2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练7 和差化积、积化和差与万能公式的应用（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练7 和差化积、积化和差与万能公式的应用（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
1.(5分)若tan α=3,则sin2α=( )
A.35 B.-35 C.-34 D.34
【解析】选A.sin2α=2tanαtan2α+1=2×332+1=35.
2.(5分)若α∈(0,π2),sin2α=cs2α,则cs2α的值为( )
A.-35 B.-12 C.0 D.35
【解析】选D.因为α∈(0,π2),sin2α=cs2α,
所以cs α≠0且2sin αcs α=cs2α,
解得tan α=12,
所以cs2α=1-tan2α1+tan2α=1-141+14=35.
3.(5分)已知锐角α,β满足α+2β=2π3,tan α2tan β=2-3,则sin(β-α)=( )
A.12 B.32
C.6-24 D.6+24
【解析】选C.由α+2β=2π3得α2+β=π3,
所以tan(α2+β)=tan α2+tanβ1-tan α2tanβ=3,
又tan α2tan β=2-3,所以tan α2+tan β=3-3,由tan α2+tanβ=3-3tan α2tanβ=2-3,
解得tan α2=2-3tanβ=1或tan α2=1tanβ=2-3(舍去,此时α不是锐角),tan β=1,β是锐角⇒β=π4,
sin β=cs β=22,sin α=2tan α21+tan2α2=2(2-3)1+(2-3)2=12,则cs α=32,
所以sin(β-α)=sin βcs α-cs βsin α
=22×32-22×12=6-24.
4.(5分)(多选题)下列关系式中,正确的是( )
A.sin5θ+sin3θ=2sin4θcs θ
B.cs3θ-cs5θ=-2sin4θsin θ
C.sin3θ-sin5θ=-12cs4θcs θ
D.sin θ·sin α=12cs(θ-α)-cs(θ+α)
【解析】选AD.由sin5θ=sin(4θ+θ)=sin4θcs θ+cs4θsin θ,
sin3θ=sin(4θ-θ)=sin4θcs θ-cs4θsin θ,
cs5θ=cs(4θ+θ)=cs4θcs θ-sin4θsin θ,
cs3θ=cs(4θ-θ)=cs4θcs θ+sin4θsin θ,
代入前三项,得sin5θ+sin3θ=2sin4θcs θ,
A正确,B错误,右边应是2sin4θsin θ;
C错误,右边应是-2cs4θsin θ;选项D,
等号右边=-12cs(θ+α)-cs(θ-α)=-12[(cs θcs α-sin θsin α)-(cs θcs α+
sin θsin α)]=-12(-2sin θsin α)=sin θsin α,故选项D正确.
5.(5分)已知α为锐角,且tanαtan(α+π4)=-23,则sin(2α+π2)的值是__________.
【解析】由tanαtan(α+π4)=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2或tan α=-13.
因为α为锐角,所以tan α=2.
sin(2α+π2)=cs2α=1-tan2α1+tan2α=1-41+4=-35.
答案:-35
6.(5分)计算:cs π7+cs 3π7+cs 5π7=__________.
【解析】原式=12sin π7(2sin π7cs π7+2sin π7cs 3π7+2sin π7cs 5π7)=12sin π7[sin 2π7+
(sin 4π7-sin 2π7)+(sin 6π7-sin 4π7)]=sin 6π72sin π7=sin(π-π7)2sin π7=sin π72sin π7=12.
答案:12
7.(5分)若sinα1+csα=12,则sin α+cs α的值为__________.
【解析】因为sinα1+csα=tan α2=12,所以sin α+cs α=2tan α21+tan2α2+1-tan2α21+tan2α2=2×12+1-141+14=75.
答案:75
8.(5分)已知tan (θ-π4)=3,则cs2θ=__________.
【解析】令α=θ-π4,则θ=α+π4,且tan α=3,所以cs2θ=cs(2α+π2)
=-sin2α=-2tanαtan2α+1=(-2)×332+1=-35.
答案:-35
9.(5分)已知tan(π+θ)=2,则sin(2θ+π4)=__________.
【解析】因为tan(π+θ)=2,由诱导公式得:tan(π+θ)=tan θ=2,
所以sin2θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=45.
cs2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-41+4=-35,sin(2θ+π4)=sin2θcs π4+cs2θsin π4=45×22+(-35)
×22=210.
答案:210
10.(5分)(2023·秦皇岛模拟)已知tan(α+β2)=62,tan αtan β=137,则cs(α-β)的值为__________.
【解析】tan αtan β=sinαsinβcsαcsβ=12[cs(α-β)-cs(α+β)]12[cs(α-β)+cs(α+β)]=137,
所以cs(α-β)=-103cs(α+β),
cs(α+β)=1-tan2α+β21+tan2α+β2=1-(62) 21+(62) 2=-15,所以cs(α-β)=-103×(-15)=23.
答案:23
11.(5分)(2023·安庆模拟)已知sin α+sin β=12,cs α+cs β=13,则tan(α+β)=__________,cs(α-β)=__________.
【解析】将已知两个等式分别和差化积,得sin α+sin β=2sin α+β2cs α-β2=12①,
cs α+cs β=2cs α+β2cs α-β2=13②,
①②两式相除得tan α+β2=32,
则tan(α+β)=2tan α+β21-tan2α+β2=2×321-94=-125;
(sin α+sin β)2=sin2α+sin2β+2sin αsin β=14,
(cs α+cs β)2=cs2α+cs2β+2cs αcs β=19,
两式相加可得2+2cs(α-β)=1336,
cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=-5972.
答案:-125 -5972
12.(5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的极小值是__________.
【解析】sin x=2tan x21+tan2x2,
cs x=1-tan2x21+tan2x2,
f(x)=2sin x+2sin xcs x=2sin x(1+cs x),
f(x)=4tan x21+tan2x2·(1+1-tan2x21+tan2x2)=4tan x21+tan2x2·21+tan2x2=8tan x2(1+tan2x2) 2,
令t=tan x2,则y=8t(1+t2)2,
y'=8(1-3t2)(1+t2)3,
由y'>0得-33