t秒(t＞0)．(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？(2)经过几秒时，P，Q相距6厘米？答案一、1.D2．B 【解析】将x＝1代入方程，解出m的值即可．3．A 【解析】x2－4x＋1＝0，移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3.4．C5．C 【解析】∵Δ＝(2a)2－4(a2－1)＝4a2－4a2＋4＝4＞0，∴关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0有两个不相等的实数根，故选C.6．A 【解析】解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.如图，四边形ABCD为菱形，AC>BD，∴AC＝4，BD＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝CO＝2，BO＝DO＝1.由勾股定理得AD＝eq \r(AO2＋DO2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，即菱形的边长为eq \r(5).故选A.7．A 【解析】∵2－k≥0，∴k≤2.∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理，得－8k＋8≥0，解得k≤1.∴k的取值范围为k≤1.∴k－1≤0.∴eq \r((k－1)2)－(eq \r(2－k))2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.故选A.8．B 【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根得(－2)2－4×(kb＋1)>0，则kb<0，据此解题即可．9．A 【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＋BC2＝AB2.∵BC＝BD＝eq \f(b,2)，AC＝m，∴m2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AD＋\f(b,2)))eq \s\up12(2)，整理，得AD2＋bAD＝m2.比较方程x2＋bx＝m2，可得AD的长是方程的一个正实数根，故选A.10．A 【解析】如图，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，设直线y＝x－1与x轴交于点M.易知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD的交点为点O.∴S△COD＝eq \f(1,4)S四边形ABCD＝1＝eq \f(1,2)OM·(DE＋CF)．∵直线y＝x－1与x轴交于点M，∴当y＝0时，x＝1，即M(1，0)．∴OM＝1.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝\f(k,x)，))可得y＝eq \f(k,y)－1，则y2＋y－k＝0，∵k＞0，∴12－4×1×(－k)＝1＋4k＞0.∴关于y的一元二次方程有两个实数根，解得y＝eq \f(－1±\r(1＋4k),2).∴eq \f(1,2)×1×[eq \f(－1＋\r(1＋4k),2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(1＋4k),2)))]＝1，即eq \r(4k＋1)＝2.∴k＝eq \f(3,4).故选A.二、11.3x2＋5x－2＝012．x1＝3，x2＝213．t<1 【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋t＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×t>0.∴t<1.14．3 【解析】t＋eq \f(1,t)＝eq \f(t2,t)＋eq \f(1,t)＝eq \f(t2＋1,t).∵t2－3t＋1＝0，∴t2＋1＝3t.∴t＋eq \f(1,t)＝eq \f(t2＋1,t)＝eq \f(3t,t)＝3.15．2 【解析】∵关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1＋x2＝－eq \f(－3,1)＝3，x1x2＝eq \f(1,1)＝1.∴x1＋x2－x1x2＝3－1＝2.16．1 【解析】∵a2－13a＋1＝0，b2－13b＋1＝0，a≠b，∴a，b可以看成是方程t2－13t＋1＝0的两个实数根．∴a＋b＝13，ab＝1.∴eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a2＋a,a2＋2a＋1)＝eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a(a＋1), (a＋1)2)＝eq \f(b,b＋1)＋eq \f(a,a＋1)＝eq \f(b(a＋1)＋a(b＋1), (a＋1) (b＋1))＝eq \f(2ab＋a＋b,ab＋a＋b＋1)＝eq \f(2×1＋13,1＋13＋1)＝1.17．直角18.eq \r(7)＋1 【解析】如图，过E作EQ⊥CA，交CA的延长线于点Q.设BE＝x，AE＝y，则CD＝3x，DE＝2y.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq \r(2)，∴BC＝eq \r(2)AB＝6.∴CE＝6＋x.易得△CQE为等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝eq \f(\r(2),2)CE＝eq \f(\r(2),2)(6＋x)＝3eq \r(2)＋eq \f(\r(2),2)x.∴AQ＝eq \f(\r(2),2)x.由勾股定理可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((2y)2＝(6＋x)2＋(3x)2，,y2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)＋\f(\r(2),2)x))\s\up12(2)，))整理得x2－2x－6＝0，解得x＝1±eq \r(7).∵x＞0，∴x＝1－eq \r(7)不符合题意，舍去．∴BE＝1＋eq \r(7).三、19.【解】(1)原方程化为一般形式为3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝16＋12＝28>0.∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(4±\r(28),6)＝eq \f(2±\r(7),3).∴x1＝eq \f(2＋\r(7),3)，x2＝eq \f(2－\r(7),3).(2)(x＋4)2＝5(x＋4)，(x＋4)2－5(x＋4)＝0，(x＋4)(x＋4－5)＝0，(x＋4)(x－1)＝0，∴x＋4＝0或x－1＝0.∴x1＝－4，x2＝1.20．【解】(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，∴Δ≥0，即32－4(k－2)≥0，解得k≤eq \f(17,4).(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－1.∴k－2－3＋1＝－1，解得k＝3.21．【解】(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程，得x2－4x＋3＝0，因式分解，得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是所给方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．综上所述，这个三角形的周长为3或9或7.22．【解】(1)依据题意，将m＝1代入x2＋mx－1＝0得x2＋x－1＝0，解得x＝eq \f(－1±\r(5),2).∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为eq \f(－1＋\r(5),2).(2)∵a2＋ma＝1，∴a2＋ma－1＝0.∵b2－2mb＝4，∴b2－2mb－4＝0.∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))eq \s\up12(2)＋m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))－1＝0.又∵b≠－2a，∴a，－eq \f(b,2)是一元二次方程x2＋mx－1＝0的两个根．∴a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))＝－1.∴ab＝2.(3)∵p2＋np－1＝q，q2＋nq－1＝p，∴(p2＋np－1)＋(q2＋nq－1)＝q＋p，即(p2＋q2)＋n(p＋q)－2＝p＋q.∴(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q.又∵(p2＋np－1)－(q2＋nq－1)＝q－p，∴(p2－q2)＋n(p－q)＝－(p－q)，即(p－q)(p＋q＋n＋1)＝0.∵p，q为两个不相等的实数，∴p－q≠0.∴p＋q＋n＋1＝0.∴p＋q＝－n－1.又∵(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q，∴(－n－1)2－2pq＋n(－n－1)－2＝－n－1，即pq－n＝0.23．【解】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则每千克A粽子节前的进价是(x＋2)元．根据题意，得eq \f(240,x)－4＝eq \f(240,x＋2)，解得x1＝10，x2＝－12.经检验，x1＝10，x2＝－12都是原方程的解，但x2＝－12不符合实际，应舍去．答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．(2)设该商场节前购进m千克A粽子，节后购进(400－m)千克A粽子，获得的利润是w元，根据题意，得w＝[20－(10＋2)]m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400.∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（10＋2）m＋10（400－m）≤4 600，,m＞0，))∴0＜m≤300.∵2＞0，∴w随m的增大而增大．∴当m＝300时，w取最大值，且w最大＝2×300＋2 400＝3 000.答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元．24．【解】(1)根据题意，得eq \f(1,2)×2t(6－t)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×6×8，解得t＝2或t＝4.由题意易知0＜t≤4，则t＝2，t＝4均符合题意．答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．(2)根据题意，得(6－t)2＋(2t)2＝36，解得t＝0(不合题意，舍去)或t＝eq \f(12,5).答：经过eq \f(12,5)秒时，P，Q相距6厘米．