人教版数学九上 第二十一章综合素质评价试卷

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第二十一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分) 1．[2023凉山州模拟]下列方程一定是关于x的一元二次方程的是(　　) A．2(x2＋2x)＝2x2－1 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x＋1)2＝2x＋1 D．eq \f(1,x2)＋x＋1＝0 2．[2023永州期末]一元二次方程x2＋6x－3＝0配方后可变形为(　　) A．(x＋3)2＝9 B．(x－3)2＝12 C．(x＋3)2＝12 D．(x－3)2＝9 3．将关于x的一元二次方程x2＋x－1＝2(x－3)化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为(　　) A．1，－4 B．－1，5 C．－1，－5 D．1，－6 4．[2024绵阳期中]已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＋2＝(　　) A．5 B．8 C．－8 D．6 5．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(　) A．a≤2且a≠0 B．a≤2且a≠1 C．a≥2 D．a≤2 6．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄，设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是(　　) A．10x＋(x－3)＝x2 B．10(x－3)＋x＝x2 C．10x＋(x－3)＝(x－3)2 D．10(x－3)＋x＝(x－3)2 7．点P的横、纵坐标恰好是方程x2－2x－15＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第四象限 8．设x1，x2为一元二次方程x2＋2tx－t2＝0的两根，则－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，一块长为a m，宽为b m的矩形土地的周长为18 m，面积为14 m2，现将该矩形土地的长、宽都增加2 m，则扩建后的矩形土地的面积为(　　) A．32 m2 B．36 m2 C．27 m2 D．38 m2 10．使得关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x－a≥－10，,－1＋\f(1,2)x<－\f(1,8)x＋\f(3,2)))有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a－5)x2＋4x＋1＝0有实数根的所有整数a的值之和为(　　) A．35 B．30 C．26 D．21 二、填空题(每题3分，共18分) 11．方程x2＝4x的解是________． 12．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 13．[2023北京朝阳区期中]若方程2x2－3x－1＝0有一个根为m，则代数式3m(2m－3)－1的值为________． 14．[2023宜昌]已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式eq \f(x1＋x2,1＋x1x2)的值为________． 15．定义运算：m&n＝m2－mn＋2．例如1&2＝12－1×2＋2＝1，则方程x&3＝0的解为________． 16．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例加以说明，构造如图①，大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2．那么，图②是方程____________的几何解法． 三、解答题(共72分) 17．(6分)[2023天津月考]解方程： (1)x2－6x－4＝0；　　　 (2)5(x－2)2＝x2－4． 18．(8分)已知关于x的方程(m－1)xm²＋1－2x＋3＝0是一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个一元二次方程． 19．(10分)[2023厦门月考]关于x的一元二次方程x2－(3＋m)x＋3m＝0． (1)试判断该方程根的情况； (2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1－x1x2＋2x2＝12，求m的值． 20．(10分)杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某商店销售亚运会文化衫，每件进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不超过30%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价上涨x元． (1)y与x的函数关系式是________________． (2)文化衫销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？ 21．(12分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程2x2＋5x＋3＝0是否为黄金方程； (2)已知3x2－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 22．(12分)阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程x4－2x2－3＝0，得原方程的解为________． (2)解方程：(x2＋2x)2＋3(x2＋2x)＋2＝0． 23．(14分) [2023温州月考]根据以下素材，探索完成任务． 答案一、1．C　2．C　3．B　4．B　5．B　6．B7．B【解析】∵x2－2x－15＝0，∴(x－5)(x＋3)＝0，∴x－5＝0或x＋3＝0，∴x1＝5，x2＝－3．∵点P的横、纵坐标恰好是方程x2－2x－15＝0的两个根，∴点P的坐标为(5，－3)或(－3，5)，∴经过点P的正比例函数图象一定过第二、四象限．8．A9．B【解析】根据题意得A＋B＝18÷2＝9，AB＝14，∴A，B可看成是方程x2－9x＋14＝0的两个根，解方程得x1＝7，x2＝2．∵A>B，∴A＝7，B＝2．∴扩建后的矩形土地的面积为(A＋2)(B＋2)＝(7＋2)×(2＋2)＝9×4＝36(m2)．10．B【解析】整理不等式组得eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(6x－a≥－10①，,－8＋4x<－x＋12，②))由①得x≥eq \f(a－10,6)，由②得x＜4，∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是3，2，1，0，∴－1<eq \f(a－10,6)≤0，解得4＜a≤10，∵关于x的一元二次方程(a－5)x2＋4x＋1＝0有实数根，∴A－5≠0，且Δ＝16－4×(a－5)×1＝36－4 a≥0，解得a≤9且a≠5．∴4＜a≤9，且a≠5，∴满足条件的整数有6，7，8，9，∴满足条件的所有整数a的值之和为6＋7＋8＋9＝30．二、11．x＝0或x＝4　12．k＜4　13．2　14．115．x＝1或x＝2【解析】∵m&n＝m2－mn＋2，x&3＝0，∴x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2．16．x2＋3x－10＝0(答案不唯一)三、17．【解】(1)移项得x2－6x＝4，配方得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝13，开平方得x－3＝±eq \r(13)，∴x1＝3＋eq \r(13)，x2＝3－eq \r(13)．(2)方程变形得5(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0，分解因式得(x－2)(5x－10－x－2)＝0，即x－2＝0或5x－10－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝3．18．【解】(1)∵关于x的方程(m－1)xm²＋1－2x＋3＝0是一元二次方程，∴eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(m－1≠0，,m2＋1＝2，))解得m＝－1．(2)方程为－2x2－2x＋3＝0，即2x2＋2x－3＝0，∵a＝2，b＝2，c＝－3，∴Δ＝b2－4ac＝22－4×2×(－3)＝4＋24＝28，∴x1＝eq \f(－1＋\r(7),2)，x2＝eq \f(－1－\r(7),2)．19．【解】(1)∵Δ＝[－(3＋m)]2－4×3m×1＝m2＋6m＋9－12m＝(m－3)2，∴当m＝3时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当m≠3时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根．(2)由题意得x1＋x2＝3＋m，x1x2＝3m，∵2x1－x1x2＋2x2＝12，∴2(3＋m)－3m＝12，解得m＝－6．20．【解】(1)y＝300－10x(2)由题意得(300－10x)(44－40＋x)＝2 400，整理得x2－26x＋120＝0，解得x1＝6，x2＝20，∴销售单价为50元或64元，∵销售单价不低于44元，且获利不超过30%，∴44元≤销售单价≤52元，∴当销售单价为50元时，商店每天获利2 400元．21．【解】(1)由题意得a＝2，b＝5，c＝3，∴a－b＋c＝2－5＋3＝0，∴一元二次方程2x2＋5x＋3＝0是黄金方程．(2)∵3x2－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，∴3－(－a)＋b＝0，∴b＝－a－3，代入原方程得3x2－ax－a－3＝0．∵a是此黄金方程的一个根，∴3a2－a2－a－3＝0，即2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝eq \f(3,2)．22．【解】(1)x1＝eq \r(3)，x2＝－eq \r(3)(2)设x2＋2x＝n，则原方程变为n2＋3n＋2＝0，解得n1＝－1，n2＝－2．当n＝－1时，x2＋2x＝－1，解得x1＝x2＝－1．当n＝－2时，x2＋2x＝－2，即x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－4×1×2＝－4＜0，则方程无实数解．∴原方程的解为x1＝x2＝－1．23．【解】任务1：根据题意得(50－x－2×5)×(40－2×5)×5＝4 680，解得x＝8.8，此时长方体盒子的长为50－8.8－2×5＝31. 2(cm)，∵31.2＜32，∴初始方案不可行；任务2：当x＝y时，根据题意得(50－x－2×5)×(40－x－2×5)×5＝4 680，解得x1＝4或x2＝66，当x＝4时，盒子的长为50－2×5－4＝36(cm)＞32 cm，符合题意；当x＝66时，盒子的长为50－2×5－66＝－26(cm)，不符合实际意义，∴x的值为4；任务3：根据题意得(50－x－2×5)×(40－y－2×5)×5＝4 680，整理得y＝30－eq \f(936,40－x)，∵纸盒的长不小于32 cm，∴50－5×2－x≥32，解得x≤8，∴0≤x≤8，把x＝0代入y＝30－eq \f(936,40－x)，得y＝6.6，把x＝8代入y＝30－eq \f(936,40－x)，得y＝0.75，∴0.75≤y≤6.6．如何改造硬纸板制作无盖纸盒？背景学校手工社团小组想把一张长50 cm，宽40 cm的矩形硬纸板(如图)，制作成一个高为5 cm，容积为4 680 cm3的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于32 cm (硬纸板的厚度忽略不计)．方案初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形(如图)．改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm，横着裁剪y cm(阴影部分)，剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形(如图)．问题解决任务1判断方案请通过计算判断初始方案是否可行？任务2改进方案改进方案中，当x＝y时，求x的值．任务3探究方案如图，当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．