湘教版数学九上 第4章综合素质评价试卷

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第4章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值等于(　　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为(　　)A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4)3．[2024·海南中学月考]若锐角α满足eq \f(1,2)＜cos α＜eq \f(\r(2),2)，则锐角α的取值范围是(　　)A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．30°＜α＜60°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值(　　)A．扩大为原来的3倍　 B．缩小为原来的eq \f(1,3) C．扩大为原来的6倍 D．不变5．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin ∠BAC＝(　　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(13),5) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)6．[2022·济南]数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前走70 m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为(　　)(精确到1 m，参考数据：sin 22°≈0．37，tan 22°≈0．40，sin 58°≈0．85，tan 58°≈1．60)A．28 m　 B．34 m C．37 m D．46 m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是(　　)A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)8．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC＝eq \r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是(　　)A．a＋eq \f(b,cos α) B．a＋eq \f(b,sin α) C．a＋bcos α D．a＋bsin α9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是(　　)A．∠BDC＝α B．BC＝m·tan α C．AO＝eq \f(m,2sin α) D．BD＝eq \f(m,cos α)10．[2023·河南]如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，eq \f(PB,PC)＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　　)A．6 B．3 C．4eq \r(3) D．2eq \r(3)二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是________．12．[2022·柳州]如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝eq \f(3,5)，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡坡面AB的长度为________m．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36，则sin B的值为________．14．[2024·广西师范大学附属中学模拟]如图，菱形ABCD绕A点顺时针旋转60°，B，C，D的对应点分别为B1，C1，D1，若B1和D重合，菱形ABCD面积为18eq \r(3)cm2，则阴影△DCC1的面积＝________cm2．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________．16．如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离约为________cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0．94，eq \r(3)≈1．73)．17．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD，交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19． 计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°．20． 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝eq \r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c．21．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝eq \f(1,2)，求BC的长．22．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶eq \r(3)，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，结果精确到0.1 m)．23．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为10．75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．(参考数据：sin 26°35′≈0．45，cos 26°35′≈0．89，tan 26°35′≈0．50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________°，∠BCM＝________°；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．答案一、1.A2．C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5).3．C 【解析】∵cos 60°＝eq \f(1,2)，cos 45°＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2)＜cos α＜eq \f(\r(2),2)，∴45°＜α＜60°.故选C.4．D5．C 【解析】如图，取格点D，连接CD，AD，则B在AD上．∵A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，∴AD＝5，CD＝5，∠ADC＝90°.∴∠BAC＝45°.∴sin ∠BAC＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).故选C.6．C 【解析】在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq \f(AB,DB)，∴DB＝eq \f(AB,tan 58°)≈eq \f(AB,1.60)＝eq \f(5,8)AB.在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan 22°＝eq \f(AB,CB)，∴eq \f(AB,70＋\f(5,8)AB)≈0.40，解得AB≈37 m．故选C.7．D 【解析】由题意得AF＝AD＝BC＝10，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°.由等量关系代换可得∠EFC＝∠BAF，所以cos∠EFC＝cos∠BAF＝eq \f(AB,AF)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).故选D.8．D 【解析】如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin α＝bsin α，在Rt△BCG中，BG＝BC·sin 45°＝eq \r(2)a×eq \f(\r(2),2)＝a，∴易得点A到桌面的最大高度＝BG＋AF＝a＋bsin α.故选D.9．C10．A 【解析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B.结合图象可知，当点P在AO上运动时，eq \f(PB,PC)＝1，∴PB＝PC，AO＝2eq \r(3).又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，又∵AP＝AP，∴△APB≌△APC(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO.∴∠BAO＝∠CAO＝30°.当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4eq \r(3)，∴OB＝2eq \r(3)，即AO＝OB＝2eq \r(3)，∴∠BAO＝∠ABO＝30°.过点O作OD⊥AB，∴AD＝BD，AD＝AO·cos 30°＝3，∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6.故选A.二、11.eq \f(5,13)12．50 【解析】根据题意得∠ACB＝90°，sin α＝eq \f(3,5)，∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,5).∵BC＝30 m，∴eq \f(30,AB)＝eq \f(3,5)，解得AB＝50(m)，即迎水坡坡面AB的长度为50 m.13.eq \f(4,5) 【解析】∵a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36，∴a2－12a＋36＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0，∴(a－6)2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0.∴a－6＝0，c－10＝0，b－8＝0，解得a＝6，c＝10，b＝8.∴a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2.∴∠C＝90°.∴sin B＝eq \f(b,c)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).14．9eq \r(3) 【解析】如图，过点C作CH⊥C1D交C1D的延长线于点H，过点B作BK⊥AD于点K.由旋转的性质可得∠BAD＝60°，∴BK＝AB·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)AB.∵菱形ABCD面积为18eq \r(3)cm2，∴BK·AD＝eq \f(\r(3),2)AB2＝18eq \r(3)cm2，解得AB＝6 cm.易得CD＝C1D＝6 cm，∠CDC1＝120°，∴∠CDH＝60°，∴CH＝CD·sin 60°＝3eq \r(3).∴S阴影＝eq \f(1,2)×6×3eq \r(3)＝9eq \r(3)(cm2)．15.eq \f(1,3) 【解析】如图，过点A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，易得B′D＝x，BC＝2x，则BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝eq \f(A′D,BD)＝eq \f(x,3x)＝eq \f(1,3).16．6.3 【解析】如图，过点B，C分别作AE的垂线，垂足为点M，N；过点C作CD⊥BM，垂足为点D.在Rt△ABM中，∵∠BAM＝60°，AB＝16 cm，∴BM＝AB·sin 60°＝16×eq \f(\r(3),2)＝8eq \r(3)(cm)，∠ABM＝90°－60°＝30°.在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC－∠ABM＝50°－30°＝20°，∴∠BCD＝90°－20°＝70°.又∵BC＝8 cm，∴BD＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)．易知四边形CDMN为矩形，∴CN＝DM＝BM－BD≈8eq \r(3)－7.52≈6.3(cm)，即点C到AE的距离约为6.3 cm.17．2eq \r(7) 【解析】如图，连接AC，BD交于点O.∵BC＝DC，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴BD＝BC＝CD＝8.∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝eq \f(1,2)BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝eq \f(1,2)∠BCD＝30°.又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴EC＝AE＝6.过点E作EF⊥AC，交AC于点F，∴CF＝CE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，∴AC＝CF＋AF＝6eq \r(3).AF＝AE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).∴AC＝CF＋AF＝6eq \r(3).∵CO＝BC·cos 30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).∴AO＝AC－CO＝6eq \r(3)－4eq \r(3)＝2eq \r(3).∴在Rt△BOA中，AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \r((2\r(3))2＋42)＝2eq \r(7).18.eq \f(2\r(3),3) 【解析】如图，在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F.∵点C的坐标为(7，h)，∴OF＝7，CF＝h.在Rt△CEF中，∠CEF＝180°－∠AEC＝60°，∴EF＝eq \f(CF,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)h，CE＝eq \f(CF,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)h.∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝60°.∴∠CAE＝∠ABD.∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD(AAS)．∴AD＝CE＝eq \f(2\r(3),3)h，AE＝BD.∵点A(3，0)，∴OA＝3，∴OD＝OA－AD＝3－eq \f(2\r(3),3)h.在Rt△BOD中，∠BDO＝180°－∠ADB＝60°，∴BD＝eq \f(OD,cos∠BDO)＝eq \f(OD,cos 60°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)h))＝6－eq \f(4\r(3),3)h，∴AE＝BD＝6－eq \f(4\r(3),3)h.∵OA＋AE＋EF＝OF，∴3＋6－eq \f(4\r(3),3)h＋eq \f(\r(3),3)h＝7，解得h＝eq \f(2\r(3),3).三、19.【解】2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).20．【解】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.∵sin B＝eq \f(b,c)，∴b＝c·sin B＝2×sin 30°＝1.∵cos B＝eq \f(a,c)，∴a＝c·cos B＝2×cos 30°＝eq \r(3).(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°.∵tan A＝eq \f(a,b)，∴b＝eq \f(a,tan A)＝eq \f(\r(2),tan 45°)＝eq \r(2).∵sin A＝eq \f(a,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)＝2.21．(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．(2)【解】由(1)知四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°.∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形．∴AE＝BE＝eq \f(\r(2),2)AB＝eq \r(2).又∵tan∠ACB＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(\r(2),EC)＝eq \f(1,2).∴EC＝2eq \r(2).∴BC＝BE＋EC＝eq \r(2)＋2eq \r(2)＝3eq \r(2).22．【解】在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1＝1∶1，∴eq \f(CD,BD)＝1.∴BD＝CD＝20 m.在Rt△ACD中，∵背水坡AC的坡度i2＝1∶eq \r(3)，∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,\r(3)).∴AD＝eq \r(3)CD＝20eq \r(3) m.∴AB＝AD－BD＝20eq \r(3)－20≈14.6(m)．答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m.23．【解】如图，过B作BH⊥AE于H.∵坡度i为1∶0.75，∴设BH＝4x m，则AH＝3x m.∴AB＝eq \r(AH2＋BH2)＝5x m．又∵AB＝10 m，∴x＝2.∴AH＝6 m，BH＝8 m.过B作BF⊥CE于F，则EF＝BH＝8 m，BF＝EH.设DF＝a m．∵α＝26°35′，∴BF＝eq \f(DF,tan 26°35′)≈eq \f(a,0.5)＝2a(m)，∴AE≈(6＋2a)m.∵坡度i为10.75，∴CEAE＝10.75≈(20＋a＋8)(6＋2a)．∴a≈12.∴DF≈12 m，∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)．答：堤坝高为8 m，山高DE约为20 m.24．【解】(1)30；45 【解析】如图，过点C作CD⊥AB于D.∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝30°＋∠AMB＝60°，∴∠AMB＝30°.由题意得AB∥CM.∴∠DBC＝∠BCM.∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB于E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin ∠EBM＝20×sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(海里)．∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10eq \r(3) 海里．(3)如图，过点C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB∥CM，∴易得四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝10eq \r(3) 海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos ∠EBM＝20×cos 60°＝20×eq \f(1,2)＝10(海里)．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形．∴CD＝BD＝10eq \r(3) 海里．∴CM＝DE＝BD－BE＝10(eq \r(3)－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(eq \r(3)－1)海里．