2023-2024学年河南省濮阳市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省濮阳市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各点，在函数y=x+2的图象上的是( )
A. (2,0)B. (0,−2)C. (−2,0)D. (2,2)
2.下列二次根式中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 18B. 12C. 23D. 20
3.正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直且平分D. 对角线互相垂直
4.已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. b2−c2=a2B. a= 2，b= 3，c= 5
C. ∠A+∠B=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
5.某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是( )
A. 1.95元
B. 2.15元
C. 2.25元
D. 2.75元
6.下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是( )
A. y=−xB. y=x+1C. y=−2x+1D. y=x−1
7.根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是( )
A. 弹簧不挂重物时的长度为0cm
B. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
C. 随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长
D. 所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
8.已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是( )
A. 10B. 8C. 2 7D. 10或2 7
9.如图，▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0,0)，(a,0)，(b,c)，则顶点B的坐标是( )
A. (a−b,c)B. (a+b,c)C. (b−a,c)D. (a±b,c)
10.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( )
A. 50.5寸B. 52寸C. 101寸D. 104寸
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简： (−3)2=______.
12.学校要选拔一名短跑运动员，参加校际联赛.小明、小亮、小龙、小江四位同学报名参加，老师对四位同学进行了百米测试，经过3场测试，计算出来他们的平均成绩及方差如下表：
根据表中数据，要选拔成绩好且发挥稳定的同学参加校际比赛，应选择______.
13.如图，矩形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，已知AC=10，则EF=______.
14.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是______.
15.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=8，OH=6，则菱形ABCD的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算下列各式：
(1) 48÷ 2− 12× 12+ 54；
(2)( 3+3)( 3−3)−( 3−1)2.
17.(本小题9分)
校园安全教育工作是学校的重点工作之一.某校为确保学生安全，开展了“遵守交通⋅珍爱生命”的交通安全知识竞赛.现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93.
八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100.
【整理数据】
【应用数据】
(1)填空：a=______，b=______，c=______.
(2)若成绩不低于90分为优秀，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀的共有多少人.
(3)你认为哪个年级的学生对交通安全知识掌握的总体水平较好？请从两个不同的角度说明理由.
18.(本小题9分)
先阅读再求值.
在计算 7−2 10的过程中，小明和小莉的计算结果不一样.
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算： 6−2 5.
19.(本小题9分)
如图，▱ABCD中，DF=BE.求证：四边形AECF是平行四边形.
20.(本小题9分)
如图，在平面直角系中画出函数y=2x−4的图象如图所示：
(1)函数y=kx+2与函数y=2x−4相交于点(2,0)，求k；
(2)在同一平面直角坐标系中，画出y=kx+2的图象；
(3)根据所画的图象，直接写出不等式：kx+2≥2x−4的解集是______.
21.(本小题10分)
如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E.延长EO交AD于点F，连接CF.
(1)按要求补全图形；
(2)求证：四边形AECF是菱形；
(3)若AB= 3，求BE的长．
22.(本小题9分)
绿城快速路于2022年7月20日正式通车，此路的开通为市民快速前往高铁站提供了方便.该快速路上某小区M到高铁站N相距20km，甲、乙两名市民从M小区出发前往高铁站N乘坐高铁.甲乘坐公交大巴，乙自行驾驶汽车前往.图中OC，AB分别表示甲，乙两人离开小区M的路程s(km)与时间t(min)的函数关系的图象.
(1)甲比乙提前______分钟出发；公交大巴的速度为______km/min；
(2)求乙离开小区M的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式(写出t的取值范围)；
(3)点P的坐标是(______，______)，说明图中两函数图象交点P的实际意义.
23.(本小题12分)
王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：
【课本再现】
取边AB中点G，连接EG，证明如下：
在正方形ABCD中
∵E是边BC的中点，G是边AB的中点
∴AG=EC=BG=BE
∴∠AGE=______ ∘
∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=∠AGE=135∘
又∵∠AEF=90∘
∴BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB=90∘
∴∠BAE=∠FEC
∴△AEG≌△EFC(______)(填写全等的理由)
∴AE=EF
解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边BC任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题：
【问题解决】
如图(1)，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的一点，∠AEF=90∘，EF交正方形外角的平分线CF于点F，AE与EF是否仍然相等，请给出你的证明.
【拓展探究】
如图(2)，四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF=90∘，EF交正方形外角的平分线CF于点F.若AB=4，CE=1，直接写出EF的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、当x=2时，y=2+2=4，因此点(2,0)不在函数y=x+2的图象上，故此选项不合题意；
B、当x=0时，y=0+2=2，因此点(0,−2)不在函数y=x+2的图象上，故此选项不合题意；
C、当x=−2时，y=−2+2=0，因此点(−2,0)在函数y=x+2的图象上，故此选项合题意；
D、当x=2时，y=2+2=4，因此点(2,2)不在函数y=x+2的图象上，故此选项不符合题意；
故选：C.
根据直线y=x+2上任意一点的坐标都满足函数关系式进行分析即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象上的点必能满足解析式．
2.【答案】A
【解析】【解答】
解：A. 18=3 2，即 18与 2是同类二次根式，故本选项符合题意；
B. 12=2 3，即 12与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C. 23=13 6，即 23与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D. 20=2 5，即 20与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，再看看被开方数是否相同即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3.【答案】B
【解析】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选B.
根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．
本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对特殊四边形的各种性质的理解记忆是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵b2−c2=a2，∴b2=a2+c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵( 2)2+( 3)2=( 5)2，∴a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90∘，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180∘×53+4+5=75∘，故△ABC不是直角三角形，符合题意．
故选：D.
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】
解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25(元)，
故选：C.
6.【答案】A
【解析】解：当k<0，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限；
当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
故选：A.
由正比例函数的性质可得出：当k<0，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限；由一次函数的图象与系数的关系可得出：当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，找出图象不经过第一象限的两种情况是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、弹簧不挂重物时的长度为20cm，此选项符合题意；
B、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，此选项不符合题意；
C、随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，此选项不符合题意；
D、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，此选项不符合题意．
故选：A.
根据图表数据可得，弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，并且质量每增加1千克，弹簧的长度增加0.5cm，然后对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查了函数关系的确认，常量与变量的确定，读懂图表数据，并从表格数据得出正确结论是解题的关键，是基础题，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：当8是斜边时，第三边长= 82−62=2 7；
当6和8是直角边时，第三边长= 82+62=10；
∴第三边的长为：2 7或10，
故选：D.
已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，AO//BC，
∴B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，
∵O，A，C的坐标分别是(0,0)，(a,0)，(b,c)，
∴B点的坐标为(a+b,c).
故选：B.
平行四边形的对边相等，B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标．
本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
构造直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r，
则AB=2r，DE=10寸，OE=12CD=1寸，AE=(r−1)寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即(r−1)2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101，
∴AB=101寸，
故选：C.
11.【答案】3
【解析】解： (−3)2= 9=3，
故答案为：3.
先算出(−3)2的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把 (−3)2化为 9的形式是解答此题的关键．
12.【答案】小江
【解析】解：小明、小龙的平均数较小，
∵小江的方差<小亮的方差<小明的方差<小龙丙的方差，
∴小江比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是小江，
故答案为：小江．
根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：连接BD，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF=12BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，
∵AC=10，
∴EF=12AC=12×10=5，
故答案为：5.
连接BD，利用三角形的中位线定理求得EF=12BD，然后利用另一条对角线等于10求得答案即可．
考查了矩形的性质及三角形的中位线的知识，解题的关键是构造三角形，难度不大．
14.【答案】45∘
【解析】解：连接EF，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则AE= 12+22= 5，EF= 12+22= 5，AF= 12+32= 10，
∴AE2+EF2=( 5)2+( 5)2=5+5=10=( 10)2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90∘，
又∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=45∘，
故答案为：45∘.
先连接EF，然后根据勾股定理可以求得AE、EF、AF的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△AEF的形状，再根据AE和EF的关系，即可得到∠EAF的度数．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是求出△AEF的形状．
15.【答案】96
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90∘，
∴BD=2OH=2×6=12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×16×12=96，
故答案为：96.
由菱形的性质得OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，则AC=16，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1) 48÷ 2− 12× 12+ 54
= 24− 12×12+3 6
=2 6− 6+3 6
=4 6；
(2)( 3+3)( 3−3)−( 3−1)2
=3−9−(3+1−2 3)
=3−9−4+2 3
=2 3−10.
【解析】(1)先算乘除，再算加减即可；
(2)先算乘法，乘方，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】10 90 90
【解析】解：(1)a=20−1−1−8=10，
∵七年级20名学生的竞赛成绩的中位数是第10和第11个数据的平均数，
∴b=90+902=90，
∵在八年级20名学生的竞赛成绩中90出现的次数最多，
∴c=90，
故答案为：10，90，90；
(2)1600×13+1020×2=920(人)，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
(3)八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
(1)根据中位数和众数的定义即可得到结论；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)根据中位数、众数即可得出结论．
此题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)小莉的计算结果正确，理由如下：
∵ 2< 5，
∴ 2− 5<0，
∴ ( 2− 5)2= 5− 2；
(2) 6−2 5
= 5−2 5×1+1
= ( 5−1)2
= 5−1.
【解析】(1)观察小明和小莉的计算过程，然后根据二次根式的性质进行判断即可；
(2)把6写成5+1，从而构成一个完全平方式，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
19.【答案】证明：在▱ABCD中，AD=CB，AD//CB，
∴AF//EC，
又∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】在▱ABCD中，根据平行四边形的性质可得AD=CB，AD//CB，又由于BE=DF，得到AF=CE，根据平行四边形的判定可证四边形AECF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
20.【答案】x≤−2
【解析】解：(1)∵函数y=kx+2经过点(2,0)，
∴2k+2=0，
解得k=−1，
即k的值为−1；
(2)由(1)得y=−x+2，因为直线y=−x+2经过(0,2)，(2,0)，可图象：
(3)由两条直线的交点坐标可得，kx+2≥2x−4的解集是x≤−2.
故答案为：x≤−2.
(1)把(2,0)代入函数y=kx+2，可得k的值；
(2)由(1)得k=−1，由y=−x+2经过(0,2)，(2,0)可画出y=−x+2的图象；
(3)观察两条直线的交点坐标可得答案．
本题考查了画一次函数图象、一次函数与一元一次不等式以及两条直线相交或平行问题，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)依照题意补全图形，如图所示：
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90∘，
∴∠FAC=∠ECA，
∵点O是AC中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，
∴AB=AO，∠ABC=∠AOE=90∘，
∴四边形AECF是菱形；
(2)∵AB= 3，
∴AO=AB= 3，AC=2AO=2 3，
∴BC= AC2−AB2= 12−3=3，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∵AE2=BE2+AB2，
∴(3−BE)2=BE2+3，
∴BE=1.
【解析】(1)依照题意补全图形；
(2)由“ASA”可证△AOF≌△COE，可得OF=OE，可证四边形AECF是平行四边形，由折叠的性质可得AB=AO，∠ABC=∠AOE=90∘，可得结论；
(3)由勾股定理可求BC=3，利用勾股定理列出方程可求BE的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
22.【答案】523 10203
【解析】解：(1)由图可知，甲比乙提前5分钟出发，公交大巴的速度为20÷30=23(km/min)，
故答案为：5，23；
(2)设乙离开小区M的路程s与时间t的函数关系式为s=kt+b，
把(5,0)，(20,20)代入得：
5k+b=020k+b=20，
解得k=43b=−203，
∴s=43t−203(5≤t≤20)；
(3)由43t−203=23t得：t=10，
此时23t=23×10=203，
∴P(10,203)，
函数图象交点P的实际意义是甲出发10min时，乙追上甲，此时他们距M小区203km.
故答案为：10，203.
(1)由图可知，甲比乙提前5分钟出发，公交大巴的速度为20÷30=23(km/min)；
(2)用待定系数法可得s=43t−203(5≤t≤20)；
(3)由43t−203=23t得：t=10，此时23t=23×10=203，故P(10,203)，P的实际意义是甲出发10min时，乙追上甲，此时他们距M小区203km.
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23.【答案】135 SAS
【解析】解：【课本再现】在正方形ABCD中，
∵E是边BC的中点，G是边AB的中点，
∴AG=EC=BG=BE，
∴∠AGE=135∘，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=∠AGE=135∘，
又∵∠AEF=90∘，
∴BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB=90∘，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AEG≌△EFC(SAS)，
∴AE=EF，
故答案为：135，SAS；
【问题解决】
证明：如图(1)，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠DCB=90∘，
∴∠BME=∠BEM=180∘−∠B2=45∘，∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠AME=135∘，
∵CF是正方形的外角平分线，
∴∠DCF=12×90∘=45∘，
∴∠ECF=135∘.
∵∠AEF=90∘，
∴∠AEB+∠FEC=90∘，
∴∠BAE=∠FEC.
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中，
∠BAE=∠FECAM=EC∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；
【拓展探究】分两种情况：当点E在边BC上时，如图(2)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，BC=AB=4，
∴BE=BC−CE=4−1=3，
由勾股定理，得
AE= AB2+BE2= 42+32=5，
由(2)知，EF=AE=5；
当点E是直线BC上的一点时，如图(3)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，BC=AB=4，
∴BE=BC+CE=4+1=5，
由勾股定理，得
AE= AB2+BE2= 42+52= 41，
连接AC，过点F作FG⊥BC，交BC延长于G，在FG上截取FH=CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90∘，∠ACD=45∘，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135∘，∠BAE+∠AEB=90∘，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEG=90∘，
∵FG⊥BC，
∴∠FEG+∠EFG=90∘，
∴∠EFG=∠AEB，
∵CF是正方形的外角平分线，
∴∠ECF=12×90∘=45∘，
∵FG⊥BC，
∴∠GFE=∠ECF=45∘，
∴CG=FG，
∵FH=CE，
∴CG−CE=FG−FH，即GE=GH，
∴∠GHE=∠GEH=45∘，
∴∠FHE=180∘−45∘=135∘，
∴∠ACE=∠FHE，
在△ACE和△FHE中，
∠AEC=∠EFHCE=FH∠ACE=∠FHE，
∴△ACE≌△EHF(ASA)，
∴AE=EF，
∴EF=AE= 41，
综上，EF的长为5或 41.
【课本再现】根据正方形和线段中点的定义得到AG=EC=BG=BE，求得∠AGE=135∘，得到∠ECF=∠AGE=135∘，根据全等三角形的性质得到结论；
【问题解决】如图(1)，在AB上截取BM=BE，连接ME，根据正方形的性质得到AB=BC，∠B=∠DCB=90∘，得到AM=EC，根据全等三角形的性质得到AE=EF；
【拓展探究】分两种情况：当点E在边BC上时，如图(2)，根据正方形的性质得到∠B=90∘，BC=AB=4，求得BE=BC−CE=4−1=3，根据勾股定理得到AE= AB2+BE2= 42+32=5，由(2)知，EF=AE=5；当点E是直线BC上的一点时，如图(3)，根据勾股定理AE= AB2+BE2= 42+52= 41，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用．x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
20
20.5
21
21.5
22
22.5
小明
小亮
小龙
小江
x−
10
10.1
10
10.2
s2
2
1.6
2.5
1.5
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
1
8
a
八年级
1
0
1
5
13
平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
90
小明的计算过程如下：
7−2 10
= 2−2 2×5+5
= ( 2)2−2 2× 5+( 5)2
= ( 2− 5)2
= 2− 5
小莉的计算过程如下：
7−2 10
= 2−2 2×5+5
= ( 2)2−2 2× 5+( 5)2
= ( 2− 5)2
= 5− 2
人教版八年级下册P69.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90∘，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG.)