湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程优秀单元测试习题

这是一份湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程优秀单元测试习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程为一元二次方程的是(    )
A. ax2+bx+c=0 B. x2−2x−3
C. 2x2=0 D. xy+1=0
2. 近年来，快速业成为我国经济的一匹“黑马“，2018年我国快递业务量为507亿件，2020年快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为x.则下列方程中正确的是(    )
A. 507(1+x)=700 B. 507(1+2x)=700
C. 507(1+x)2=700 D. 700(1−x)2=507
3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是(    )
A. x2+1x2=0 B. ax2+bx+c=0
C. (x−1)(x+2)=1 D. x(x+1)=x2+7
4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是(    )
A. x2+2x−99=0化为(x+1)2=100
B. 2x2−7x−4=0化为(x−74)2=8116
C. x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D. 3x2−4x−2=0化为(x−23)2=109
5. 用配方法解方程2x2+4x−3=0时，配方结果正确的是(    )
A. (x+1)2=4 B. (x+1)2=2 C. (x+1)2=52 D. (x+1)2=12
6. 若关于x的一元二次方程(k+2)x2+3x+k2−k−6=0必有一根为0，则k的值是(    )
A. 3或−2 B. −3或2 C. 3 D. −2
7. 下列说法正确的是(    )
①若二次根式1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7<65<8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④16的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2−x−4=0有两个不相等的实数根．
A. ①③⑤ B. ③⑤ C. ③④⑤ D. ①②④
8. 已知一元二次方程(a−1)x2−2x−1=0有实数根，则a的取值范围是(    )
A. a>0 B. a<0 C. a≥0且a≠1 D. a>0且a≠1
9. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(    )
A. k<1且k≠0 B. k>−1且k≠0 C. k>1 D. k<−1
10. 若方程x2−2x−4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为(    )
A. 12 B. 10 C. 4 D. −4
11. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为(    )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
12. 王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为(    )

A. (80−x)(70−x)=3000
B. 80×70−4x2=3000
C. (80−2x)(70−2x)=3000
D. 80×70−4x2−(70+80)x=3000

第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知(m−1)x|m|+1−2x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=          ．
14. 若代数式x2−1的值与代数式2x+1的值相等，则x的值为          ．
15. 已知关于x的一元二次方程2x2−5x+c=0有两个相等的实数根，则c=______．
16. 若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知关于x的方程x2−6x+m2−4m−4=0的一个根是−1，求m的值．
18. 已知关于x的方程x2−(m+1)x+2m=0的一个实数根是3，求另一根及m的值．
19. (1)a−b=23，求(a2+b22a−b)⋅aa−b的值；
(2)解方程3(2x−5)=(2x−5)2．
20. 利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0，
∴(m−n)2+(n−4)2=0，
∵(m−n)2≥0，(n−4)2≥0
∴(m−n)2=0，(n−4)2=0
∴m=n=4．
材料二：探索代数式x2+4x+2与−x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2=(x2+4x+4)−2=(x+2)2−2，∵(x+2)2≥0，∴x2+4x+2=(x+2)2−2≥−2．
∴代数式x2+4x+2有最小值−2；
②−x2+2x+3=−(x2−2x+1)+4=−(x−1)2+4，∵−(x−1)2≤0，∴−x2+2x+3=−(x−1)2+4≤4．
∴代数式−x2+2x+3有最大值4．
学习方法并完成下列问题：
(1)代数式x2−6x+3的最小值为______；
(2)如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
(3)已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值．

21. 已知关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为2，求a的值；
(3)直接写出所有不大于5的正整数a的值，使原方程的两个根均为有理数．
22. 已知关于x的一元二次方程14x2−(m−1)x+(m2−2m)=0．
(1)求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；
(2)如果此方程有一个根为0，求m的值．
23. 已知关于x的方程x2+(2k−3)x+k2−1=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若此方程有一个根为1，求k的值．
24. 已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有x1，x2两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若x1=1，求x2及m的值；
(3)是否存在实数m，满足m(x1−2)(x2−2)=−4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
25. 有一块长28cm，宽12cm的矩形铁皮．
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为192cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为130cm2的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长．



答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：A、a=0时，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、不是方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误．
故选：C．  
2.【答案】C 
【解析】解：设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：507(1+x)2=700．
故选：C．
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：A、是分式方程，故此选项错误；
B、当a≠0时，a、b、c是常数时，ax2+bx+c=0是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、是一元一次方程，故此选项错误；
故选：C．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

4.【答案】C 
【解析】解：A.由原方程，得x2+2x=99，
方程的左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，
得(x+1)2=100，
故本选项配方正确;
B.由原方程，得x2−72x−2=0，
移项，得x2−72x=2，
方程的左右两边同时加上一次项系数−72的一半的平方4916，得(x−74)2=8116，
故本选项配方正确;
C.由原方程，得x2+8x=−9，
方程的左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得(x+4)2=7，
故本选项配方错误;
D.由原方程，得3x2−4x=2，
化二次项系数为1，得x2−43x=23，
方程的左右两边同时加上一次项系数−43的一半的平方49，得(x−23)2=109，
故本选项配方正确．
故选C．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程−配方法．
方程利用配方法的步骤解答即可．
【解答】
解：2x2+4x−3=0，
2x2+4x=3，
x2+2x=32，
x2+2x+1=32+1，
(x+1)2=52．  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.把x=0代入方程计算即可求出k的值．
【解答】
解：把x=0代入方程得：k2−k−6=0，
分解因式得：(k−3)(k+2)=0，
解得：k=3或k=−2，
当k=−2时，方程为3x=0，不是一元二次方程，舍去，
则k的值是3，
故选C．  
7.【答案】B 
【解析】解：①若二次根式1−x有意义，则1−x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8<65<9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④16=4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ=(−1)2−4×1×(−4)=17>0，
∴一元二次方程x2−x−4=0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．

8.【答案】C 
【解析】解：∵一元二次方程(a−1)x2−2x−1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2+4(a−1)≥0，且a−1≠0，
解得：a≥0且a≠1．
故选：C．
根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4k>0，且k≠0，
解得：k<1且k≠0．
故选：A．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出k的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：∵方程x2−2x−4=0的两个实数根为α，β，
∴α+β=2，αβ=−4，
∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=4+8=12；
故选：A．
根据根与系数的关系可得α+β=2，αβ=−4，再利用完全平方公式变形α2+β2=(α+β)2−2αβ，代入即可求解；
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

11.【答案】A 
【解析】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：(1+x)2=225．
解得：x1=14，x2=−16(不合题意舍去)，
答：x为14，
故选：A．
此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染(x+1)人，第二轮共感染x(x+1)+x+1=(x+1)(x+1)人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论．
此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．根据题意可知裁剪后的底面的长为(80−2x)cm，宽为(70−2x)cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】
解：长方体工具箱的底面是一个长为(80−2x)cm，宽为(70−2x)cm的矩形，由题意可得方程(80−2x)(70−2x)=3000．
  
13.【答案】−1 
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】
解：∵(m−1)x|m|+1−2x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1=2，m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．  
14.【答案】1+3或1−3 
【解析】略

15.【答案】258 
【解析】解：根据题意得△=(−5)2−4×2×c=0，
解得c=258．
故答案为：258．
利用判别式的意义得到△=(−5)2−4×2×c=0，然后解关于c的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．

16.【答案】−94 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个相等的实数根，
∴△=32+4k=9+4k=0，
解得：k=−94．
故答案为：−94．  
17.【答案】解：∵方程x2−6x+m2−4m−4=0的一个根是−1，
∴1+6+m2−4m−4=0，
∴m2−4m+3=0，
∴m1=1，m2=3． 
【解析】根据题意可得出1+6+m2−4m−4=0，然后解出该方程的解即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是根据题意得出1+6+m2−4m−4=0，本题属于基础题型．

18.【答案】解：把x=3代入方程，得9−3(m+1)+2m=0，
解得m=6，
把m=6代入原方程，得x2−7x+12=0，
解得x1=3，x2=4．
所以另一根为4． 
【解析】此题主要考查了一元二次方程解的意义及因式分解解方程，以及运用解的定义解决相关问题的能力．
把x=3代入方程，求出m，再把m代入原方程求出另一根．

19.【答案】解：(1)(a2+b22a−b)⋅aa−b
=a2+b2−2ab2a⋅aa−b
=(a−b)22a⋅aa−b
=a−b2，
当a−b=23时，原式=232=3；
(2)3(2x−5)=(2x−5)2，
3(2x−5)−(2x−5)2=0，
(2x−5)(3−2x+5)=0，
(2x−5)(8−2x)=0，
2x−5=0或8−2x=0，
x1=2.5，x2=4． 
【解析】(1)先算括号里，再算括号外，然后把a−b=23代入化简后的式子进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程−因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】−6 
【解析】解：(1)x2−6x+3=x2−6x+9−9+3=(x−3)2−6，
∵(x−3)2≥0，
∴x2−6x+3=(x−3)2−6≥−6，
故答案为：−6．
(2)设花圃的面积为S平方米，根据题意，
得S=x(100−2x)
=−2x2+100x
=−2(x2−50x+625−625)
=−2(x−25)2+1250，
∵−2(x−25)2≤0，
∴S=−2(x−25)2+1250≤1250，
当x=25时，100−50=50<100，
∴花圃的最大面积为1250平方米；
(3)∵a2+b2+74=10a+14b，
∴a2−10a+25+b2−14b+49=0，
∴(a−5)2+(b−7)2=0，
∴a=5，b=7，
∴2 ∵c为正整数，
∴c最小为3，
∴△ABC周长的最小值为5+7+3=15．
(1)将代数式配方即可；
(2)设花圃的面积为S平方米，根据题意得S=x(100−2x)配方成−2(x−25)2+1250，即可求出最大面积；
(3)根据配方法可得a和b的值，再根据三角形的三边关系即可求出c的最小值，进一步求周长最小值即可．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．

21.【答案】解：(1)根据题意得a≠0且Δ=22−4a×(−3)>0，
解得a>−13且a≠0；
(2)把x=2代入ax2+2x−3=0得4a+4−3=0，
解得a=−14；
(3)当Δ=4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，
当a=1时，Δ=4+12=16；
当a=2时，Δ=4+24=28(舍去)；
当a=3时，Δ=4+36=40(舍去)；
当a=4时，Δ=4+48=52(舍去)；
当a=5时，Δ=4+60=64，
综上所述，当a为1或5时，原方程的两个根均为有理数． 
【解析】(1)根据根的判别式的意义得到a≠0且Δ=22−4a×(−3)>0，然后求出两不等式的公共部分即可；
(2)把x=2代入ax2+2x−3=0得4a+4−3=0，然后解关于a的方程即可；
(3)利用求根公式得到当Δ=4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对a=1、2、3、4、5依次进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

22.【答案】(1)证明：对关于x的一元二次方程14x2−(m−1)x+(m2−2m)=0，
Δ=[−(m−1)]2−4×14(m2−2m)=m2−2m+1−m2+2m=1，
∴Δ>0，
∴对于任意实数m，一元二次方程14x2−(m−1)x+(m2−2m)=0总有两个不相等实数根；
(2)解：如果此方程有一个根为0，则14×02−(m−1)×0+(m2−2m)=0，
∴m2−2m=0，
解得m=0或m=2，
答：m的值为0或2． 
【解析】(1)求出Δ=1，即可证明方程总有两个不相等实数根；
(2)把x=0代入可得关于m的一元二次方程，即可解得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．

23.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2+(2k−3)x+k2−1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(2k−3)2−4×1×(k2−1)≥0，
解得：k≤1312；

(2)∵关于x的方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的一个根为1，
∴把x=1代入方程得：1+(2k−3)+k2−1=0，
∴k2+2k−3=0，
解得：k=1或−3，
故k的值为1或−3． 
【解析】(1)根据方程有实数根得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
(2)把x=1代入方程得出关于k的方程，求出方程的解即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．

24.【答案】解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ=16−4(m−1)≥0．
解得m≤5．

(2)依题意：x1+x2=4，x1⋅xx=m−1且x1=1
则：x2=3，m=4；

(3)∵m(x1−2)(x2−2)=−4，
∴m[x1x2−2(x1+x2)+4]=−4,∴m(m−1−8+4)=−4,∴m2−5m+4=0,∴m1=1,m2=4. 
【解析】(1)由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
(2)利用根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=m−1，则可先求出x2，再求出m的值；
(3)利用根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=m−1，则利用m(x1−2)(x2−2)=−4求出m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

25.【答案】解：(1)设裁去的正方形边长为x cm，则折成无盖长方体盒子的底面长为(28−2x)cm，宽为(12−2x)cm，
依题意得：(28−2x)(12−2x)=192，
整理得：x2−20x+36=0，
解得：x1=2，x2=18(不合题意，舍去)．
答：裁去的正方形边长为2cm．
(2)设裁去的左侧正方形的边长为y cm，则折成有盖长方体盒子的底面长为(282−y)cm，宽为(12−2y)cm，
依题意得：(282−y)⋅(12−2y)=130，
整理得：y2−20y+19=0，
解得：y1=1，y2=19(不合题意，舍去)．
答：裁去的左侧正方形的边长为1cm． 
【解析】(1)设裁去的正方形边长为x cm，则折成无盖长方体盒子的底面长为(28−2x)cm，宽为(12−2x)cm，根据折成无盖长方体盒子的底面面积为192cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的左侧正方形的边长为y cm，则折成有盖长方体盒子的底面长为(282−y)cm，宽为(12−2y)cm，根据折成有盖长方体盒子的底面面积为192cm2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．