2023-2024学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9B. x2+3x+2=x(x+3)+2
C. y2−4y+4=(y+2)2D. 9x2−3x=3x(3x−1)
3.已知xA. x+2>y+2B. −3x<−3yC. 2x−1<2y−1D. x−y>0
4.若分式x−1x+1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−1B. x≠0C. x≠1D. x≠−1且x≠1
5.正八边形的外角和为( )
A. 45∘B. 135∘C. 360∘D. 1080∘
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD
B. AD//BC
C. OB=OD
D. AB//CD
7.在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，点D为AC边上一点，且点D到AB，BC的距离相等，则△BCD的形状为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x与直线y=kx+3相交于点P(m,1)，则不等式−x>kx+3的解集为( )
A. x>1
B. x<1
C. x>−1
D. x<−1
9.如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，要在图中格点上找到点C，使得△ABC的面积为2，满足条件的点C的个数为( )
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 7个
10.如图，▱ABCD中，AB=AD，顶点B在x轴的负半轴上，A(0,2)，D( 5,2)，将▱ABCD绕点B逆时针旋转，每秒旋转90∘，则第2025秒旋转结束时，点C的坐标为( )
A. (−3,1)
B. (−1, 5)
C. (−1,− 5)
D. ( 5−1,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：xy2−4x=______.
12.方程3−xx−4+14−x=1的解是______.
13.八年级举行科普知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分.小明要想使得分不低于86分，他至少答对______道题.
14.如图，▱ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC的平分线交AD于点E，点F为BC边上一点，连接EF，若EF把▱ABCD的面积分成相等的两部分，则BF的长为______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=4，点D为AB的中点，点E为BC边上一个动点，将∠B沿DE折叠，点B的对应点为点F，DF交△ABC的直角边于点G，当点G为直角边的中点时，CE的长度为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式组：{x−3(x−2)⩽10①3x+12>2x−1②，请按下列步骤完成解答.
解：解不等式①，得______.
解不等式②，得.______.
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图.
所以，原不等式组的解集是______.
(2)化简：(1−xx+2)÷x2−2xx2−4.
17.(本小题9分)
如图，已知∠A=∠D=90∘，点E，F在线段BC上，DE与AF相交于点O，且AB=DC，BE=CF.若∠B=50∘，求∠EOF的度数.
18.(本小题9分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长CE交BA的延长线于点F.求证：AB=AF.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(−4,2)，C(−1,2)
(1)将△ABC经过一次平移得到△A1B1C1，顶点A的对应点A1的坐标为(2,3)，点B，C的对应点分别为B1，C1，请画出平移后的三角形，并求出平移距离；
(2)以原点O为对称中心；画出与△A1B1C1成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A1的对应点A2的坐标.
20.(本小题9分)
夏季天气炎热，某商场计划购进A、B两种型号的空调扇，已知一台B型空调扇的单价比一台A型空调扇的单价多160元，投入7200元购进A型空调扇的台数和投入12000元购进B型空调扇的台数相同.
(1)求购进A、B两种型号空调扇的单价；
(2)根据市场需求，商场计划购进两种型号的空调扇共60台，且A型空调扇的数量不多于B型空调扇数量的一半.在单价不变的前提下，当购进A型空调扇多少台时，所需投入的总费用最少？最少费用是多少元？
21.(本小题9分)
如图，已知△ABC.
(1)利用无刻度的直尺和圆规作图：①以A为顶点，AC为一边，在△ABC的外部作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD；②过点A作BC边上的高AF；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠B=45∘，AB=4，BC=8，求四边形ABCD的面积.
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，且AM=CN.
(1)求证：四边形MENF是平行四边形；
(2)连接BD，交AC于点O，若BD=8，AM+CN=MN，求EM的长.
23.(本小题10分)
八年级某班学生以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动.
(1)如图1，已知等腰△AOB，OA=OB，∠AOB=60∘，将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，顶点A旋转到了点D，连接AE，点F是AE的中点，连接OF，则∠BAE的度数为______， OF与OA的数量关系是______.
(2)如图2，若将(1)中△AOB绕点O顺时针旋转时，顶点A的对应点D正好落在∠AOB的平分线上，得到△DOE，连接AE，点F是AE的中点，连接OF，求此时∠BAE的度数及OF与OA的数量关系.
(3)如图3，已知等腰△AOB，OA=OB=6，∠AOB=90∘，将△AOB绕点O旋转，顶点A旋转到了点D，得到△DOE，连接AE，点F是AE的中点，连接OF.当∠BAE=15∘时，请直接写出OF的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意；
B.等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意；
C.等式右边是几个因式积的形式，但分解错误，正确结果为y2−4y+4=(y−2)2，该选项错误，不符合题意；
D.符合因式分解的意义，故是因式分解，该选项正确，符合题意；
故选：D.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，熟练掌握因式分解是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.由xB.由x−3y，原变形错误，不符合题意；
C.由xD.由x故选：C.
根据不等式的基本性质逐项进行判断即可．
本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题可知，
∵分式有意义，
∴分母不为零，
∴x+1≠0，
解得x≠−1.
故选：A.
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：正八边形的外角和为360∘，
故选：C.
根据多边形的外角和即可求得答案．
本题考查多边形的外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】A
【解析】解：A、由AB=CD，OA=OC，不能证明△AOB≌△COD，
因此不能得出OB=OD，故该选项符合题意；
B、∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，
在△OAD和△OCB中，
∠OAD=∠OCBOA=OC∠AOD=∠COB，
∴△OAD≌△COB(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
∠OAB=∠OCDOA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△OCD(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：A.
由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出OB=OD是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，
∵AB=AC，∠A=36∘，
∴∠C=∠ABC=72∘，
∵点D为AC边上一点，且点D到AB，BC的距离相等，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=12∠ABC=36∘，
∴∠CDB=180∘−∠C−∠CBD=72∘，
则∠CDB=∠C，
即△BCD为等腰三角形，
故选：A.
根据题意得∠C=∠ABC=72∘，且BD为∠ABC的角平分线，进一步求得∠CDB即可判定△BCD的形状．
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，关键是等腰三角形性质的熟练应用．
8.【答案】D
【解析】解：由图象得，直线：y=−x与直线：y=kx+3交点P的横坐标为−1，
当x<−1时，直线y=kx+3的图象在直线y=−x图象的下方，
∴不等式−x>kx+3的解集为x<−1，
故选：D.
根据不等式−x>kx+3，即为直线y=kx+3的图象在直线图象y=−x的下方的x的值，根据图象直接解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设如图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D，
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= 12+12= 2,AB= 22+22=2 2，
∵C1A=C1B，点D为AB的中点，
∴C1D⊥AB，
∴S△C1AB=12AB⋅C1D=2，
∴此时点C1即为所求，
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2也符合题意；
同理可得：S△C5AB=2，
∴点C5即为所求，过点C5作AB的平行线，交如图所示的格点于C3、C4，根据平行线之间的距离处处相等，此时C3、C4、C6也符合题意．
满足条件的点C共有6个，
故选：C.
如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外一个点C2，然后同理可找出C3、C4、C5、C6，从而得出结论．
此题考查的是勾股定理和三角形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(0,2)，D( 5,2)，
∴AD= 5，
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴▱ABCD为菱形，
∴BC=AD=AB= 5，
∵OA=2，
∴OB= AB2−OA2=1，
∵将▱ABCD绕点B逆时针旋转，每秒旋转90∘，
∴第1秒点C的坐标为(−1, 5)，
第2秒点C的坐标为(−1− 5,0)，
第3秒点C的坐标为(−1,− 5)，
第4秒点C的坐标为(−1+ 5,0)，
第5秒点C的坐标为(−1, 5)，
…
∴每4秒中点C循环一周，
∵2025÷4=506⋅⋅⋅1，
∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同，
∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标(−1, 5)，
故选：B.
先证明▱ABCD为菱形，得出BC=AD=AB= 5，根据勾股定理得出OB= AB2−OA2=1，根据旋转得出第1秒点C的坐标为(−1, 5)，第2秒点C的坐标为(−1− 5,0)，第3秒点C的坐标为(−1,− 5)，第4秒点C的坐标为(−1+ 5,0)，得出每4秒中点C循环一周，根据2025÷4=506⋅⋅⋅1，得出第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同，求出结果即可．
本题主要考查了规律型：点的坐标，菱形的判定与性质，坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键熟练掌握旋转的性质．
11.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2).
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】x=3
【解析】解：由原方程，得
3−x−1=x−4，
−2x=−6，
x=3，
经检验x=3是原方程的解．
故答案是：x=3.
方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
13.【答案】18
【解析】解：设他答对x道题，根据题意得：
5x−2(20−x)≥86，
解得：x≥18，
答：他答对18道题．
故答案为：18.
设他答对x道题，根据题意，列出不等式，即可求解．
本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到不等式关系式．
14.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5；
∵BC=8，
如图，连接EF，
∴AD=BC=8，
∴DE=3，
设BF=x，CF=8−x，▱ABCD中AD//BC中平行线间的距离为h，
根据题意，得12(5+x)h=12(8−x+3)h，
解得x=3.
故答案为：3.
根据▱ABCD得AD//BC，继而得到∠AEB=∠CBE；结合BE平分∠ABC得∠ABE=∠CBE，得到∠ABE=∠AEB，继而得到AB=AE=5；结合BC=8，得到DE=3，设BF=x，CF=8−x，设▱ABCD中AD//BC中平行线间的距离为h，根据题意，得12(5+x)h=12(8−x+3)h，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
15.【答案】2 3−2或43 3
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=4，
∴AC=12AB=2，BC= AB2−AC2=2 3，
∵点D为AB的中点，
∴AD=CD=12AB=2，
当G为边AC的中点时，如图所示：
∵点D是AB的中点，
∴DG//BC，
∴∠FDE=∠BED，
∵△FDE是由△BDE折叠得到的，
∴∠BDE=∠FDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BE=BD=2，
∴CE=BC−BE=2 3−2；
当点G为直角边BC的中点时，如图所示：
则CG=BG=12BC= 3，
∵点D是AC的中点，
∴DG//AC，DG=12AC=1，
∴∠DGB=∠C=90∘，
∴∠FGE=90∘，
根据折叠可知，DF=DB=12AB=2，
EF=BE=BG−EG= 3−EG，
∴FG=DF−DG=2−1=1，
在Rt△⊙EFG中，根据勾股定理得：EF2=EG2+FG2，
即( 3−EG)2=EG2+12，
解得：EG= 33，
∴CE=CG+EG= 3+ 33=4 33，
综上分析可知，CE的长为2 3−2或43 3.
故答案为：2 3−2或43 3.
分两种情况进行讨论，当G为直角边AC的中点时，当点G为直角边BC的中点时，分别画出图形，求出结果即可．
本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，中位线的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
16.【答案】x≥−2x<3−2≤x<3
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−2.
解不等式②，得．x<3.
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图．
所以，原不等式组的解集是−2≤x<3.
(2)原式=2x+2÷x(x−2)(x−2)(x+2)
=2x+2×(x−2)(x+2)x(x−2)
=2x.
(1)分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集；
(2)根据分式的混合运算进行计算即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是关键．
17.【答案】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AB=DC BF=CE ，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
∴∠AFB=∠DEC，
∵在△ABF中，∠A=90∘，∠B=50∘，
∴∠AFB=40∘，
∴∠DEC=∠AFB=40∘，
∴在△EOF中，∠EOF=180∘−40∘−40∘=100∘.
【解析】根据题意得出BF=CE，再由全等三角形的判定和性质得出∠AFB=∠DEC，结合图形及三角形内角和定理即可求解．
题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠ECD=∠F，∠D=∠FAE，
又∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△CDE和△FAE中，
∠ECD=∠F∠D=∠FAEDE=AE，
∴△CDE≌△FAE(AAS)，
∴DC=AF，
∴AB=AF.
【解析】由平行四边形的性质得AB=DC，AB//DC，则∠ECD=∠F，∠D=∠FAE，再证△CDE≌△FAE(AAS)，得DC=AF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△CDE≌△FAE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，
∴平移距离= 12+42= 17；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
∴点A2的坐标为(−2,−3).
【解析】(1)利用点A和A1的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点B1，C1的坐标，再描点即可；
(2)先作出关于原点对称的点，然后描点，连线，再根据点的坐标特征写出A2的坐标即可．
本题主要考查作图-中心对称变换和平移变换，勾股定理，熟练掌握中心对称变换、平移变换是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设购进A型空调扇的单价为x元，则购进B型空调扇的单价为(x+160)元，
根据题意，得7200x=12000x+160，
解得x=240，
经检验，x=240是原方程的解，
则240+160=400(元)，
答：购进A、B两种型号空调扇的单价分别为240元、400元．
(2)设购进A型空调扇a台时，所投入的总费用为W元，则
W=240a+400(60−a)=−160a+24000，
由题意可知a≤12(60−a)，a≤20，
∵−160<0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=20时，W最小为W=−160×20+24000=20800，
答：当购进A型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元．
【解析】(1)根据题意设购进A型空调扇的单价为x元，则购进B型空调扇的单价为(x+160)元，列出分式方程求解即可；
(2)设购进A型空调扇a台时，所投入的总费用为W元，结合(1)得W=−160a+24000，由“A型空调扇的数量不多于B型空调扇数量的一半”求得a的范围，利用一次函数的性质求最小值即可．
本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式和一元一次函数的应用，掌握一元一次函数的性质是关键．
21.【答案】解：(1)如图，
(2)∵∠DAC=∠ACB，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=45∘，AF⊥BC，
∴∠B=∠BAF=45∘，
∴AF=BF，
∵AB=4，
在Rt△ABF中2AF2=42，解得AF=2 2，
∵BC=8，
∴▱ABCD的面积为BC⋅AF=8×2 2=16 2.
【解析】(1)根据作一个角等于已知角即可作的直线AE，结合截取已知线段的做法即可作出直线AD，利用过点作垂线方法即可作出直线AF；
(2)根据题意可证明四边形ABCD是平行四边形，结合已知条件可求得AF，利用平行四边形面积公式求解即可．
本题主要考查尺规作图和勾股定理，三角形的面积，掌握作一个角等于已知角、截取已知线段和过点作垂线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠EAM=∠FCN，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，AB=CD，
∴AE=CF，
∵AM=CN，
∴△AEM≌△CFN(SAS)，
∴EM=FN，∠AME=∠CNF，
∴∠EMN=∠FNM，
∴EM//FN，
∵EM=FN，
∴四边形MENF是平行四边形；
(2)解：连接BD，交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵AM=CN，OA=OC，
∴OM=ON，
∵AM+CN=MN，
AM=CNOA=0C∴OM=0N即AM=OM，
∵点E为AB的中点，
∴EM为△ABO的中位线，
∴EM=12BO=2.
【解析】(1)证明△AEM≌△CFN(SAS)，得EM=FN，∠AME=∠CNF，则∠EMN=∠FNM，得EM//FN，即可得出结论；
(2)连接BD，交AC于点O，先由平行四边形的性质得出OB=4，再证出AM=OM，可得EM为△ABO的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
23.【答案】90∘OA=2OF
【解析】解：(1)∵OA=OB，∠AOB=60∘，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60∘，
∵将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，
∴△OAB≌△ODE，
∴△ODE为等边三角形，OA=OB=AB=DE=OE，
∴∠AOE=120∘，
∴∠AEB=∠OAE=30∘，
∴∠BAE=90∘，
∵OA=OE，F是AE的中点，
∴OF⊥AE，
∴OA=DE=2OF；
故答案为：90∘；OA=2OF；
(2)由旋转的性质得：△OAB≌△ODE，
∵△OAB为等边三角形，OD平分∠AOB，△ODE为等边三角形，
∴∠DOE=60∘,∠AOD=12∠AOB=30∘，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90∘，
∵OA=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠OAE=45∘，
∴∠BAE=∠OAB−∠OAE=15∘，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，OF=AF，
∴△OAF是等腰直角三角形，
∴OA= 2OF；
(3)如图3，当点D在OA右边时，
∵OA=OB=6，∠AOB=90∘，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45∘.
∵∠BAE=15∘，
∴∠OAE=30∘，
由旋转的性质，得：OA=OB=OE=OD=6，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，
∴OF=12OA=3；
如图4，当点D在OA左边时，
∵OA=OB=6，∠AOB=90∘，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45∘.
∵∠BAE=15∘，
∴∠OAE=60∘，
由旋转的性质，得：OA=OB=OE=OD=6，
∴△OAE是等边三角形，
∴AE=OA=6，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，AF=12AE=3，
∴OF= OA2−AF2=3 3；
综上所述，OF的长为3 3或3.
(1)证明△OAB为等边三角形，根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，求出∠AOE=120∘，根据等腰三角形的性质即可解答；
(2)根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，由OD平分∠AOB可得∠DOE=60∘,∠AOD=12∠AOB=30∘，可证得△AOE是等腰直角三角形，继而得到△OAF是等腰直角三角形，即可解答；
(3)以下两种情况进行讨论：①当点D在OA右边时，②当点D在OA左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．