2022-2023学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列命题中，假命题的是(    )

A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 有两个内角是的三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直

3.  下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在平面直角坐标系内，将先向下平移个单位，再向左平移个单位，则移动后的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列不等式组中，无解的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则的值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，平分，为上一点，，到的距离是，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  与的公因式是          ．

12.  不等式的解集为______．

13.  如果不等式的解集是，则的取值范围是______ ．

14.  如图，在中，，，则 ______

 

15.  如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______ ．

 

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

16.  如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解集．

四、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
分解因式：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、，
画出关于点成中心对称的；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．

20.  本小题分
如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于．
求证：．
试判断与的位置关系，并说明理由．

21.  本小题分
已知：如图，及边上一点．
求作：在内部的点，使得，且点到两边的距离相等．

22.  本小题分
为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
该市现需要购买，两种型号的垃圾箱个，其中购买型垃圾箱不超过个．求购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
在中，当购买型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？

23.  本小题分
问题发现：
如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接则：
的度数为______ ；
线段、之间的数量关系是______ ．
拓展研究：
如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．
探究发现：
图中的和，在旋转过程中，当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题；
C、有两个内角是的三角形是等边三角形，故此选项是真命题；
D、等腰三角形的两个底角的平分线一定不垂直，故此选项是假命题．
故选：．
根据真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判定即可．
本题主要考查真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．掌握以上知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形等号不成立，因式分解错误；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式方程的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

4.【答案】 

【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：．的解集为，故本选项不合题意；
B.的解集为，故本选项不合题意；
C.的解集为，故本选项不合题意；
D.无解，
故选：．
根据确定不等式组的解集的方法逐一判断即可．
本题考查了不等式的解集，属于基础题，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将绕点逆时针旋转角度得到，
，
，
，

旋转角的度数是，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，即，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，作于，

是的平分线，到的距离是，
，
，
．
故选：．
过作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据三角形的面积公式计算可求解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，即，
所以不等式组的整数解有个整数解为，，
则的范围为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由整数解有个，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，则，．
，
当、、三点在同一直线上，且时，为最短．
，
，
，
．
故选：．
作点关于的对称点，则，，当、、三点在同一直线上，且时，为最短．
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
与的公因式是，
故答案为：
根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
移项得：，
合并同类项：，
解得：．
故答案为：．
直接利用不等式的解法进而得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的解集是，
，
解得：，
故答案为：．
根据不等式的性质，不等式的两边同乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，可得答案．
本题考查了解一元一次不等式，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，
在三角形中，，
，
在三角形中，又，
．
．
故答案为：．
由题意，在中，，，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角，再相加即可求出的度数．
本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，

则此时，，三点在同一直线上，
，，
，
随着点运动，总有，，
总有≌，即，，三点在同一直线上，
的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
中，，，，
，，即为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，则此时，，三点在同一直线上，得出的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：把和代入得，解得，
直线的解析式为；
当时，，则，
解方程组得，则，
的面积；
不等式的解集为． 

【解析】利用待定系数法求直线解析式；
先确定点坐标，再解方程方程组得点坐标，然后利用三角形面积公式求解；
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】根据提公因式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为． 

【解析】先分别解两个不等式得到和，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
 

19.【答案】解：如图所示，
如图所示；

 

【解析】

【分析】
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
根据网格结构找出点、关于点成中心对称的点、的位置，再与点顺次连接即可；根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．
【解答】
解：见答案；
如图，连接两组对应点的交点即为对称中心为．  

20.【答案】证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
理由如下：，，
是的垂直平分线，
． 

【解析】根据角平分线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理证明结论．
本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，点即为所求．
 

【解析】依据点到两边的距离相等，可得点在的角平分线上；依据，可得点在过点且与垂直的垂线上．作出的角平分线以及过点且与垂直的垂线，它们的交点即为所求．
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的的性质以及垂线的尺规作图方法．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

22.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意可得：，
解得，
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
由题意可得：，
即，且为整数；
由知，，
随的增大而减小．
，且为整数，
当，取得最小值，此时，
即当购买型垃圾箱个数时总费用最小，最小费用是元． 

【解析】根据购买个型垃圾箱和个型垃圾箱需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以写出购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
根据中的函数关系式和一次函数的性质、的取值范围，可以求得总费用的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：；
；

和均为等腰直角三角形，
，，．
，
在和中，

，
，，
为等腰直角三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
，
，
，
，
，，，
；
的度数是或 

【解析】解：如图，
和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
．
．
为等边三角形，
，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；
，
，
故答案为：；
如答案所示；
如图，

由知，
，
，
，
，
如图，

同理求得，
，
的度数是或．

由条件易证，从而得到：，由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
由知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知，或者，同理得，所以．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．