2025届高考数学一轮复习专练62 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练62 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了已知抛物线T，设直线AB的斜率为k,，已知椭圆C，已知抛物线M，设抛物线C，设双曲线E等内容，欢迎下载使用。
1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.
(1)求抛物线T的方程;
(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.
【解析】(1)直线方程为x=4,将其代入抛物线可得y=±22p,
由已知得S△OMN=12×4×42p=86,解得p=3,
故抛物线T的方程为y2=6x.
(2)因为E(a,0),若直线AB,CD分别与两坐标轴垂直,
则直线AB,CD中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB,CD的斜率均存在且不为0.设直线AB的斜率为k(k≠0),
则直线AB的方程为y=k(x-a).
联立y2=6xy=k(x-a),得ky2-6y-6ka=0,则Δ=36+24k2a>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=6k,设H(xH,yH),则yH=y1+y22=3k,则xH=yHk+a=3k2+a,
所以H(3k2+a,3k),同理可得K(3k2+a,-3k),
故|HK|=(3k2-3k2)2+(-3k-3k)2=9k4+9k4+9k2+9k2≥
32k4·1k4+2k2·1k2=6,
当且仅当k4=1k4且k2=1k2,即k=±1时等号成立,
故|HK|的最小值为6.
2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,且点(4,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.
【解析】(1)椭圆C的离心率e=22,
则22=ca=1-b2a2,即b2a2=12,
所以a=2b=2c,椭圆方程为x22b2+y2b2=1.
将点(4,1)代入方程得b2=9,
故所求方程为x218+y29=1.
(2)点(0,-1)在椭圆C内,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1,由x218+y29=1,y=kx-1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k2k2+1,x1x2=-162k2+1,Δ>0.
|PQ|=(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=4(k2+1)(9k2+4)2k2+1.
点M(0,3)到l的距离d=4k2+1,S△MPQ=12|PQ|·d=89k2+42k2+1.令t=2k2+1(t≥1),则k2=t-12,则S△MPQ=89(t-1)2+4t2
=8818-12(1t-92)2.
因为00,y20),直线x-2y+1=0与C交于A,B两点,且|AB|=415.
(1)求p;
(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点,MF·NF=0,求△MNF面积的最小值.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x-2y+1=0y2=2px,可得y2-4py+2p=0,
所以y1+y2=4p,y1y2=2p,
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5|y1-y2|=5×(y1+y2)2-4y1y2=415,
即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2(负值舍去);
(2)由(1)得抛物线C:y2=4x,
因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,
设直线MN:x=my+n,M(x3,y3),N(x4,y4),
由y2=4xx=my+n,可得y2-4my-4n=0,所以y3+y4=4m,y3y4=-4n,
Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0,
因为MF·NF=0,所以(x3-1)(x4-1)+y3y4=0,
即(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=0,
亦即(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=0,
将y3+y4=4m,y3y4=-4n代入得,
4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0,
所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+22或n≤3-22,
设点F到直线MN的距离为d,则d=|n-1|1+m2,
|MN|=(x3-x4)2+(y3-y4)2=1+m2|y3-y4|=1+m216m2+16n=1+m24(n2-6n+1)+16n=21+m2|n-1|,所以△MNF的面积S=12×|MN|×d=12×|n-1|1+m2×21+m2|n-1|=(n-1)2,
而n≥3+22或n≤3-22,
所以当n=3-22时,△MNF的面积Smin=(2-22)2=12-82.
5.(10分)(2024·郑州模拟)设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=25,且E的渐近线方程为y=±x2.
(1)求E的方程;
(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2,与E的右支分别交于A,C两点和B,D两点,求四边形ABCD面积的最小值.
【解析】(1)由题意,得E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,
因为双曲线E的渐近线方程为y=±x2,所以ba=12,即a=2b,
又因为|F1F2|=2a2+b2=25b2=25,所以b=1,则a=2,
故E的方程为x24-y2=1.
(2)根据题意,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,
设直线l1:y=k(x-5),l2:y=-1k(x-5),其中k≠0,
因为l1,l2均与E的右支有两个交点,所以|k|>12,|-1k|>12,所以140)的离心率e=32,F1,F2分别为左、右焦点,过F1的直线交椭圆C于P,Q两点,且△PQF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点M(3,0)的直线交椭圆C于不同的两点A,B,N为椭圆上一点,且满足OA+OB=tON(O为坐标原点),当|AB|0,得k2